第1章単位と測定

One further point that needs to be mentioned is the effect of the operations of calculus on dimensions. We have seen that dimensions obey the rules of algebra, just like units, but what happens when we take the derivative of one physical quantity with respect to another or integrate a physical quantity over another? The derivative of a function is just the slope of the line tangent to its graph and slopes are ratios, so for physical quantities v and t, we have that the dimension of the derivative of v with respect to t is just the ratio of the dimension of v over that of t:

英語のヒント

さらに述べておくべき点が、微積分の演算が次元に及ぼす影響である。次元が単位と同じく代数の規則に従うことは見てきたが、ある物理量を別の物理量で微分したり、別の物理量について積分したりすると、どうなるだろうか。関数の導関数は、グラフの接線の傾きにすぎず、傾きは比である。したがって、物理量vとtについて、vをtで微分した導関数の次元は、vの次元をtの次元で割った比にすぎない。

[\frac{d v}{d t}] = \frac{[v]}{[t]} .

Similarly, since integrals are just sums of products, the dimension of the integral of v with respect to t is simply the dimension of v times the dimension of t:

英語のヒント

同様に、積分は積の和にすぎないので、vをtについて積分した量の次元は、vの次元とtの次元の積になる。

[\int v d t] = [v] \cdot [t] .

By the same reasoning, analogous rules hold for the units of physical quantities derived from other quantities by integration or differentiation.

英語のヒント

同じ理由から、積分や微分によってほかの量から導いた物理量の単位にも、同様の規則が成り立つ。

Summaryまとめ

The dimension of a physical quantity is just an expression of the base quantities from which it is derived.
英語のヒント
物理量の次元とは、その量を導くもととなる基本量を表したものにすぎない。
All equations expressing physical laws or principles must be dimensionally consistent. This fact can be used as an aid in remembering physical laws, as a way to check whether claimed relationships between physical quantities are possible, and even to derive new physical laws.
英語のヒント
物理法則や原理を表す式は、すべて次元が整合していなければならない。この事実は、物理法則を思い出す助けにも、主張された物理量間の関係がありうるかを確かめる方法にも、さらには新しい物理法則の導出にも使える。

Problems演習問題

Exercises 47–52練習問題 47–52

Exercise 47問題 47

A student is trying to remember some formulas from geometry. In what follows, assume

A

is area,

V

is volume, and all other variables are lengths. Determine which formulas are dimensionally consistent. (a)

V = π r^{2} h;

(b)

A = 2 π r^{2} + 2 π r h;

(c)

V = 0.5 b h;

(d)

V = π d^{2};

(e)

V = π d^{3} / 6 .

英語のヒント

ある学生が幾何学の公式をいくつか思い出そうとしている。以下では、

A

は面積、

V

は体積、ほかの変数はすべて長さであるとする。どの公式の次元が整合しているか判断せよ。(a)

V = π r^{2} h;

、(b)

A = 2 π r^{2} + 2 π r h;

、(c)

V = 0.5 b h;

、(d)

V = π d^{2};

、(e)

V = π d^{3} / 6

。

Exercise 48問題 48

Consider the physical quantities s, v, a, and t with dimensions

[s] = L,

[v] = {LT}^{−1},

[a] = {LT}^{−2},

and

[t] = T .

Determine whether each of the following equations is dimensionally consistent. (a)

v^{2} = 2 a s;

(b)

s = v t^{2} + 0.5 a t^{2};

(c)

v = s / t;

(d)

a = v / t .

英語のヒント

物理量s、v、a、tを考える。それぞれの次元は

[s] = L

、

[v] = {LT}^{−1}

、

[a] = {LT}^{−2}

、

[t] = T

である。次の各式の次元が整合しているか判断せよ。(a)

v^{2} = 2 a s;

、(b)

s = v t^{2} + 0.5 a t^{2};

、(c)

v = s / t;

、(d)

a = v / t

。

Solution解き方

a. Yes, both terms have dimension L²T^-2 b. No. c. Yes, both terms have dimension LT^-1 d. Yes, both terms have dimension LT^-2

英語のヒント

a. 整合している。両方の項の次元はL²T^-2である。b. 整合していない。c. 整合している。両方の項の次元はLT^-1である。d. 整合している。両方の項の次元はLT^-2である。

Exercise 49問題 49

Consider the physical quantities

m

s

v

a

t

, and

r

with dimensions [m] = M, [s] = L, [v] = LT^–1, [a] = LT^–2, [t] = T, and [r] = L. Assuming each of the following equations is dimensionally consistent, find the dimension of the quantity on the left-hand side of the equation: (a) F = ma; (b) K = 0.5mv²; (c) p = mv; (d) W = mas; (e) L = mvr.

英語のヒント

物理量

m

、

s

、

v

、

a

、

t

、

r

を考える。それぞれの次元は[m] = M、[s] = L、[v] = LT^–1、[a] = LT^–2、[t] = T、[r] = Lである。次の各式の次元が整合していると仮定し、左辺の量の次元を求めよ。(a) F = ma、(b) K = 0.5mv²、(c) p = mv、(d) W = mas、(e) L = mvr。

Exercise 50問題 50

Suppose quantity

s

is a length and quantity

t

is a time. Suppose the quantities

v

and

a

are defined by v = ds/dt and a = dv/dt. (a) What is the dimension of v? (b) What is the dimension of the quantity a? What are the dimensions of (c)

\int v d t,

(d)

\int a d t,

and (e) da/dt?

英語のヒント

量

s

は長さ、量

t

は時間とする。量

v

と

a

は、v = ds/dt、a = dv/dtで定義されるものとする。(a) vの次元は何か。(b) aの次元は何か。次の各量の次元は何か。(c)

\int v d t

、(d)

\int a d t

、(e) da/dt。

Solution解き方

a. [v] = LT^–1; b. [a] = LT^–2; c.

[\int v d t] = L;

[\int a d t] = {LT}^{–1};

[\frac{d a}{d t}] = {LT}^{–3}

a. [v] = LT^–1；b. [a] = LT^–2；c.

[\int v d t] = L;

；d.

[\int a d t] = {LT}^{–1};

；e.

[\frac{d a}{d t}] = {LT}^{–3}

Exercise 51問題 51

Suppose [V] = L³,

[ρ] = {ML}^{–3},

and [t] = T. (a) What is the dimension of

\int ρ d V ?

(b) What is the dimension of dV/dt? (c) What is the dimension of

ρ (d V / d t) ?

英語のヒント

[V] = L³、

[ρ] = {ML}^{–3}

、[t] = Tとする。(a)

\int ρ d V

の次元は何か。(b) dV/dtの次元は何か。(c)

ρ (d V / d t)

の次元は何か。

Exercise 52問題 52

The arc length formula says the length

s

of arc subtended by angle

Ɵ

in a circle of radius

r

is given by the equation

s = r Ɵ .

What are the dimensions of (a) s, (b) r, and (c)

Ɵ?

英語のヒント

弧の長さの公式によれば、半径

r

の円で角度

Ɵ

に対する弧の長さ

s

は、式

s = r Ɵ

で与えられる。次の各量の次元は何か。(a) s、(b) r、(c)

Ɵ

。

Solution解き方

a. L; b. L; c. L⁰ = 1 (that is, it is dimensionless)

英語のヒント

a. L；b. L；c. L⁰ = 1（つまり無次元）

dimension

次元

expression of the dependence of a physical quantity on the base quantities as a product of powers of symbols representing the base quantities; in general, the dimension of a quantity has the form

L^{a} M^{b} T^{c} I^{d} Θ^{e} N^{f} J^{g}

for some powers a, b, c, d, e, f, and g.

英語のヒント

物理量が基本量にどう依存するかを、基本量を表す記号の累乗の積で表現したもの。一般に、量の次元は、ある指数a、b、c、d、e、f、gを用いて

L^{a} M^{b} T^{c} I^{d} Θ^{e} N^{f} J^{g}

という形をとる。

dimensionally consistent

次元が整合している

equation in which every term has the same dimensions and the arguments of any mathematical functions appearing in the equation are dimensionless

英語のヒント

各項が同じ次元を持ち、式に現れる数学関数の引数が無次元である式。

dimensionless

無次元

quantity with a dimension of

L^{0} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0} = 1;

also called quantity of dimension 1 or a pure number

英語のヒント

次元が

L^{0} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0} = 1;

である量。次元1の量、または純数とも呼ばれる。