第1章単位と測定

Significant figures in this textこの教科書での有効数字

In this text, most numbers are assumed to have three significant figures. Furthermore, consistent numbers of significant figures are used in all worked examples. An answer given to three digits is based on input good to at least three digits, for example. If the input has fewer significant figures, the answer will also have fewer significant figures. Care is also taken that the number of significant figures is reasonable for the situation posed. In some topics, particularly in optics, more precise numbers are needed and we use more than three significant figures. Finally, if a number is exact, such as the two in the formula for the circumference of a circle, C = 2πr, it does not affect the number of significant figures in a calculation. Likewise, conversion factors such as 100 cm/1 m are considered exact and do not affect the number of significant figures in a calculation.

英語のヒント

この教科書では、ほとんどの数は有効数字3桁と仮定する。また、すべての解答付き例題で、有効数字の数が一貫するようにしている。例えば、3桁で示した答えは、少なくとも3桁の精度を持つ入力値に基づく。入力値の有効数字が少なければ、答えの有効数字も少なくなる。また、有効数字の数が、設定された状況にとって妥当であるようにも配慮する。一部の話題、特に光学では、より精密な数値が必要であるため、有効数字を3桁より多く使う。最後に、円周の公式C = 2πrの2のように、厳密な数は、計算の有効数字の数に影響しない。同様に、100 cm/1 mのような換算係数は厳密な値とみなし、計算の有効数字の数に影響しない。

Summaryまとめ

Accuracy of a measured value refers to how close a measurement is to an accepted reference value. The discrepancy in a measurement is the amount by which the measurement result differs from this value.
英語のヒント
測定値の正確さとは、認められた基準値に測定値がどれだけ近いかをいう。測定のずれとは、測定結果とこの値との差である。
Precision of measured values refers to how close the agreement is between repeated measurements. The uncertainty of a measurement is a quantification of this.
英語のヒント
測定値の精密さとは、繰り返した測定値が互いにどれだけよく一致するかをいう。測定の不確かさは、それを定量化したものである。
The precision of a measuring tool is related to the size of its measurement increments. The smaller the measurement increment, the more precise the tool.
英語のヒント
測定器の精密さは、測定の刻み幅に関係する。刻み幅が小さいほど、測定器は精密である。
Significant figures express the precision of a measuring tool.
英語のヒント
有効数字は、測定器の精密さを表す。
When multiplying or dividing measured values, the final answer can contain only as many significant figures as the value with the least number of significant figures.
英語のヒント
測定値を掛けたり割ったりする場合、最終的な答えの有効数字の数は、有効数字が最も少ない値の桁数までしか認められない。
When adding or subtracting measured values, the final answer cannot contain more decimal places than the least-precise value.
英語のヒント
測定値を足したり引いたりする場合、最終的な答えの小数位の数は、最も精密さの低い値の小数位の数を超えられない。

Key Equations重要な式

Percent uncertainty

不確かさの百分率

Percent uncertainty = \frac{δ A}{A} \times 100 %

不確かさの百分率 = \frac{δ A}{A} \times 100 %

Conceptual Questions概念を確かめる問題

Exercises 63練習問題 63

Exercise 63問題 63

(a) What is the relationship between the precision and the uncertainty of a measurement? (b) What is the relationship between the accuracy and the discrepancy of a measurement?

英語のヒント

(a) 測定の精密さと不確かさには、どのような関係があるか。(b) 測定の正確さとずれには、どのような関係があるか。

Solution解き方

a. Uncertainty is a quantitative measure of precision. b. Discrepancy is a quantitative measure of accuracy.

英語のヒント

a. 不確かさは、精密さの定量的な尺度である。b. ずれは、正確さの定量的な尺度である。

Problems演習問題

Exercises 64–77練習問題 64–77

Exercise 64問題 64

Consider the equation 4000/400 = 10.0. Assuming the number of significant figures in the answer is correct, what can you say about the number of significant figures in 4000 and 400?

英語のヒント

等式4000/400 = 10.0を考える。答えの有効数字の数が正しいと仮定すると、4000と400の有効数字の数について何がいえるか。

Exercise 65問題 65

Suppose your bathroom scale reads your mass as 65 kg with a 3% uncertainty. What is the uncertainty in your mass (in kilograms)?

英語のヒント

体重計が、3%の不確かさで、質量65 kgを示したとする。質量の不確かさは何キログラムか。

Solution解き方

2 kg

Exercise 66問題 66

A good-quality measuring tape can be off by 0.50 cm over a distance of 20 m. What is its percent uncertainty?

英語のヒント

良質な巻き尺でも、20 mの距離で0.50 cmずれることがある。不確かさの百分率はいくらか。

Exercise 67問題 67

An infant’s pulse rate is measured to be 130 ± 5 beats/min. What is the percent uncertainty in this measurement?

英語のヒント

乳児の脈拍数を測ると、130 ± 5拍/minだった。この測定の不確かさの百分率はいくらか。

Solution解き方

Exercise 68問題 68

(a) Suppose that a person has an average heart rate of 72.0 beats/min. How many beats do they have in 2.0 years? (b) In 2.00 years? (c) In 2.000 years?

英語のヒント

(a) ある人の平均心拍数が72.0拍/minであるとする。2.0年間の心拍数は何回か。(b) 2.00年間では何回か。(c) 2.000年間では何回か。

Exercise 69問題 69

A can contains 375 mL of soda. How much is left after 308 mL is removed?

英語のヒント

缶に375 mLの炭酸飲料が入っている。308 mLを取り出すと、どれだけ残るか。

Solution解き方

67 mL

Exercise 70問題 70

State how many significant figures are proper in the results of the following calculations: (a)

(106.7) (98.2) / (46.210) (1.01);

(b)

{(18.7)}^{2};

(c)

(1.60 \times 10^{−19}) (3712)

英語のヒント

次の計算結果には、有効数字が何桁あれば適切かを述べよ。(a)

(106.7) (98.2) / (46.210) (1.01);

、(b)

{(18.7)}^{2};

、(c)

(1.60 \times 10^{−19}) (3712)

。

Exercise 71問題 71

(a) How many significant figures are in the numbers 99 and 100.? (b) If the uncertainty in each number is 1, what is the percent uncertainty in each? (c) Which is a more meaningful way to express the accuracy of these two numbers: significant figures or percent uncertainties?

英語のヒント

(a) 99と100.の有効数字は、それぞれ何桁か。(b) それぞれの数の不確かさが1なら、不確かさの百分率はいくらか。(c) この二つの数の正確さを表すには、有効数字と不確かさの百分率のどちらが、より意味のある方法か。

Solution解き方

a. The number 99 has 2 significant figures; 100. has 3 significant figures. b. 1.00%; c. percent uncertainties

英語のヒント

a. 99の有効数字は2桁、100.の有効数字は3桁である。b. 1.00%。c. 不確かさの百分率。

Exercise 72問題 72

(a) If your speedometer has an uncertainty of 2.0 km/h at a speed of 90 km/h, what is the percent uncertainty? (b) If it has the same percent uncertainty when it reads 60 km/h, what is the range of speeds you could be going?

英語のヒント

(a) 速度計が90 km/hを示すとき、不確かさが2.0 km/hなら、不確かさの百分率はいくらか。(b) 60 km/hを示すときも同じ不確かさの百分率なら、実際に進んでいる可能性のある速さの範囲はどれだけか。

Exercise 73問題 73

(a) A person’s blood pressure is measured to be

120 \pm 2 mm Hg .

What is its percent uncertainty? (b) Assuming the same percent uncertainty, what is the uncertainty in a blood pressure measurement of 80 mm Hg?

英語のヒント

(a) ある人の血圧は

120 \pm 2 mm Hg

と測定された。不確かさの百分率はいくらか。(b) 同じ不確かさの百分率と仮定すると、80 mm Hgという血圧測定値の不確かさはいくらか。

Solution解き方

a. 2%; b. 1 mm Hg

a. 2%；b. 1 mm Hg

Exercise 74問題 74

A person measures their heart rate by counting the number of beats in 30 s. If 40 ± 1 beats are counted in 30.0 ± 0.5 s, what is the heart rate and its uncertainty in beats per minute?

英語のヒント

30 s間の拍動回数を数えて心拍数を測る。30.0 ± 0.5 s間に40 ± 1回を数えた場合、1分あたりの心拍数とその不確かさはいくらか。

Exercise 75問題 75

What is the area of a circle 3.102 cm in diameter?

英語のヒント

直径3.102 cmの円の面積はいくらか。

Solution解き方

7.557 cm²

Exercise 76問題 76

Determine the number of significant figures in the following measurements: (a) 0.0009, (b) 15,450.0, (c) 6×10³, (d) 87.990, and (e) 30.42.

英語のヒント

次の測定値の有効数字の数を求めよ。(a) 0.0009、(b) 15,450.0、(c) 6×10³、(d) 87.990、(e) 30.42。

Exercise 77問題 77

Perform the following calculations and express your answer using the correct number of significant digits. (a) A woman has two bags weighing 13.5 lb and one bag with a weight of 10.2 lb. What is the total weight of the bags? (b) The force F on an object is equal to its mass m multiplied by its acceleration a. If a wagon with mass 55 kg accelerates at a rate of 0.0255 m/s², what is the force on the wagon? (The unit of force is called the newton and it is expressed with the symbol N.)

英語のヒント

次の計算を行い、正しい有効数字の数を使って答えを表せ。(a) ある女性が、13.5 lbの袋を二つと、10.2 lbの袋を一つ持っている。袋の総重量はいくらか。(b) 物体に働く力Fは、質量mと加速度aの積に等しい。質量55 kgの荷車が0.0255 m/s²で加速するとき、荷車に働く力はいくらか。力の単位はニュートンといい、記号Nで表す。

Solution解き方

a. 37.2 lb; because the number of bags is an exact value, it is not considered in the significant figures; b. 1.4 N; because the value 55 kg has only two significant figures, the final value must also contain two significant figures

英語のヒント

a. 37.2 lb。袋の数は厳密な値なので、有効数字には数えない。b. 1.4 N。55 kgの有効数字が2桁だけなので、最終的な値も有効数字2桁でなければならない。

accuracy

正確さ

the degree to which a measured value agrees with an accepted reference value for that measurement

英語のヒント

測定値が、その測定に対して認められた基準値と一致する程度。

discrepancy

ずれ

the difference between the measured value and a given standard or expected value

英語のヒント

測定値と、与えられた標準値または期待値との差。

method of adding percents

百分率を加える方法

the percent uncertainty in a quantity calculated by multiplication or division is the sum of the percent uncertainties in the items used to make the calculation.

英語のヒント

掛け算や割り算で計算した量の不確かさの百分率は、計算に使った各量の不確かさの百分率の和になるという方法。

percent uncertainty

不確かさの百分率

the ratio of the uncertainty of a measurement to the measured value, expressed as a percentage

英語のヒント

測定の不確かさと測定値との比を、百分率で表したもの。

precision

精密さ

the degree to which repeated measurements agree with each other

英語のヒント

繰り返した測定値が、互いに一致する程度。

significant figures

有効数字

used to express the precision of a measuring tool used to measure a value

英語のヒント

値の測定に使う測定器の精密さを表すために用いる数字。

uncertainty

不確かさ

a quantitative measure of how much measured values deviate from one another

英語のヒント

測定値が互いにどれほどずれているかを表す定量的な尺度。