第1章単位と測定

Challenge Problems発展問題

Exercises 88–89練習問題 88–89

Exercise 88問題 88

The first atomic bomb was detonated on July 16, 1945, at the Trinity test site about 200 mi south of Los Alamos. In 1947, the U.S. government declassified a film reel of the explosion. From this film reel, British physicist G. I. Taylor was able to determine the rate at which the radius of the fireball from the blast grew. Using dimensional analysis, he was then able to deduce the amount of energy released in the explosion, which was a closely guarded secret at the time. Because of this, Taylor did not publish his results until 1950. This problem challenges you to recreate this famous calculation. (a) Using keen physical insight developed from years of experience, Taylor decided the radius r of the fireball should depend only on the following variables:
t, the time since the explosion,

ρ,

and the density of the air,
E, the energy of the inital explosion.
Thus, he made the educated guess that

r = k E^{a} ρ^{b} t^{c}

for some dimensionless constant k and some unknown exponents a, b, and c. Given that [E] = ML²T^–2, determine the values of the exponents necessary to make this equation dimensionally consistent. (Hint: Notice the equation implies that

k = r E^{− a} ρ^{− b} t^{− c}

and that

[k] = 1 .

) (b) By analyzing data from high-energy conventional explosives, Taylor found the formula he derived seemed to be valid as long as the constant k had the value 1.03. From the film reel, he was able to determine many values of r and the corresponding values of t. For example, he found that after 25.0 ms, the fireball had a radius of 130.0 m. Use these values, along with an average air density of 1.25 kg/m³, to calculate the initial energy release of the Trinity detonation in joules (J). (Hint: To get energy in joules, you need to make sure all the numbers you substitute in are expressed in terms of SI base units.) (c) The energy released in large explosions is often cited in units of “tons of TNT” (abbreviated “t TNT”), where 1 t TNT is about 4.2 GJ. Convert your answer to (b) into kilotons of TNT (that is, kt TNT). Compare your answer with the quick-and-dirty estimate of 10 kt TNT made by physicist Enrico Fermi shortly after witnessing the explosion from what was thought to be a safe distance. (Reportedly, Fermi made his estimate by dropping some shredded bits of paper right before the remnants of the shock wave hit him and looked to see how far they were carried by it.)

英語のヒント

最初の原子爆弾は、1945年7月16日、ロスアラモスの南約200 miにあるトリニティ実験場で爆発した。1947年、米国政府は爆発を記録した映画フィルムの機密指定を解除した。英国の物理学者G・I・テイラーは、このフィルムから、爆発による火球の半径が増大する速さを求めることができた。さらに次元解析を用い、当時厳重な秘密だった、爆発で放出されたエネルギーを導き出せた。そのため、テイラーが結果を公表したのは1950年になってからだった。この問題では、この有名な計算を再現してみよう。(a) テイラーは、長年の経験で培った鋭い物理的洞察から、火球の半径rは、爆発からの経過時間t、空気の密度

ρ

、最初の爆発のエネルギーEという変数だけに依存するはずだと考えた。そして、ある無次元定数kと、未知の指数a、b、cを用いて、

r = k E^{a} ρ^{b} t^{c}

と推測した。[E] = ML²T^–2として、この式の次元を整合させるのに必要な指数の値を求めよ。（ヒント：この式から

k = r E^{− a} ρ^{− b} t^{− c}

であり、

[k] = 1

であることに注意せよ。）(b) テイラーは、高エネルギーの通常爆薬のデータを解析し、定数kを1.03とすれば、導いた式が成り立つようだと分かった。フィルムからは、多くのrと対応するtの値を読み取れた。例えば、25.0 ms後の火球の半径は130.0 mだった。これらの値と平均空気密度1.25 kg/m³を使い、トリニティ実験の爆発で最初に放出されたエネルギーをジュール（J）で計算せよ。（ヒント：ジュールでエネルギーを得るには、代入するすべての数値がSI基本単位で表されていることを確認する必要がある。）(c) 大きな爆発で放出されるエネルギーは、しばしば「TNTトン」（略記t TNT）という単位で示される。1 t TNTは約4.2 GJである。(b)の答えをTNTキロトン、すなわちkt TNTへ換算せよ。安全だと考えられていた距離から爆発を目撃した直後に、エンリコ・フェルミが手早く大まかに見積もった10 kt TNTと比べよ。伝えられるところでは、フェルミは衝撃波の残りが到達する直前に、細かく裂いた紙片を落とし、どれほど運ばれるかを見て推定した。

Exercise 89問題 89

The purpose of this problem is to show the entire concept of dimensional consistency can be summarized by the old saying “You can’t add apples and oranges.” If you have studied power series expansions in a calculus course, you know the standard mathematical functions such as trigonometric functions, logarithms, and exponential functions can be expressed as infinite sums of the form

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots,

where the

a_{n}

are dimensionless constants for all

n = 0, 1, 2, \dots

and x is the argument of the function. (If you have not studied power series in calculus yet, just trust us.) Use this fact to explain why the requirement that all terms in an equation have the same dimensions is sufficient as a definition of dimensional consistency. That is, it actually implies the arguments of standard mathematical functions must be dimensionless, so it is not really necessary to make this latter condition a separate requirement of the definition of dimensional consistency as we have done in this section.

英語のヒント

この問題の目的は、次元の整合性という概念全体を、「リンゴとオレンジは足せない」という古い言い回しでまとめられると示すことである。微積分でべき級数展開を学んだことがあれば、三角関数・対数関数・指数関数などの標準的な数学関数が、

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots

という形の無限和で表せることを知っているだろう。ここで

a_{n}

は、すべての

n = 0, 1, 2, \dots

について無次元の定数であり、xは関数の引数である。まだべき級数を学んでいなければ、ここではこの事実を受け入れてほしい。この事実を用い、「式のすべての項が同じ次元を持つ」という要請だけで、次元の整合性の定義として十分である理由を説明せよ。つまり、この要請から、標準的な数学関数の引数は無次元でなければならないことも導かれる。そのため、この節で行ったように、後者を別の要請として定義に加える必要は、実際にはない。

Solution解き方

Since each term in the power series involves the argument raised to a different power, the only way that every term in the power series can have the same dimension is if the argument is dimensionless. To see this explicitly, suppose [x] = L^aM^bT^c. Then, [xⁿ] = [x]ⁿ = L^anM^bnT^cn. If we want [x] = [xⁿ], then an = a, bn = b, and cn = c for all n. The only way this can happen is if a = b = c = 0.

英語のヒント

べき級数の各項には、引数の異なる累乗が含まれる。そのため、すべての項が同じ次元を持てるのは、引数が無次元の場合だけである。これを明示的に確かめるため、[x] = L^aM^bT^cとする。すると、[xⁿ] = [x]ⁿ = L^anM^bnT^cnである。[x] = [xⁿ]とするには、すべてのnについてan = a、bn = b、cn = cが必要になる。これが成り立つのは、a = b = c = 0のときだけである。