第1章単位と測定

1.4 Dimensional Analysis1.4　次元解析

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を学び終えると、次のことができるようになる。

Find the dimensions of a mathematical expression involving physical quantities.
英語のヒント
物理量を含む数式の次元を求める。
Determine whether an equation involving physical quantities is dimensionally consistent.
英語のヒント
物理量を含む式の次元が整合しているか判断する。

The dimension of any physical quantity expresses its dependence on the base quantities as a product of symbols (or powers of symbols) representing the base quantities. Table 1.3 lists the base quantities and the symbols used for their dimension. For example, a measurement of length is said to have dimension L or L¹, a measurement of mass has dimension M or M¹, and a measurement of time has dimension T or T¹. Like units, dimensions obey the rules of algebra. Thus, area is the product of two lengths and so has dimension L², or length squared. Similarly, volume is the product of three lengths and has dimension L³, or length cubed. Speed has dimension length over time, L/T or LT^–1. Volumetric mass density has dimension M/L³ or ML^–3, or mass over length cubed. In general, the dimension of any physical quantity can be written as

L^{a} M^{b} T^{c} I^{d} Θ^{e} N^{f} J^{g}

for some powers

a, b, c, d, e, f,

and g. We can write the dimensions of a length in this form with

a = 1

and the remaining six powers all set equal to zero:

L^{1} = L^{1} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0} .

Any quantity with a dimension that can be written so that all seven powers are zero (that is, its dimension is

L^{0} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0}

) is called dimensionless (or sometimes “of dimension 1,” because anything raised to the zero power is one). Physicists often call dimensionless quantities pure numbers.

英語のヒント

物理量の次元は、その量が基本量にどう依存するかを、基本量を表す記号、またはその累乗の積として表す。表1.3に、基本量とその次元を表す記号を示す。例えば、長さの測定値は次元LまたはL¹を持ち、質量の測定値は次元MまたはM¹を持ち、時間の測定値は次元TまたはT¹を持つという。単位と同じように、次元も代数の規則に従う。面積は二つの長さの積なので、次元はL²、すなわち長さの2乗である。同様に、体積は三つの長さの積なので、次元はL³、すなわち長さの3乗である。速さの次元は長さを時間で割ったL/T、またはLT^–1である。体積質量密度の次元はM/L³、またはML^–3、すなわち質量を長さの3乗で割ったものである。一般に、どんな物理量の次元も、ある指数

a, b, c, d, e, f

およびgを用い、

L^{a} M^{b} T^{c} I^{d} Θ^{e} N^{f} J^{g}

と書ける。長さの次元をこの形で書くには、

a = 1

とし、残りの六つの指数をすべて0にすればよく、

L^{1} = L^{1} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0}

となる。七つの指数がすべて0になる形、つまり次元が

L^{0} M^{0} T^{0} I^{0} Θ^{0} N^{0} J^{0}

と書ける量は、無次元と呼ばれる。どんな数も0乗すると1になるため、「次元1」と呼ぶこともある。物理学者は、無次元の量を純数と呼ぶことが多い。

Base Quantities and Their Dimensions基本量とその次元

Table 1.3表 1.3
Base Quantity 基本量	Symbol for Dimension 次元の記号
Length 長さ	L
Mass 質量	M
Time 時間	T
Current 電流	I
Thermodynamic temperature 熱力学温度	Θ
Amount of substance 物質量	N
Luminous intensity 光度	J

Physicists often use square brackets around the symbol for a physical quantity to represent the dimensions of that quantity. For example, if

r

is the radius of a cylinder and

h

is its height, then we write

[r] = L

and

[h] = L

to indicate the dimensions of the radius and height are both those of length, or L. Similarly, if we use the symbol

A

for the surface area of a cylinder and

V

for its volume, then [A] = L² and [V] = L³. If we use the symbol

m

for the mass of the cylinder and

ρ

for the density of the material from which the cylinder is made, then

[m] = M

and

[ρ] = {ML}^{−3} .

英語のヒント

物理学者は、物理量の記号を角括弧で囲んで、その量の次元を表すことが多い。例えば、

r

が円柱の半径、

h

が高さなら、

[r] = L

および

[h] = L

と書き、半径と高さの次元がどちらも長さ、すなわちLであることを示す。同様に、円柱の表面積を

A

、体積を

V

で表すなら、[A] = L²、[V] = L³となる。円柱の質量を

m

、円柱を構成する材料の密度を

ρ

で表すなら、

[m] = M

および

[ρ] = {ML}^{−3}

となる。

The importance of the concept of dimension arises from the fact that any mathematical equation relating physical quantities must be dimensionally consistent, which means the equation must obey the following rules:

英語のヒント

次元という概念が重要なのは、物理量どうしを結びつける数式は、必ず次元が整合していなければならないからである。すなわち、式は次の規則に従わなければならない。

Every term in an expression must have the same dimensions; it does not make sense to add or subtract quantities of differing dimension (think of the old saying: “You can’t add apples and oranges”). In particular, the expressions on each side of the equality in an equation must have the same dimensions.
英語のヒント
式の各項は、すべて同じ次元を持たなければならない。次元の異なる量を足したり引いたりしても意味がない。「リンゴとオレンジは足せない」という古い言い回しを思い出そう。特に、等式の左辺と右辺の式は、同じ次元を持たなければならない。
The arguments of any of the standard mathematical functions such as trigonometric functions (such as sine and cosine), logarithms, or exponential functions that appear in the equation must be dimensionless. These functions require pure numbers as inputs and give pure numbers as outputs.
英語のヒント
等式に現れる、三角関数（正弦や余弦など）、対数関数、指数関数など、標準的な数学関数の引数は、無次元でなければならない。これらの関数は、入力として純数を受け取り、出力として純数を与える。

If either of these rules is violated, an equation is not dimensionally consistent and cannot possibly be a correct statement of physical law. This simple fact can be used to check for typos or algebra mistakes, to help remember the various laws of physics, and even to suggest the form that new laws of physics might take. This last use of dimensions is beyond the scope of this text, but is something you may learn later in your academic career.

英語のヒント

この二つの規則のどちらかに反すれば、式の次元は整合しておらず、物理法則を正しく述べたものではありえない。この単純な事実は、誤植や代数計算の誤りの検出、さまざまな物理法則を思い出す手掛かり、さらには新しい物理法則がとりうる形の推測にも使える。最後の使い方はこの教科書の範囲を超えるが、学習を進める中で後に学ぶことがあるだろう。

Example 1.4例題 1.4

Using Dimensions to Remember an Equation次元を使って式を思い出す

Suppose we need the formula for the area of a circle for some computation. Like many people who learned geometry too long ago to recall with any certainty, two expressions may pop into our mind when we think of circles:

π r^{2}

and

2 π r .

One expression is the circumference of a circle of radius r and the other is its area. But which is which?

英語のヒント

ある計算のために、円の面積の公式が必要だとする。幾何学を学んだのがはるか昔で、確信を持って思い出せない多くの人と同じように、円を考えると、

π r^{2}

と

2 π r

という二つの式が頭に浮かぶかもしれない。一方は半径rの円の周長、他方は面積である。だが、どちらがどちらだろうか。

Strategy方針

One natural strategy is to look it up, but this could take time to find information from a reputable source. Besides, even if we think the source is reputable, we shouldn’t trust everything we read. It is nice to have a way to double-check just by thinking about it. Also, we might be in a situation in which we cannot look things up (such as during a test). Thus, the strategy is to find the dimensions of both expressions by making use of the fact that dimensions follow the rules of algebra. If either expression does not have the same dimensions as area, then it cannot possibly be the correct equation for the area of a circle.

英語のヒント

自然な方針の一つは調べることだが、信頼できる情報源を探すには時間がかかるかもしれない。それに、信頼できる情報源だと思っても、読んだことをすべて信じるべきではない。考えるだけで再確認できる方法があると便利である。また、試験中など、調べられない状況かもしれない。そこで、次元が代数の規則に従うことを利用して、両方の式の次元を求める。面積と同じ次元を持たない式は、円の面積を表す正しい式ではありえない。

Solution解答

We know the dimension of area is L². Now, the dimension of the expression

π r^{2}

英語のヒント

面積の次元はL²であると分かっている。式

π r^{2}

の次元は、次のようになる。

[π r^{2}] = [π] \cdot {[r]}^{2} = 1 \cdot L^{2} = L^{2},

since the constant

π

is a pure number and the radius

r

is a length. Therefore,

π r^{2}

has the dimension of area. Similarly, the dimension of the expression

2 π r

英語のヒント

定数

π

は純数、半径

r

は長さであるためである。したがって、

π r^{2}

は面積の次元を持つ。同様に、式

2 π r

の次元は次のようになる。

[2 π r] = [2] \cdot [π] \cdot [r] = 1 \cdot 1 \cdot L = L,

since the constants

2

and

π

are both dimensionless and the radius

r

is a length. We see that

2 π r

has the dimension of length, which means it cannot possibly be an area.

英語のヒント

定数

2

と

π

はどちらも無次元で、半径

r

は長さであるためである。

2 π r

の次元は長さであり、面積ではありえないと分かる。

We rule out

2 π r

because it is not dimensionally consistent with being an area. We see that

π r^{2}

is dimensionally consistent with being an area, so if we have to choose between these two expressions,

π r^{2}

is the one to choose.

英語のヒント

2 π r

は、面積であることと次元が整合しないため、候補から除外する。

π r^{2}

は面積として次元が整合している。したがって、この二つの式から選ばなければならないなら、選ぶべきなのは

π r^{2}

である。

Significance意味の検討

This may seem like kind of a silly example, but the ideas are very general. As long as we know the dimensions of the individual physical quantities that appear in an equation, we can check to see whether the equation is dimensionally consistent. On the other hand, knowing that true equations are dimensionally consistent, we can match expressions from our imperfect memories to the quantities for which they might be expressions. Doing this will not help us remember dimensionless factors that appear in the equations (for example, if you had accidentally conflated the two expressions from the example into

2 π r^{2},

then dimensional analysis is no help), but it does help us remember the correct basic form of equations.

英語のヒント

少しばかげた例に思えるかもしれないが、考え方は非常に一般的である。式に現れる個々の物理量の次元が分かっていれば、その式の次元が整合しているかを確認できる。また、正しい式は次元が整合しているという知識から、不完全な記憶に残る式と、それが表している可能性のある量とを対応させられる。この方法では、式に現れる無次元の係数は思い出せない。例えば、この例の二つの式をうっかり混同して

2 π r^{2}

としていたら、次元解析は助けにならない。しかし、式の正しい基本形を思い出す助けにはなる。

Example 1.5例題 1.5

Checking Equations for Dimensional Consistency式の次元の整合性を確かめる

Consider the physical quantities

s,

v,

a,

and

t

with dimensions

[s] = L,

[v] = {LT}^{−1},

[a] = {LT}^{−2},

and

[t] = T .

Determine whether each of the following equations is dimensionally consistent: (a)

s = v t + 0.5 a t^{2};

(b)

s = v t^{2} + 0.5 a t;

and (c)

v = sin (a t^{2} / s) .

英語のヒント

物理量

s

、

v

、

a

、

t

を考える。それぞれの次元は

[s] = L

、

[v] = {LT}^{−1}

、

[a] = {LT}^{−2}

、

[t] = T

である。次の各式の次元が整合しているか判断せよ。(a)

s = v t + 0.5 a t^{2};

、(b)

s = v t^{2} + 0.5 a t;

、(c)

v = sin (a t^{2} / s)

。

Strategy方針

By the definition of dimensional consistency, we need to check that each term in a given equation has the same dimensions as the other terms in that equation and that the arguments of any standard mathematical functions are dimensionless.

英語のヒント

次元の整合性の定義に従い、与えられた式の各項がほかの項と同じ次元を持つことと、標準的な数学関数の引数が無次元であることを確かめる必要がある。

Solution解答

There are no trigonometric, logarithmic, or exponential functions to worry about in this equation, so we need only look at the dimensions of each term appearing in the equation. There are three terms, one in the left expression and two in the expression on the right, so we look at each in turn:
英語のヒント
この式には、注意すべき三角関数・対数関数・指数関数がないので、式に現れる各項の次元だけを調べればよい。項は左辺に一つ、右辺に二つの、合計三つある。それぞれを順に調べる。

$\begin{matrix} [s] = L \\ [v t] = [v] \cdot [t] = {LT}^{−1} \cdot T = {LT}^{0} = L \\ [0.5 a t^{2}] = [a] \cdot {[t]}^{2} = {LT}^{−2} \cdot T^{2} = {LT}^{0} = L . \end{matrix}$

All three terms have the same dimension, so this equation is dimensionally consistent.
英語のヒント
三つの項はすべて同じ次元を持つため、この式の次元は整合している。
Again, there are no trigonometric, exponential, or logarithmic functions, so we only need to look at the dimensions of each of the three terms appearing in the equation:
英語のヒント
ここにも三角関数・指数関数・対数関数はないため、式に現れる三つの項の次元だけを調べればよい。

$\begin{matrix} [s] = L \\ [v t^{2}] = [v] \cdot {[t]}^{2} = {LT}^{−1} \cdot T^{2} = LT \\ [a t] = [a] \cdot [t] = {LT}^{−2} \cdot T = {LT}^{−1} . \end{matrix}$

None of the three terms has the same dimension as any other, so this is about as far from being dimensionally consistent as you can get. The technical term for an equation like this is nonsense.
英語のヒント
三つの項のどの二つを取っても、次元が一致しない。これ以上ないほど、次元が整合していない式である。このような式を専門的には「ナンセンス」と呼ぶ。
This equation has a trigonometric function in it, so first we should check that the argument of the sine function is dimensionless:
英語のヒント
この式には三角関数が含まれるため、まず、正弦関数の引数が無次元であることを確かめる。

$\begin{matrix} [\frac{a t^{2}}{s}] = \frac{[a] \cdot {[t]}^{2}}{[s]} = \frac{{LT}^{−2} \cdot T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 . \end{matrix}$

The argument is dimensionless. So far, so good. Now we need to check the dimensions of each of the two terms (that is, the left expression and the right expression) in the equation:
英語のヒント
引数は無次元である。ここまでは問題ない。次に、式の二つの項、すなわち左辺と右辺の式の次元を確かめる必要がある。

$\begin{matrix} [v] = {LT}^{−1} \\ [sin (\frac{a t^{2}}{s})] = 1 . \end{matrix}$

The two terms have different dimensions—meaning, the equation is not dimensionally consistent. This equation is another example of “nonsense.”

英語のヒント

二つの項の次元が異なるため、この式の次元は整合していない。この式も「ナンセンス」の一例である。

Significance意味の検討

If we are trusting people, these types of dimensional checks might seem unnecessary. But, rest assured, any textbook on a quantitative subject such as physics (including this one) almost certainly contains some equations with typos. Checking equations routinely by dimensional analysis save us the embarrassment of using an incorrect equation. Also, checking the dimensions of an equation we obtain through algebraic manipulation is a great way to make sure we did not make a mistake (or to spot a mistake, if we made one).

英語のヒント

人を信用しやすいなら、このような次元の確認は不要に思えるかもしれない。しかし、これは確かなことだが、この本を含め、物理学のような定量的な分野の教科書には、ほぼ間違いなく、誤植を含む式がある。次元解析によって日ごろから式を点検すれば、誤った式を使う失敗を避けられる。また、代数的な操作で得た式の次元を点検することは、間違いがないと確かめたり、間違いがあれば発見したりする優れた方法である。

第1章単位と測定

1.4 Dimensional Analysis1.4 次元解析

Learning Objectives学習目標

Base Quantities and Their Dimensions基本量とその次元

Using Dimensions to Remember an Equation次元を使って式を思い出す

Strategy方針

Solution解答

Significance意味の検討

Checking Equations for Dimensional Consistency式の次元の整合性を確かめる

Strategy方針

Solution解答

Significance意味の検討

1.4 Dimensional Analysis1.4　次元解析