プリンキピア

第1章単位と測定

1.3 Unit Conversion1.3　単位換算

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を学び終えると、次のことができるようになる。
  • Use conversion factors to express the value of a given quantity in different units.
    英語のヒント
    換算係数を使い、与えられた量の値を異なる単位で表す。
It is often necessary to convert from one unit to another. For example, if you are reading a European cookbook, some quantities may be expressed in units of liters and you need to convert them to cups. Or perhaps you are reading walking directions from one location to another and you are interested in how many miles you will be walking. In this case, you may need to convert units of feet or meters to miles.
英語のヒント
ある単位から別の単位への換算は、しばしば必要になる。例えば、ヨーロッパの料理本を読んでいると、分量がリットルで表されていて、カップへ換算する必要があるかもしれない。あるいは、ある場所から別の場所まで歩く道順を読み、何マイル歩くことになるのか知りたい場合もある。この場合は、フィートやメートルからマイルへ換算する必要があるだろう。
Let’s consider a simple example of how to convert units. Suppose we want to convert 80 m to kilometers. The first thing to do is to list the units you have and the units to which you want to convert. In this case, we have units in meters and we want to convert to kilometers. Next, we need to determine a conversion factor relating meters to kilometers. A conversion factor is a ratio that expresses how many of one unit are equal to another unit. For example, there are 12 in. in 1 ft, 1609 m in 1 mi, 100 cm in 1 m, 60 s in 1 min, and so on. Refer to Appendix B for a more complete list of conversion factors. In this case, we know that there are 1000 m in 1 km. Now we can set up our unit conversion. We write the units we have and then multiply them by the conversion factor so the units cancel out, as shown:
英語のヒント
単位換算の簡単な例を考えてみよう。80 mをキロメートルに換算したいとする。最初にすることは、現在の単位と換算したい単位を書き出すことである。この場合、現在の単位はメートルで、換算先はキロメートルである。次に、メートルとキロメートルを結びつける換算係数を求める必要がある。換算係数とは、ある単位のいくつ分が別の単位の一つ分に等しいかを表す比である。例えば、1 ftは12 in.、1 miは1609 m、1 mは100 cm、1 minは60 sである。より詳しい換算係数の一覧は、付録Bを参照せよ。この場合、1 kmが1000 mであると分かっている。これで換算の式を立てられる。もとの量を単位付きで書き、単位が約分されるように換算係数を掛けると、次のようになる。
80m×1km1000m=0.080km.
Note that the unwanted meter unit cancels, leaving only the desired kilometer unit. You can use this method to convert between any type of unit. Now, the conversion of 80 m to kilometers is simply the use of a metric prefix, as we saw in the preceding section, so we can get the same answer just as easily by noting that
英語のヒント
不要なメートルの単位が約分され、求めるキロメートルの単位だけが残ることに注目しよう。この方法は、どんな種類の単位の換算にも使える。80 mをキロメートルへ換算することは、前の節で見た接頭語の使用にすぎないため、次の関係に注目するだけでも、同じように簡単に答えが得られる。
80m=8.0×101m=8.0×10−2km=0.080km,
since “kilo-” means 103 (see Table 1.2) and 1=−2+3. However, using conversion factors is handy when converting between units that are not metric or when converting between derived units, as the following examples illustrate.
英語のヒント
これは「キロ」が103を意味し（表1.2参照）、1=−2+3であるためである。しかし、次の例が示すように、メートル法ではない単位を換算するときや、組立単位どうしを換算するときには、換算係数を使うと便利である。
Example 1.2例題 1.2

Converting Nonmetric Units to Metric非メートル法の単位をメートル法へ換算する

The distance from the university to home is 10 mi and it usually takes 20 min to drive this distance. Calculate the average speed in meters per second (m/s). (Note: Average speed is distance traveled divided by time of travel.)
英語のヒント
大学から自宅までの距離は10 miで、通常、車でこの距離を走るのに20 minかかる。平均の速さをメートル毎秒（m/s）で求めよ。（注：平均の速さは、移動距離を移動時間で割ったものである。）

Strategy方針

First we calculate the average speed using the given units, then we can get the average speed into the desired units by picking the correct conversion factors and multiplying by them. The correct conversion factors are those that cancel the unwanted units and leave the desired units in their place. In this case, we want to convert miles to meters, so we need to know the fact that there are 1609 m in 1 mi. We also want to convert minutes to seconds, so we use the conversion of 60 s in 1 min.
英語のヒント
まず、与えられた単位で平均の速さを計算する。次に、適切な換算係数を選んで掛ければ、求める単位で平均の速さが得られる。適切な換算係数とは、不要な単位を約分し、その代わりに求める単位を残すものである。この場合、マイルをメートルへ換算したいので、1 miが1609 mであるという関係が必要である。また、分を秒へ換算したいので、1 minが60 sであるという関係を使う。

Solution解答

  1. Calculate average speed. Average speed is distance traveled divided by time of travel. (Take this definition as a given for now. Average speed and other motion concepts are covered in later chapters.) In equation form,
    英語のヒント
    平均の速さを計算する。平均の速さは、移動距離を移動時間で割ったものである。今はこれを定義として受け入れよう。平均の速さや、運動に関するほかの概念は、後の章で扱う。式で表すと、
    Average speed=DistanceTime.
    平均の速さ=距離時間
  2. Substitute the given values for distance and time:
    英語のヒント
    距離と時間に、与えられた値を代入する。
    Average speed=10mi20min=0.50mimin.
    平均の速さ=10mi20min=0.50mimin
  3. Convert miles per minute to meters per second by multiplying by the conversion factor that cancels miles and leave meters, and also by the conversion factor that cancels minutes and leave seconds:
    英語のヒント
    マイルを約分してメートルを残す換算係数と、分を約分して秒を残す換算係数を掛け、マイル毎分をメートル毎秒へ換算する。
    0.50milemin×1609m1mile×1min60s=(0.50)(1609)60m/s=13m/s.

Significance意味の検討

Check the answer in the following ways:
英語のヒント
次の方法で答えを確認する。
  1. Be sure the units in the unit conversion cancel correctly. If the unit conversion factor was written upside down, the units do not cancel correctly in the equation. We see the “miles” in the numerator in 0.50 mi/min cancels the “mile” in the denominator in the first conversion factor. Also, the “min” in the denominator in 0.50 mi/min cancels the “min” in the numerator in the second conversion factor.
    英語のヒント
    換算の際に、単位が正しく約分されることを確かめる。換算係数を上下逆に書くと、式の中で単位が正しく消えない。0.50 mi/minの分子にある「mi」が、最初の換算係数の分母にある「mile」と約分される。また、0.50 mi/minの分母にある「min」が、二番目の換算係数の分子にある「min」と約分される。
  2. Check that the units of the final answer are the desired units. The problem asked us to solve for average speed in units of meters per second and, after the cancellations, the only units left are a meter (m) in the numerator and a second (s) in the denominator, so we have indeed obtained these units.
    英語のヒント
    最終的な答えの単位が、求める単位になっていることを確認する。この問題では、平均の速さをメートル毎秒で求めるよう指定されている。約分後に残る単位は、分子のメートル（m）と分母の秒（s）だけなので、確かに指定どおりの単位が得られている。
Example 1.3例題 1.3

Converting between Metric Unitsメートル法の単位どうしを換算する

The density of iron is 7.86g/cm3 under standard conditions. Convert this to kg/m3.
英語のヒント
標準状態での鉄の密度は7.86g/cm3である。これをkg/m3に換算せよ。

Strategy方針

We need to convert grams to kilograms and cubic centimeters to cubic meters. The conversion factors we need are 1kg=103g and 1cm=10−2m. However, we are dealing with cubic centimeters (cm3=cm×cm×cm), so we have to use the second conversion factor three times (that is, we need to cube it). The idea is still to multiply by the conversion factors in such a way that they cancel the units we want to get rid of and introduce the units we want to keep.
英語のヒント
グラムをキログラムへ、立方センチメートルを立方メートルへ換算する必要がある。必要な換算係数は、1kg=103gと1cm=10−2mである。ただし、ここで扱っているのは立方センチメートル(cm3=cm×cm×cm)なので、二つ目の換算係数を3回使う、つまり3乗しなければならない。考え方は同じで、取り除きたい単位が約分され、残したい単位が導入されるように換算係数を掛ける。

Solution解答

7.86gcm3×kg103g×(cm10−2m)3=7.86(103)(10−6)kg/m3=7.86×103kg/m3

Significance意味の検討

Remember, it’s always important to check the answer.
英語のヒント
答えの確認は、いつも重要であることを忘れないようにしよう。
  1. Be sure to cancel the units in the unit conversion correctly. We see that the gram (“g”) in the numerator in 7.86 g/cm3 cancels the “g” in the denominator in the first conversion factor. Also, the three factors of “cm” in the denominator in 7.86 g/cm3 cancel with the three factors of “cm” in the numerator that we get by cubing the second conversion factor.
    英語のヒント
    単位換算で、単位を正しく約分することを確かめる。7.86 g/cm3の分子のグラム（g）は、最初の換算係数の分母の「g」と約分される。また、7.86 g/cm3の分母にある三つの「cm」は、二番目の換算係数を3乗して得られる分子の三つの「cm」と約分される。
  2. Check that the units of the final answer are the desired units. The problem asked for us to convert to kilograms per cubic meter. After the cancellations just described, we see the only units we have left are “kg” in the numerator and three factors of “m” in the denominator (that is, one factor of “m” cubed, or “m3”). Therefore, the units on the final answer are correct.
    英語のヒント
    最終的な答えの単位が、求める単位であることを確かめる。この問題では、キログラム毎立方メートルへの換算を求められている。先ほど述べた約分を行うと、残る単位は分子の「kg」と、分母の三つの「m」、すなわち「m」の3乗である「m3」だけになる。したがって、最終的な答えの単位は正しい。
Unit conversions may not seem very interesting, but not doing them can be costly. One famous example of this situation was seen with the Mars Climate Orbiter. This probe was launched by NASA on December 11, 1998. On September 23, 1999, while attempting to guide the probe into its planned orbit around Mars, NASA lost contact with it. Subsequent investigations showed a piece of software called SM_FORCES (or “small forces”) was recording thruster performance data in the English units of pound-force-seconds (lbf-s). However, other pieces of software that used these values for course corrections expected them to be recorded in the SI units of newton-seconds (N-s), as dictated in the software interface protocols. This error caused the probe to follow a very different trajectory from what NASA thought it was following, which most likely caused the probe either to burn up in the Martian atmosphere or to shoot out into space. This failure to pay attention to unit conversions cost hundreds of millions of dollars, not to mention all the time invested by the scientists and engineers who worked on the project.
英語のヒント
単位換算は、あまり興味を引かないかもしれない。しかし、怠ると大きな損失につながることがある。有名な例が、マーズ・クライメイト・オービターで起こった。この探査機は、1998年12月11日にNASAが打ち上げた。1999年9月23日、火星を回る計画どおりの軌道へ誘導しようとしていた際に、NASAは探査機との通信を失った。その後の調査で、SM_FORCES、すなわち「small forces」と呼ばれるソフトウェアが、スラスターの性能データを、英米単位のポンド重秒（lbf-s）で記録していたと判明した。しかし、軌道修正のためにその値を使う別のソフトウェアは、ソフトウェア間の接続仕様で指定されていたとおり、SI単位のニュートン秒（N-s）で記録されているものとして扱った。この誤りにより、探査機はNASAが想定したものとは大きく異なる軌道を進んだ。その結果、探査機は火星の大気中で燃え尽きるか、宇宙へ飛び去るかした可能性が高い。単位換算への注意を怠ったために、数億ドルが失われた。計画に取り組んだ科学者や技術者が投じたすべての時間については、いうまでもない。