プリンキピア

第1章単位と測定

1.5 Estimates and Fermi Calculations1.5　見積もりとフェルミ推定

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
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この節を学び終えると、次のことができるようになる。
  • Estimate the values of physical quantities.
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    物理量の値を見積もる。
On many occasions, physicists, other scientists, and engineers need to make estimates for a particular quantity. Other terms sometimes used are guesstimates, order-of-magnitude approximations, back-of-the-envelope calculations, or Fermi calculations. (The physicist Enrico Fermi mentioned earlier was famous for his ability to estimate various kinds of data with surprising precision.) Will that piece of equipment fit in the back of the car or do we need to rent a truck? How long will this download take? About how large a current will there be in this circuit when it is turned on? How many houses could a proposed power plant actually power if it is built? Note that estimating does not mean guessing a number or a formula at random. Rather, estimation means using prior experience and sound physical reasoning to arrive at a rough idea of a quantity’s value. Because the process of determining a reliable approximation usually involves the identification of correct physical principles and a good guess about the relevant variables, estimating is very useful in developing physical intuition. Estimates also allow us to perform “sanity checks” on calculations or policy proposals by helping us rule out certain scenarios or unrealistic numbers. They allow us to challenge others (as well as ourselves) in our efforts to learn truths about the world.
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物理学者やほかの科学者、技術者は、ある量を見積もる必要にしばしば迫られる。概算、桁の見積もり、封筒の裏で行うような手計算、フェルミ推定などとも呼ばれる。先に登場した物理学者エンリコ・フェルミは、さまざまなデータを驚くほど精密に見積もる能力で有名だった。この機器は車の後部に収まるのか、それともトラックを借りる必要があるのか。ダウンロードはどのくらいかかるのか。この回路のスイッチを入れると、およそどのくらいの電流が流れるのか。計画中の発電所が建設されたら、実際に何軒の家へ電力を供給できるのか。見積もるとは、数や公式をでたらめに推測することではない。これまでの経験と、筋の通った物理的な推論を使い、量の値の大まかな見当をつけることである。信頼できる近似を求める過程では、通常、正しい物理原理を見定め、関連する変数について妥当な推測をする必要がある。そのため、見積もりは物理的な直感を育てるのに非常に役立つ。また、ありえない状況や非現実的な数値を除外する助けとなるため、計算や政策提案が常識にかなうかを点検することもできる。世界についての真実を知ろうとする中で、他者だけでなく自分自身の考えにも疑問を投げかけられる。
Many estimates are based on formulas in which the input quantities are known only to a limited precision. As you develop physics problem-solving skills (which are applicable to a wide variety of fields), you also will develop skills at estimating. You develop these skills by thinking quantitatively and being willing to take risks. As with any skill, experience helps. Familiarity with dimensions (see Table 1.3) and units (see Table 1.1 and Table 1.2), and the scales of base quantities (see Figure 1.4) also helps.
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多くの見積もりは、入力する量が限られた精密さでしか分かっていない公式に基づく。物理の問題を解く技能は、幅広い分野に応用できるものであり、その技能が育つにつれて、見積もる技能も育つ。数量的に考え、間違う危険を引き受けて試すことで、こうした技能を伸ばせる。ほかの技能と同じく、経験が役立つ。次元（表1.3）、単位（表1.1と表1.2）、基本量の尺度（図1.4）に慣れていることも助けになる。
To make some progress in estimating, you need to have some definite ideas about how variables may be related. The following strategies may help you in practicing the art of estimation:
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見積もりを進めるには、変数がどのように関係しうるかについて、ある程度はっきりした考えが必要である。次の方針は、見積もりの技術を練習する助けになるだろう。
  • Get big lengths from smaller lengths. When estimating lengths, remember that anything can be a ruler. Thus, imagine breaking a big thing into smaller things, estimate the length of one of the smaller things, and multiply to get the length of the big thing. For example, to estimate the height of a building, first count how many floors it has. Then, estimate how big a single floor is by imagining how many people would have to stand on each other’s shoulders to reach the ceiling. Last, estimate the height of a person. The product of these three estimates is your estimate of the height of the building. It helps to have memorized a few length scales relevant to the sorts of problems you find yourself solving. For example, knowing some of the length scales in Figure 1.4 might come in handy. Sometimes it also helps to do this in reverse—that is, to estimate the length of a small thing, imagine a bunch of them making up a bigger thing. For example, to estimate the thickness of a sheet of paper, estimate the thickness of a stack of paper and then divide by the number of pages in the stack. These same strategies of breaking big things into smaller things or aggregating smaller things into a bigger thing can sometimes be used to estimate other physical quantities, such as masses and times.
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    小さな長さから大きな長さを求める。長さを見積もるときは、何でも物差しになることを思い出そう。大きなものを小さなものに分ける様子を想像し、その一つの長さを見積もり、個数を掛ければ、大きなものの長さが得られる。例えば建物の高さなら、まず階数を数える。次に、天井へ届くには何人が肩の上に立つ必要があるかを想像して、一階分の高さを見積もる。最後に、人の身長を見積もる。この三つの見積もりの積が、建物の高さの見積もりになる。自分が解く問題に関係する長さの尺度を、いくつか覚えておくと役立つ。例えば、図1.4の長さの尺度をいくつか知っていると便利かもしれない。逆の方法が役立つこともある。小さなものの長さを見積もるために、それらをたくさん集めて大きなものを作ると考えるのである。例えば紙一枚の厚さを見積もるには、紙の束の厚さを見積もり、それを紙の枚数で割る。大きなものを小さく分ける、あるいは小さなものを集めて大きくするという同じ方針は、質量や時間など、ほかの物理量の見積もりにも使えることがある。
  • Get areas and volumes from lengths. When dealing with an area or a volume of a complex object, introduce a simple model of the object such as a sphere or a box. Then, estimate the linear dimensions (such as the radius of the sphere or the length, width, and height of the box) first, and use your estimates to obtain the volume or area from standard geometric formulas. If you happen to have an estimate of an object’s area or volume, you can also do the reverse; that is, use standard geometric formulas to get an estimate of its linear dimensions.
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    長さから面積や体積を求める。複雑な物体の面積や体積を扱うときは、球や箱など、その物体の単純なモデルを導入する。まず、球の半径や箱の長さ・幅・高さなどの長さの寸法を見積もり、標準的な幾何学の公式を使って、体積や面積を求める。物体の面積や体積の見積もりがあれば、逆に、標準的な幾何学の公式から長さの寸法を見積もることもできる。
  • Get masses from volumes and densities. When estimating masses of objects, it can help first to estimate its volume and then to estimate its mass from a rough estimate of its average density (recall, density has dimension mass over length cubed, so mass is density times volume). For this, it helps to remember that the density of air is around 1 kg/m3, the density of water is 103 kg/m3, and the densest everyday solids max out at around 104 kg/m3. Asking yourself whether an object floats or sinks in either air or water gets you a ballpark estimate of its density. You can also do this the other way around; if you have an estimate of an object’s mass and its density, you can use them to get an estimate of its volume.
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    体積と密度から質量を求める。物体の質量を見積もるときは、まず体積を見積もり、次に平均密度を大まかに見積もって質量を求めると役立つことがある。密度の次元は質量を長さの3乗で割ったものなので、質量は密度と体積の積であることを思い出そう。このためには、空気の密度がおよそ1 kg/m3、水の密度が103 kg/m3であり、日常的な固体で最も密度の高いものでも、およそ104 kg/m3であると覚えておくとよい。物体が空気中や水中で浮くか沈むかを考えれば、その密度のおおよその見当がつく。これも逆向きに使える。物体の質量と密度の見積もりがあれば、体積を見積もれる。
  • If all else fails, bound it. For physical quantities for which you do not have a lot of intuition, sometimes the best you can do is think something like: Well, it must be bigger than this and smaller than that. For example, suppose you need to estimate the mass of a moose. Maybe you have a lot of experience with moose and know their average mass offhand. If so, great. But for most people, the best they can do is to think something like: It must be bigger than a person (of order 102 kg) and less than a car (of order 103 kg). If you need a single number for a subsequent calculation, you can take the geometric mean of the upper and lower bound—that is, you multiply them together and then take the square root. For the moose mass example, this would be
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    ほかに方法がなければ、上下限を定める。直感があまり働かない物理量では、「少なくともこれより大きく、それより小さいはずだ」と考えることが、できる限りの最善である場合もある。例えば、ヘラジカの質量を見積もる必要があるとする。ヘラジカによく接していて、その平均質量を即座に答えられるなら、それでよい。しかし、ほとんどの人は、「人（102 kgの桁）より大きく、車（103 kgの桁）より小さいはずだ」と考えるのが精いっぱいだろう。後の計算に一つの数が必要なら、上限と下限の幾何平均を取ればよい。つまり二つを掛け、その平方根を取る。ヘラジカの質量の例では、次のようになる。
    (102×103)0.5=102.5=100.5×102≈3×102kg.
    The tighter the bounds, the better. Also, no rules are unbreakable when it comes to estimation. If you think the value of the quantity is likely to be closer to the upper bound than the lower bound, then you may want to bump up your estimate from the geometric mean by an order or two of magnitude.
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    上下限の幅が狭いほどよい。また、見積もりでは、絶対に破ってはいけない規則はない。値が下限より上限に近いと思うなら、幾何平均から1桁か2桁、見積もりを引き上げたほうがよいこともある。
  • One “sig. fig.” is fine. There is no need to go beyond one significant figure, or one digit in the coefficient of an expression in scientific notation, when doing calculations to obtain an estimate. In most cases, the order of magnitude is good enough. The goal is just to get in the ballpark figure, so keep the arithmetic as simple as possible.
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    有効数字は1桁でよい。見積もりのための計算では、有効数字を1桁より多くする必要はない。これは科学的記数法の係数を1桁にすることに相当する。たいていは、桁の大きさが分かれば十分である。目標はおおよその値を得ることなので、計算はできるだけ単純に保とう。
  • Ask yourself: Does this make any sense? Last, check to see whether your answer is reasonable. How does it compare with the values of other quantities with the same dimensions that you already know or can look up easily? If you get some wacky answer (for example, if you estimate the mass of the Atlantic Ocean to be bigger than the mass of Earth, or some time span to be longer than the age of the universe), first check to see whether your units are correct. Then, check for arithmetic errors. Then, rethink the logic you used to arrive at your answer. If everything checks out, you may have just proved that some slick new idea is actually bogus.
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    「これは理にかなうか」と自問する。最後に、答えが妥当か確かめる。同じ次元を持つ、すでに知っている量や簡単に調べられる量の値と比べるとどうだろうか。例えば、大西洋の質量を地球の質量より大きく見積もったり、ある時間の長さを宇宙の年齢より長く見積もったりするなど、奇妙な答えが出たら、まず単位が正しいか確認する。次に計算ミスを調べる。その次に、答えへ至るために使った論理を考え直す。すべて正しければ、うまく見える新しい考えが実はまやかしであることを、たった今証明したのかもしれない。
Example 1.6例題 1.6

Mass of Earth’s Oceans地球の海洋の質量

Estimate the total mass of the oceans on Earth.
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地球上の海洋の総質量を見積もれ。

Strategy方針

We know the density of water is about 103 kg/m3, so we start with the advice to “get masses from densities and volumes.” Thus, we need to estimate the volume of the planet’s oceans. Using the advice to “get areas and volumes from lengths,” we can estimate the volume of the oceans as surface area times average depth, or V = AD. We know the diameter of Earth from Figure 1.4 and we know that most of Earth’s surface is covered in water, so we can estimate the surface area of the oceans as being roughly equal to the surface area of the planet. By following the advice to “get areas and volumes from lengths” again, we can approximate Earth as a sphere and use the formula for the surface area of a sphere of diameter d—that is, A=πd2, to estimate the surface area of the oceans. Now we just need to estimate the average depth of the oceans. For this, we use the advice: “If all else fails, bound it.” We happen to know the deepest points in the ocean are around 10 km and that it is not uncommon for the ocean to be deeper than 1 km, so we take the average depth to be around (103×104)0.5≈3×103m. Now we just need to put it all together, heeding the advice that “one ‘sig. fig.’ is fine.”
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水の密度は約103 kg/m3だと分かっているため、「密度と体積から質量を求める」という助言から始める。したがって、地球の海洋の体積を見積もる必要がある。「長さから面積や体積を求める」という助言を使うと、海洋の体積を、表面積と平均の深さの積、すなわちV = ADとして見積もれる。図1.4から地球の直径が分かり、地表の大部分が水に覆われていると知っているため、海洋の表面積を地球の表面積にほぼ等しいと見積もれる。再び「長さから面積や体積を求める」に従い、地球を球で近似し、直径dの球の表面積の公式A=πd2で、海洋の表面積を見積もる。あとは、海洋の平均の深さを見積もればよい。ここでは「ほかに方法がなければ、上下限を定める」という助言を使う。海の最も深いところが約10 kmであり、深さが1 kmを超える場所も珍しくないと知っているので、平均の深さをおよそ(103×104)0.5≈3×103mとする。これで、「有効数字は1桁でよい」という助言に従い、すべてをまとめればよい。

Solution解答

We estimate the surface area of Earth (and hence the surface area of Earth’s oceans) to be roughly
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地球の表面積、したがって海洋の表面積を、およそ次のように見積もる。
A=πd2=π(107m)2≈3×1014m2.
Next, using our average depth estimate of D=3×103m, which was obtained by bounding, we estimate the volume of Earth’s oceans to be
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次に、上下限から求めた平均の深さの見積もりD=3×103mを用い、海洋の体積を次のように見積もる。
V=AD=(3×1014m2)(3×103m)=9×1017m3.
Last, we estimate the mass of the world’s oceans to be
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最後に、世界の海洋の質量を次のように見積もる。
M=ρV=(103kg/m3)(9×1017m3)=9×1020kg.
Thus, we estimate that the order of magnitude of the mass of the planet’s oceans is 1021 kg.
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したがって、地球の海洋の質量の桁の大きさは、1021 kgと見積もられる。

Significance意味の検討

To verify our answer to the best of our ability, we first need to answer the question: Does this make any sense? From Figure 1.4, we see the mass of Earth’s atmosphere is on the order of 1019 kg and the mass of Earth is on the order of 1025 kg. It is reassuring that our estimate of 1021 kg for the mass of Earth’s oceans falls somewhere between these two. So, yes, it does seem to make sense. It just so happens that we did a search on the Web for “mass of oceans” and the top search results all said 1.4×1021kg, which is the same order of magnitude as our estimate. Now, rather than having to trust blindly whoever first put that number up on a website (most of the other sites probably just copied it from them, after all), we can have a little more confidence in it.
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答えをできる限り確かめるには、まず「これは理にかなうか」という問いに答える必要がある。図1.4を見ると、地球の大気の質量は1019 kgの桁、地球の質量は1025 kgの桁である。海洋の質量の見積もり1021 kgがこの二つの間に入ることは、安心できる結果である。したがって、理にかなっているように見える。実際にウェブで「海洋の質量」を検索したところ、上位の結果はすべて1.4×1021kgとしており、見積もりと同じ桁の大きさであった。これで、最初にその数値をウェブサイトへ載せた誰かを盲目的に信じる必要はなく、値にもう少し自信を持てる。結局、ほかのサイトの多くは、その値を写しただけかもしれないのだから。