第1章単位と測定

Uncertainties in calculations計算における不確かさ

Uncertainty exists in anything calculated from measured quantities. For example, the area of a floor calculated from measurements of its length and width has an uncertainty because the length and width have uncertainties. How big is the uncertainty in something you calculate by multiplication or division? If the measurements going into the calculation have small uncertainties (a few percent or less), then the method of adding percents can be used for multiplication or division. This method states the percent uncertainty in a quantity calculated by multiplication or division is the sum of the percent uncertainties in the items used to make the calculation. For example, if a floor has a length of 4.00 m and a width of 3.00 m, with uncertainties of 2% and 1%, respectively, then the area of the floor is 12.0 m² and has an uncertainty of 3%. (Expressed as an area, this is 0.36 m² [

12.0 m^{2} \times 0.03

], which we round to 0.4 m² since the area of the floor is given to a tenth of a square meter.)

英語のヒント

測定された量から計算した値には、必ず不確かさがある。例えば、床の長さと幅を測って計算した面積には、長さと幅に不確かさがあるため、不確かさが生じる。掛け算や割り算で得た量の不確かさは、どのくらいだろうか。計算に使う測定値の不確かさが小さい、例えば数パーセント以下なら、掛け算や割り算には、百分率を加える方法を使える。この方法では、掛け算や割り算で計算した量の不確かさの百分率は、計算に使った各量の不確かさの百分率の和になる。例えば、床の長さが4.00 m、幅が3.00 mで、それぞれの不確かさが2%と1%なら、面積は12.0 m²で、不確かさは3%である。面積として表すと0.36 m²［

12.0 m^{2} \times 0.03

］だが、床面積が0.1平方メートルの位まで与えられているため、0.4 m²に丸める。

Precision of Measuring Tools and Significant Figures測定器の精密さと有効数字

An important factor in the precision of measurements involves the precision of the measuring tool. In general, a precise measuring tool is one that can measure values in very small increments. For example, a standard ruler can measure length to the nearest millimeter whereas a caliper can measure length to the nearest 0.01 mm. The caliper is a more precise measuring tool because it can measure extremely small differences in length. The more precise the measuring tool, the more precise the measurements.

英語のヒント

測定の精密さを左右する重要な要因に、測定器自体の精密さがある。一般に、精密な測定器とは、非常に細かな刻みで値を測れるものである。例えば、普通の物差しは長さを1 mm単位で測れるが、ノギスは0.01 mm単位で測れる。極めて小さな長さの違いを測れるため、ノギスのほうが精密な測定器である。測定器が精密であるほど、測定も精密になる。

When we express measured values, we can only list as many digits as we measured initially with our measuring tool. For example, if we use a standard ruler to measure the length of a stick, we may measure it to be 36.7 cm. We can’t express this value as 36.71 cm because our measuring tool is not precise enough to measure a hundredth of a centimeter. It should be noted that the last digit in a measured value has been estimated in some way by the person performing the measurement. For example, the person measuring the length of a stick with a ruler notices the stick length seems to be somewhere in between 36.6 cm and 36.7 cm, and he or she must estimate the value of the last digit. Using the method of significant figures, the rule is that the last digit written down in a measurement is the first digit with some uncertainty. To determine the number of significant digits in a value, start with the first measured value at the left and count the number of digits through the last digit written on the right. For example, the measured value 36.7 cm has three digits, or three significant figures. Significant figures indicate the precision of the measuring tool used to measure a value.

英語のヒント

測定値を表すときは、測定器で実際に測った桁数までしか書けない。例えば、普通の物差しで棒の長さを測って36.7 cmだったとする。測定器は0.01 cmまで測れるほど精密ではないため、36.71 cmとは表せない。測定値の最後の桁は、測る人が何らかの形で推定した値であることに注意しよう。例えば、物差しで測っている人が、棒の長さは36.6 cmと36.7 cmの間らしいと判断した場合、最後の桁を推定しなければならない。有効数字の方法では、測定値に書いた最後の桁が、不確かさを含む最初の桁になるという規則を使う。有効数字の桁数を求めるには、左側の最初の測定された数字から、右側に書いた最後の数字まで数える。例えば、測定値36.7 cmは3桁で、有効数字も3桁である。有効数字は、値を測るために使った測定器の精密さを示す。

Zerosゼロ

Special consideration is given to zeros when counting significant figures. The zeros in 0.053 are not significant because they are placeholders that locate the decimal point. There are two significant figures in 0.053. The zeros in 10.053 are not placeholders; they are significant. This number has five significant figures. The zeros in 1300 may or may not be significant, depending on the style of writing numbers. They could mean the number is known to the last digit or they could be placeholders. So 1300 could have two, three, or four significant figures. To avoid this ambiguity, we should write 1300 in scientific notation as

1.3 \times 10^{3},

1.30 \times 10^{3},

1.300 \times 10^{3},

depending on whether it has two, three, or four significant figures. Zeros are significant except when they serve only as placeholders.

英語のヒント

有効数字を数えるとき、ゼロには特別な注意が必要である。0.053のゼロは、小数点の位置を示すための位取りなので、有効ではない。0.053の有効数字は2桁である。10.053のゼロは、単なる位取りではなく、有効である。この数の有効数字は5桁である。1300のゼロが有効かどうかは、数の書き方による。最後の桁まで分かっていることを意味する場合もあれば、単なる位取りの場合もある。そのため、1300の有効数字は2桁、3桁、4桁のいずれともとれる。この曖昧さを避けるには、有効数字が2桁、3桁、4桁のどれかに応じ、科学的記数法で

1.3 \times 10^{3}

、

1.30 \times 10^{3}

、

1.300 \times 10^{3}

と書くべきである。ゼロは、位取りとしてだけ働く場合を除き、有効数字である。

Significant figures in calculations計算における有効数字

When combining measurements with different degrees of precision with the mathematical operations of addition, subtraction, multiplication, or division, then the number of significant digits in the final answer can be no greater than the number of significant digits in the least-precise measured value. There are two different rules, one for multiplication and division and the other for addition and subtraction.

英語のヒント

精密さの異なる測定値を、加算・減算・乗算・除算で組み合わせるとき、最終的な答えの有効数字の数は、最も精密さの低い測定値の有効数字の数を超えられない。乗算・除算の場合と、加算・減算の場合とで、二つの異なる規則がある。

For multiplication and division, the result should have the same number of significant figures as the quantity with the least number of significant figures entering into the calculation. For example, the area of a circle can be calculated from its radius using A = πr². Let’s see how many significant figures the area has if the radius has only two—say, r = 1.2 m. Using a calculator with an eight-digit output, we would calculate
英語のヒント
掛け算と割り算では、結果の有効数字の数を、計算に使う量の中で有効数字が最も少ないものに合わせる。例えば、円の面積は、半径からA = πr²を使って計算できる。半径の有効数字が2桁だけ、例えばr = 1.2 mの場合、面積の有効数字が何桁になるかを見てみよう。8桁表示の計算機を使うと、次のようになる。

$A = π r^{2} = (3.1415927 …) \times {(1.2 m)}^{2} = 4.5238934 m^{2} .$

But because the radius has only two significant figures, it limits the calculated quantity to two significant figures, or
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しかし、半径の有効数字が2桁しかないため、計算で得られる量も2桁に制限される。すなわち、

$A = 4.5 m^{2},$

although π is good to at least eight digits.
英語のヒント
πは少なくとも8桁まで正しくても、結果はこのようになる。
For addition and subtraction, the answer can contain no more decimal places than the least-precise measurement. Suppose we buy 7.56 kg of potatoes in a grocery store as measured with a scale with precision 0.01 kg, then we drop off 6.052 kg of potatoes at your laboratory as measured by a scale with precision 0.001 kg. Then, we go home and add 13.7 kg of potatoes as measured by a bathroom scale with precision 0.1 kg. How many kilograms of potatoes do we now have and how many significant figures are appropriate in the answer? The mass is found by simple addition and subtraction:
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足し算と引き算では、答えに含められる小数位の数は、最も精密さの低い測定値の小数位の数を超えられない。食料品店で、0.01 kgの精密さのはかりで量ったジャガイモ7.56 kgを買い、研究室に0.001 kgの精密さのはかりで量った6.052 kgを届けたとする。次に帰宅し、0.1 kgの精密さの体重計で量った13.7 kgを加えたとする。今、ジャガイモは何キログラムあるだろうか。答えには何桁の有効数字が適切だろうか。質量は単純な足し算と引き算で求まる。

$7.56 kg - 6.052 kg + 13.7 kg = 15.208 kg$

Next, we identify the least-precise measurement: 13.7 kg. This measurement is expressed to the 0.1 decimal place, so our final answer must also be expressed to the 0.1 decimal place. Thus, the answer is rounded to the tenths place, giving us 15.2 kg.
英語のヒント
次に、最も精密さの低い測定値13.7 kgを特定する。これは0.1の位まで表されているため、最終的な答えも0.1の位まででなければならない。したがって、小数第1位に丸め、15.2 kgとする。