第1章単位と測定

Solution解答

The solution stage is when you do the math. Substitute the knowns (along with their units) into the appropriate equation and obtain numerical solutions complete with units. That is, do the algebra, calculus, geometry, or arithmetic necessary to find the unknown from the knowns, being sure to carry the units through the calculations. This step is clearly important because it produces the numerical answer, along with its units. Notice, however, that this stage is only one-third of the overall problem-solving process.

英語のヒント

解答の段階では、数学的な計算を行う。既知の量を単位ごと適切な式に代入し、単位付きの数値的な解を得る。つまり、既知の量から未知の量を求めるために必要な代数・微積分・幾何学・算術の計算を、単位を保ちながら行う。数値とその単位から成る答えが得られるため、この段階は明らかに重要である。しかし、問題解決の全過程のうち、これが3分の1にすぎないことに注意しよう。

Significance意味の検討

After having done the math in the solution stage of problem solving, it is tempting to think you are done. But, always remember that physics is not math. Rather, in doing physics, we use mathematics as a tool to help us understand nature. So, after you obtain a numerical answer, you should always assess its significance:

英語のヒント

解答の段階で計算を終えると、もう終わったと思いたくなる。しかし、物理学は数学そのものではないことを、常に覚えておこう。物理学では、自然を理解するための道具として数学を使う。したがって、数値的な答えを得た後は、必ずその意味を評価するべきである。

Check your units. If the units of the answer are incorrect, then an error has been made and you should go back over your previous steps to find it. One way to find the mistake is to check all the equations you derived for dimensional consistency. However, be warned that correct units do not guarantee the numerical part of the answer is also correct.
英語のヒント
単位を確認する。答えの単位が誤っていれば、どこかで間違っているため、それまでの手順をたどり直して探す。間違いを見つける方法の一つは、導いた式すべての次元の整合性を確認することである。ただし、単位が正しくても、答えの数値部分まで正しいとは保証されないことに注意しよう。
Check the answer to see whether it is reasonable. Does it make sense? This step is extremely important: the goal of physics is to describe nature accurately. To determine whether the answer is reasonable, check both its magnitude and its sign, in addition to its units. The magnitude should be consistent with a rough estimate of what it should be. It should also compare reasonably with magnitudes of other quantities of the same type. The sign usually tells you about direction and should be consistent with your prior expectations. Your judgment will improve as you solve more physics problems, and it will become possible for you to make finer judgments regarding whether nature is described adequately by the answer to a problem. This step brings the problem back to its conceptual meaning. If you can judge whether the answer is reasonable, you have a deeper understanding of physics than just being able to solve a problem mechanically.
英語のヒント
答えが妥当かを確認する。理にかなっているだろうか。この段階は極めて重要である。物理学の目標は、自然を正確に記述することだからである。答えが妥当か判断するには、単位だけでなく、大きさと符号の両方を確かめる。大きさは、本来どのくらいになるかの概算と整合し、同じ種類のほかの量の大きさと比べても妥当であるべきだ。符号は通常、方向を示し、事前の予想と整合しているべきである。物理の問題を多く解くほど判断力は向上し、答えが自然を十分に記述しているかを、より細かく判断できるようになる。この段階は、問題を概念的な意味へと戻す。答えが妥当か判断できるなら、ただ機械的に問題を解けるだけの場合より、物理学を深く理解している。
Check to see whether the answer tells you something interesting. What does it mean? This is the flip side of the question: Does it make sense? Ultimately, physics is about understanding nature, and we solve physics problems to learn a little something about how nature operates. Therefore, assuming the answer does make sense, you should always take a moment to see if it tells you something about the world that you find interesting. Even if the answer to this particular problem is not very interesting to you, what about the method you used to solve it? Could the method be adapted to answer a question that you do find interesting? In many ways, it is in answering questions such as these that science progresses.
英語のヒント
答えが何か興味深いことを教えてくれるか、確かめる。どのような意味があるのだろうか。これは「理にかなうか」という問いの裏側である。物理学は最終的に自然の理解を目指し、問題を解くのは、自然がどのように働くかを少しでも学ぶためである。したがって、答えが理にかなうなら、世界について自分が興味を持てることを教えてくれるか、必ず少し立ち止まって考えるべきである。この問題の答え自体にはあまり興味がなくても、解くために使った方法はどうだろうか。その方法を、興味のある問いへ答えるために応用できないだろうか。多くの点で、科学はこのような問いに答えることによって進歩する。

Summaryまとめ

The three stages of the process for solving physics problems used in this book are as follows:

英語のヒント

この教科書で使う、物理の問題を解く過程の三段階は、次のとおりである。

Strategy: Determine which physical principles are involved and develop a strategy for using them to solve the problem.
英語のヒント
方針：関係する物理原理を特定し、それらを使って問題を解くための方針を立てる。
Solution: Do the math necessary to obtain a numerical solution complete with units.
英語のヒント
解答：単位付きの数値的な解を得るために、必要な計算を行う。
Significance: Check the solution to make sure it makes sense (correct units, reasonable magnitude and sign) and assess its significance.
英語のヒント
意味の検討：解の単位、大きさ、符号が妥当で、理にかなっていることを確かめ、その意味を評価する。

Conceptual Questions概念を確かめる問題

Exercises 78–79練習問題 78–79

Exercise 78問題 78

What information do you need to choose which equation or equations to use to solve a problem?

英語のヒント

問題を解くために使う式を一つ、あるいは複数選ぶには、どのような情報が必要か。

Exercise 79問題 79

What should you do after obtaining a numerical answer when solving a problem?

英語のヒント

問題を解くとき、数値的な答えを得た後には何をすべきか。

Solution解き方

Check to make sure it makes sense and assess its significance.

英語のヒント

理にかなっていることを確かめ、その意味を評価する。

Additional Problems追加問題

Exercises 80–87練習問題 80–87

Exercise 80問題 80

Consider the equation y = mt +b, where the dimension of y is length and the dimension of t is time, and m and b are constants. What are the dimensions and SI units of (a) m and (b) b?

英語のヒント

式y = mt + bを考える。yの次元は長さ、tの次元は時間であり、mとbは定数である。(a) m、(b) bの次元とSI単位は何か。

Exercise 81問題 81

Consider the equation

s = s_{0} + v_{0} t + a_{0} t^{2} / 2 + j_{0} t^{3} / 6 + S_{0} t^{4} / 24 + c t^{5} / 120,

where s is a length and t is a time. What are the dimensions and SI units of (a)

s_{0},

(b)

v_{0},

(c)

a_{0},

(d)

j_{0},

(e)

S_{0},

and (f) c?

英語のヒント

式

s = s_{0} + v_{0} t + a_{0} t^{2} / 2 + j_{0} t^{3} / 6 + S_{0} t^{4} / 24 + c t^{5} / 120

を考える。sは長さ、tは時間である。(a)

s_{0}

、(b)

v_{0}

、(c)

a_{0}

、(d)

j_{0}

、(e)

S_{0}

、(f) cの次元とSI単位は何か。

Solution解き方

[s_{0}] = L

and units are meters (m); b.

[v_{0}] = {LT}^{−1}

and units are meters per second (m/s); c.

[a_{0}] = {LT}^{−2}

and units are meters per second squared (m/s²); d.

[j_{0}] = {LT}^{−3}

and units are meters per second cubed (m/s³); e.

[S_{0}] = {LT}^{−4}

and units are m/s⁴; f.

[c] = {LT}^{−5}

and units are m/s⁵.

英語のヒント

[s_{0}] = L

、単位はメートル（m）。b.

[v_{0}] = {LT}^{−1}

、単位はメートル毎秒（m/s）。c.

[a_{0}] = {LT}^{−2}

、単位はメートル毎秒毎秒（m/s²）。d.

[j_{0}] = {LT}^{−3}

、単位はメートル毎秒の3乗（m/s³）。e.

[S_{0}] = {LT}^{−4}

、単位はm/s⁴。f.

[c] = {LT}^{−5}

、単位はm/s⁵。

Exercise 82問題 82

(a) A car speedometer has a 5% uncertainty. What is the range of possible speeds when it reads 90 km/h? (b) Convert this range to miles per hour. Note 1 km = 0.6214 mi.

英語のヒント

(a) 自動車の速度計の不確かさは5%である。90 km/hを示すとき、実際にありうる速さの範囲はいくらか。(b) この範囲をマイル毎時へ換算せよ。1 km = 0.6214 miである。

Exercise 83問題 83

A marathon runner completes a 42.188-km course in 2 h, 30 min, and 12 s. There is an uncertainty of 25 m in the distance traveled and an uncertainty of 1 s in the elapsed time. (a) Calculate the percent uncertainty in the distance. (b) Calculate the percent uncertainty in the elapsed time. (c) What is the average speed in meters per second? (d) What is the uncertainty in the average speed?

英語のヒント

マラソン走者が42.188 kmのコースを2 h 30 min 12 sで走り終えた。走行距離の不確かさは25 m、経過時間の不確かさは1 sである。(a) 距離の不確かさの百分率を求めよ。(b) 経過時間の不確かさの百分率を求めよ。(c) 平均の速さをメートル毎秒で求めよ。(d) 平均の速さの不確かさはいくらか。

Solution解き方

a. 0.059%; b. 0.01%; c. 4.681 m/s; d. 0.07%, 0.003 m/s

a. 0.059%；b. 0.01%；c. 4.681 m/s；d. 0.07%、0.003 m/s

Exercise 84問題 84

The sides of a small rectangular box are measured to be 1.80 ± 0.1 cm, 2.05 ± 0.02 cm, and 3.1 ± 0.1 cm long. Calculate its volume and uncertainty in cubic centimeters.

英語のヒント

小さな直方体の箱の三辺を測ると、1.80 ± 0.1 cm、2.05 ± 0.02 cm、3.1 ± 0.1 cmだった。体積とその不確かさを、立方センチメートルで求めよ。

Exercise 85問題 85

When nonmetric units were used in the United Kingdom, a unit of mass called the pound-mass (lbm) was used, where 1 lbm = 0.4539 kg. (a) If there is an uncertainty of 0.0001 kg in the pound-mass unit, what is its percent uncertainty? (b) Based on that percent uncertainty, what mass in pound-mass has an uncertainty of 1 kg when converted to kilograms?

英語のヒント

英国で非メートル法の単位が使われていたとき、質量ポンド（lbm）という質量の単位が使われていた。1 lbm = 0.4539 kgである。(a) 質量ポンドの単位に0.0001 kgの不確かさがある場合、その百分率はいくらか。(b) その不確かさの百分率に基づくと、何質量ポンドの質量をキログラムへ換算したとき、不確かさが1 kgになるか。

Solution解き方

a. 0.02%; b. 1×10⁴ lbm

a. 0.02%；b. 1×10⁴ lbm

Exercise 86問題 86

The length and width of a rectangular room are measured to be 3.955 ± 0.005 m and 3.050 ± 0.005 m. Calculate the area of the room and its uncertainty in square meters.

英語のヒント

長方形の部屋の長さと幅を測ると、3.955 ± 0.005 mと3.050 ± 0.005 mだった。部屋の面積とその不確かさを、平方メートルで求めよ。

Exercise 87問題 87

A car engine moves a piston with a circular cross-section of 7.500 ± 0.002 cm in diameter a distance of 3.250 ± 0.001 cm to compress the gas in the cylinder. (a) By what amount is the gas decreased in volume in cubic centimeters? (b) Find the uncertainty in this volume.

英語のヒント

自動車のエンジンは、直径7.500 ± 0.002 cmの円形断面を持つピストンを、3.250 ± 0.001 cm動かして、シリンダー内の気体を圧縮する。(a) 気体の体積は何立方センチメートル減少するか。(b) この体積の不確かさを求めよ。

Solution解き方

a. 143.6 cm³; b. 0.1 cm³ or 0.084%

a. 143.6 cm³；b. 0.1 cm³、または0.084%