第3章直線上の運動

Summaryまとめ

An object in free fall experiences constant acceleration if air resistance is negligible.
英語のヒント
空気抵抗が無視できれば、自由落下中の物体は一定の加速度を受ける。
On Earth, all free-falling objects have an acceleration g due to gravity, which averages $g = 9.81 {m/s}^{2}$ .
英語のヒント
地球上で自由落下するすべての物体は、重力による加速度gを持ち、その平均値は $g = 9.81 {m/s}^{2}$ である。
For objects in free fall, the upward direction is normally taken as positive for displacement, velocity, and acceleration.
英語のヒント
自由落下する物体では通常、変位、速度、加速度について上向きを正とする。

Conceptual Questions概念を確かめる問題

Exercises 60–64練習問題 60–64

Exercise 60問題 60

What is the acceleration of a rock thrown straight upward on the way up? At the top of its flight? On the way down? Assume there is no air resistance.

英語のヒント

真上へ投げた石の加速度は、上昇中にいくらか。軌道の頂点ではどうか。下降中はどうか。空気抵抗はないとする。

Exercise 61問題 61

An object that is thrown straight up falls back to Earth. This is one-dimensional motion. (a) When is its velocity zero? (b) Does its velocity change direction? (c) Does the acceleration have the same sign on the way up as on the way down?

英語のヒント

真上へ投げた物体が地球へ戻ってくる。これは1次元運動である。(a)どのとき速度が0になるか。(b)速度の向きは変わるか。(c)上昇中と下降中で、加速度の符号は同じか。

Solution解き方

a. at the top of its trajectory; b. yes, at the top of its trajectory; c. yes

英語のヒント

(a)軌道の頂点。(b)変わる。軌道の頂点で変わる。(c)同じである。

Exercise 62問題 62

Suppose you throw a rock nearly straight up at a coconut in a palm tree and the rock just misses the coconut on the way up but hits the coconut on the way down. Neglecting air resistance and the slight horizontal variation in motion to account for the hit and miss of the coconut, how does the speed of the rock when it hits the coconut on the way down compare with what it would have been if it had hit the coconut on the way up? Is it more likely to dislodge the coconut on the way up or down? Explain.

英語のヒント

ヤシの木のココナツを狙ってほぼ真上へ石を投げたところ、上昇中はわずかに外れ、下降中に当たったとする。空気抵抗と、命中するか外れるかを分けたわずかな水平方向の違いは無視する。下降中にココナツへ当たるときの石の速さは、上昇中に当たっていた場合と比べてどうか。上昇中と下降中では、どちらがココナツを落としやすいか。説明せよ。

Exercise 63問題 63

The severity of a fall depends on your speed when you strike the ground. All factors but the acceleration from gravity being the same, how many times higher could a safe fall occur on the Moon than on Earth (gravitational acceleration on the Moon is about one-sixth that of the Earth)?

英語のヒント

落下の深刻さは、地面へ当たるときの速さに依存する。重力加速度以外のすべての要因が等しい場合、月では地球の何倍の高さから安全に落下できるか（月の重力加速度は地球の約6分の1である）。

Solution解き方

Earth

v = v_{0} - g t = − g t

; Moon

v^{'} = - \frac{g}{6} t^{'} v = v^{'} - g t = - \frac{g}{6} t^{'} t^{'} = 6 t

; Earth

y = - \frac{1}{2} g t^{2}

Moon

y^{'} = - \frac{1}{2} \frac{g}{6} {(6 t)}^{2} = - \frac{1}{2} g 6 t^{2} = −6 (\frac{1}{2} g t^{2}) = −6 y

英語のヒント

地球：

v = v_{0} - g t = − g t

。月：

v^{'} = - \frac{g}{6} t^{'} v = v^{'} - g t = - \frac{g}{6} t^{'} t^{'} = 6 t

。地球：

y = - \frac{1}{2} g t^{2}

。月：

y^{'} = - \frac{1}{2} \frac{g}{6} {(6 t)}^{2} = - \frac{1}{2} g 6 t^{2} = −6 (\frac{1}{2} g t^{2}) = −6 y

。

Exercise 64問題 64

How many times higher could an astronaut jump on the Moon than on Earth if her takeoff speed is the same in both locations (gravitational acceleration on the Moon is about on-sixth of that on Earth)?

英語のヒント

宇宙飛行士が地球と月で同じ速さで跳び上がるなら、月では地球の何倍の高さまで跳べるか（月の重力加速度は地球の約6分の1である）。

Problems問題

Exercises 65–76練習問題 65–76

Exercise 65問題 65

Calculate the displacement and velocity at times of (a) 0.500 s, (b) 1.00 s, (c) 1.50 s, and (d) 2.00 s for a ball thrown straight up with an initial velocity of 15.0 m/s. Take the point of release to be

y_{0} = 0

英語のヒント

初速度15.0 m/sで真上へ投げたボールについて、(a)0.500 s、(b)1.00 s、(c)1.50 s、(d)2.00 sでの変位と速度を求めよ。放した位置を

y_{0} = 0

とする。

Exercise 66問題 66

Calculate the displacement and velocity at times of (a) 0.500 s, (b) 1.00 s, (c) 1.50 s, (d) 2.00 s, and (e) 2.50 s for a rock thrown straight down with an initial velocity of 14.0 m/s from the Verrazano Narrows Bridge in New York City. The roadway of this bridge is 70.0 m above the water.

英語のヒント

ニューヨーク市のヴェラザノ・ナローズ橋から、初速度14.0 m/sで石を真下へ投げる。(a)0.500 s、(b)1.00 s、(c)1.50 s、(d)2.00 s、(e)2.50 sでの変位と速度を求めよ。橋の車道は水面から70.0 mの高さにある。

Solution解き方

\begin{matrix} y = −8.23 m \\ v_{1} = − 18.9 m/s \end{matrix}

;
b.

\begin{matrix} y = −18.9 m \\ v_{2} = −23.8 m/s \end{matrix}

;
c.

\begin{matrix} y = −32.0 m \\ v_{3} = − 28.7 m/s \end{matrix}

;
d.

\begin{matrix} y = −47.6 m \\ v_{4} = − 33.6 m/s \end{matrix}

;
e.

\begin{matrix} y = −65.6 m \\ v_{5} = − 38.5 m/s \end{matrix}

(a)

\begin{matrix} y = −8.23 m \\ v_{1} = − 18.9 m/s \end{matrix}

。(b)

\begin{matrix} y = −18.9 m \\ v_{2} = −23.8 m/s \end{matrix}

。(c)

\begin{matrix} y = −32.0 m \\ v_{3} = − 28.7 m/s \end{matrix}

。(d)

\begin{matrix} y = −47.6 m \\ v_{4} = − 33.6 m/s \end{matrix}

。(e)

\begin{matrix} y = −65.6 m \\ v_{5} = − 38.5 m/s \end{matrix}

。

Exercise 67問題 67

A basketball referee tosses the ball straight up for the starting tip-off. At what velocity must a basketball player leave the ground to rise 1.25 m above the floor in an attempt to get the ball?

英語のヒント

バスケットボールの審判が、試合開始のティップオフでボールを真上へ投げ上げる。選手がボールを取ろうとして床から1.25 m上がるには、どの速度で地面を離れる必要があるか。

Exercise 68問題 68

A rescue helicopter is hovering over a person whose boat has sunk. One of the rescuers throws a life preserver straight down to the victim with an initial velocity of 1.40 m/s and observes that it takes 1.8 s to reach the water. (a) List the knowns in this problem. (b) How high above the water was the preserver released? Note that the downdraft of the helicopter reduces the effects of air resistance on the falling life preserver, so that an acceleration equal to that of gravity is reasonable.

英語のヒント

船が沈んだ人の上空で、救助ヘリコプターが静止している。救助者の一人が、初速度1.40 m/sで救命浮輪を真下の要救助者へ投げ、水面へ達するまでに1.8 sかかったと観測する。(a)この問題の既知量を列挙せよ。(b)浮輪は水面からどの高さで放されたか。ヘリコプターの下降気流が、落下する浮輪への空気抵抗の影響を小さくするため、重力加速度に等しい加速度を仮定するのは妥当である。

Solution解き方

a. Knowns:

a = − 9.8 {m/s}^{2} v_{0} = −1.4 m/s t = 1.8 s y_{0} = 0 m

;
b.

y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t = −1.4 m / s (1.8 sec) - \frac{1}{2} (9.8) {(1.8 s)}^{2} = −18.4 m

and the origin is at the rescuers, who are 18.4 m above the water.

英語のヒント

(a)既知量：

a = − 9.8 {m/s}^{2} v_{0} = −1.4 m/s t = 1.8 s y_{0} = 0 m

。(b)

y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = v_{0} t - \frac{1}{2} g t = −1.4 m / s (1.8 sec) - \frac{1}{2} (9.8) {(1.8 s)}^{2} = −18.4 m

。原点は水面から18.4 m上にいる救助者の位置である。

Exercise 69問題 69

Unreasonable results A dolphin in an aquatic show jumps straight up out of the water at a velocity of 15.0 m/s. (a) List the knowns in this problem. (b) How high does his body rise above the water? To solve this part, first note that the final velocity is now a known, and identify its value. Then, identify the unknown and discuss how you chose the appropriate equation to solve for it. After choosing the equation, show your steps in solving for the unknown, checking units, and discuss whether the answer is reasonable. (c) How long a time is the dolphin in the air? Neglect any effects resulting from his size or orientation.

英語のヒント

不合理な結果。水中ショーのイルカが、水面から速度15.0 m/sで真上へ跳び出す。(a)この問題の既知量を列挙せよ。(b)体は水面からどこまで高く上がるか。まず、最終速度も既知量であることに注目して、その値を確認せよ。次に未知量を確認し、それを求めるのに適した式をどのように選んだかを論じよ。式を選んだ後、未知量を求める手順を示し、単位を確認し、答えが妥当かを論じよ。(c)イルカが空中にいる時間はどれだけか。体の大きさや向きの影響は無視せよ。

Exercise 70問題 70

A diver bounces straight up from a diving board, avoiding the diving board on the way down, and falls feet first into a pool. She starts with a velocity of 4.00 m/s and her takeoff point is 1.80 m above the pool. (a) What is her highest point above the board? (b) How long a time are her feet in the air? (c) What is her velocity when her feet hit the water?

英語のヒント

飛び込み選手が飛び込み板から真上へ跳び上がり、下降中は板を避けて、足からプールへ入る。初速度は4.00 m/sで、踏み切り位置は水面より1.80 m高い。(a)板から最高点までの高さはいくらか。(b)足が空中にある時間はどれだけか。(c)足が水へ当たるときの速度はいくらか。

Solution解き方

v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - y_{0}) y_{0} = 0 v = 0 y = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} = \frac{{(4.0 m / s)}^{2}}{2 (9.80)} = 0.82 m

; b. to the apex

v = 0.41 s

times 2 to the board = 0.82 s from the board to the water

y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = −1.80 m y_{0} = 0 v_{0} = 4.0 m / s

−1.8 = 4.0 t - 4.9 t^{2} 4.9 t^{2} - 4.0 t - 1.80 = 0

, solution to quadratic equation gives 1.13 s; c.

\begin{matrix} v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - y_{0}) y_{0} = 0 v_{0} = 4.0 m / s y = −1.80 m \\ v = 7.16 m / s \end{matrix}

英語のヒント

(a)

v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - y_{0}) y_{0} = 0 v = 0 y = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} = \frac{{(4.0 m / s)}^{2}}{2 (9.80)} = 0.82 m

。(b)頂点までは

v = 0.41 s

で、その2倍が板へ戻るまでの0.82 sとなる。板から水面までは

y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = −1.80 m y_{0} = 0 v_{0} = 4.0 m / s

−1.8 = 4.0 t - 4.9 t^{2} 4.9 t^{2} - 4.0 t - 1.80 = 0

。2次方程式を解くと1.13 sを得る。(c)

\begin{matrix} v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - y_{0}) y_{0} = 0 v_{0} = 4.0 m / s y = −1.80 m \\ v = 7.16 m / s \end{matrix}

。

Exercise 71問題 71

(a) Calculate the height of a cliff if it takes 2.35 s for a rock to hit the ground when it is thrown straight up from the cliff with an initial velocity of 8.00 m/s. (b) How long a time would it take to reach the ground if it is thrown straight down with the same speed?

英語のヒント

(a)崖から初速度8.00 m/sで真上へ投げた石が、2.35 s後に地面へ当たる。崖の高さを求めよ。(b)同じ速さで真下へ投げた場合、地面へ達するまでにどれだけかかるか。

Exercise 72問題 72

A very strong, but inept, shot putter puts the shot straight up vertically with an initial velocity of 11.0 m/s. How long a time does he have to get out of the way if the shot was released at a height of 2.20 m and he is 1.80 m tall?

英語のヒント

非常に力は強いが下手な砲丸投げ選手が、初速度11.0 m/sで砲丸を鉛直上方へ投げる。砲丸を放した高さが2.20 mで、選手の身長が1.80 mの場合、砲丸を避けるまでにどれだけの時間があるか。

Solution解き方

Time to the apex:

t = 1.12 s

times 2 equals 2.24 s to a height of 2.20 m. To 1.80 m in height is an additional 0.40 m.

\begin{matrix} y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = −0.40 m y_{0} = 0 v_{0} = −11.0 m / s \\ y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = −0.40 m y_{0} = 0 v_{0} = −11.0 m / s \\ - 0.40 = −11.0 t - 4.9 t^{2} or 4.9 t^{2} + 11.0 t - 0.40 = 0 \end{matrix}

.
Take the positive root, so the time to go the additional 0.4 m is 0.04 s. Total time is

2.24 s + 0.04 s = 2.28 s

英語のヒント

頂点までの時間は

t = 1.12 s

で、その2倍の2.24 sで高さ2.20 mへ戻る。高さ1.80 mまでは、さらに0.40 m下がる。

\begin{matrix} y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = −0.40 m y_{0} = 0 v_{0} = −11.0 m / s \\ y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} y = −0.40 m y_{0} = 0 v_{0} = −11.0 m / s \\ - 0.40 = −11.0 t - 4.9 t^{2} または 4.9 t^{2} + 11.0 t - 0.40 = 0 \end{matrix}

。正の根を取ると、この0.4 mを進む時間は0.04 sとなる。合計時間は

2.24 s + 0.04 s = 2.28 s

である。

Exercise 73問題 73

You throw a ball straight up with an initial velocity of 15.0 m/s. It passes a tree branch on the way up at a height of 7.0 m. How much additional time elapses before the ball passes the tree branch on the way back down?

英語のヒント

ボールを初速度15.0 m/sで真上へ投げる。上昇中、高さ7.0 mの木の枝を通過する。その後、下降中に同じ枝を通過するまでに、どれだけの時間がかかるか。

Exercise 74問題 74

A kangaroo can jump over an object 2.50 m high. (a) Considering just its vertical motion, calculate its vertical speed when it leaves the ground. (b) How long a time is it in the air?

英語のヒント

カンガルーは高さ2.50 mの物体を跳び越えられる。(a)鉛直運動だけを考え、地面を離れるときの鉛直方向の速さを求めよ。(b)空中にいる時間はどれだけか。

Solution解き方

\begin{matrix} v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - y_{0}) y_{0} = 0 v = 0 y = 2.50 m \\ v_{0}^{2} = 2 g y \Rightarrow v_{0} = \sqrt{2 (9.80) (2.50)} = 7.0 m / s \end{matrix}

; b.

t = 0.72 s

times 2 gives 1.44 s in the air

英語のヒント

(a)

\begin{matrix} v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g (y - y_{0}) y_{0} = 0 v = 0 y = 2.50 m \\ v_{0}^{2} = 2 g y \Rightarrow v_{0} = \sqrt{2 (9.80) (2.50)} = 7.0 m / s \end{matrix}

。(b)

t = 0.72 s

を2倍すると、空中にいる時間1.44 sを得る。

Exercise 75問題 75

Standing at the base of one of the cliffs of Mt. Arapiles in Victoria, Australia, a hiker hears a rock break loose from a height of 105.0 m. He can’t see the rock right away, but then does, 1.50 s later. (a) How far above the hiker is the rock when he can see it? (b) How much time does he have to move before the rock hits his head?

英語のヒント

オーストラリアのビクトリア州、アラピリーズ山の崖の下に立つハイカーが、高さ105.0 mで石が外れる音を聞く。すぐには石が見えなかったが、1.50 s後に見えた。(a)見えた時点で、石はハイカーからどれだけ上にあるか。(b)石が頭へ当たるまで、避ける時間はどれだけあるか。

Exercise 76問題 76

There is a 250-m-high cliff at Half Dome in Yosemite National Park in California. Suppose a boulder breaks loose from the top of this cliff. (a) How fast will it be going when it strikes the ground? (b) Assuming a reaction time of 0.300 s, how long a time will a tourist at the bottom have to get out of the way after hearing the sound of the rock breaking loose (neglecting the height of the tourist, which would become negligible anyway if hit)? The speed of sound is 335.0 m/s on this day.

英語のヒント

カリフォルニア州のヨセミテ国立公園にあるハーフドームには、高さ250 mの崖がある。この崖の頂上から大岩が外れたとする。(a)地面へ当たるとき、どれほどの速さになるか。(b)反応時間を0.300 sとすると、崖の下の観光客は、岩が外れる音を聞いた後、避けるまでにどれだけの時間があるか。観光客の身長は無視する（当たれば、いずれにせよ無視できるほどになってしまう）。この日の音速は335.0 m/sである。

Solution解き方

v = 70.0 m / s

; b. time heard after rock begins to fall: 0.75 s, time to reach the ground: 6.09 s

英語のヒント

(a)

v = 70.0 m / s

。(b)岩が落ち始めてから音を聞くまで0.75 s、地面へ達するまで6.09 s。

acceleration due to gravity

重力加速度

acceleration of an object as a result of gravity

英語のヒント

重力によって生じる物体の加速度。

free fall

自由落下

the state of movement that results from gravitational force only

英語のヒント

重力だけによって生じる運動の状態。