第5章ニュートンの運動法則

5.5 Newton’s Third Law5.5　ニュートンの第3法則

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

• As a professor paces in front of a whiteboard, he exerts a force backward on the floor. The floor exerts a reaction force forward on the professor that causes him to accelerate forward.

  英語のヒント

  教授がホワイトボードの前を歩くとき、床に後ろ向きの力を及ぼす。床は教授に前向きの反作用を及ぼし、教授を前向きに加速させる。
• A car accelerates forward because the ground pushes forward on the drive wheels, in reaction to the drive wheels pushing backward on the ground. You can see evidence of the wheels pushing backward when tires spin on a gravel road and throw the rocks backward.

  英語のヒント

  車が前向きに加速するのは、駆動輪が地面を後ろ向きに押すことに対する反作用として、地面が駆動輪を前向きに押すためである。砂利道でタイヤが空転して石を後ろに飛ばすとき、車輪が後ろ向きに押している証拠が見える。
• Rockets move forward by expelling gas backward at high velocity. This means the rocket exerts a large backward force on the gas in the rocket combustion chamber; therefore, the gas exerts a large reaction force forward on the rocket. This reaction force, which pushes a body forward in response to a backward force, is called thrust. It is a common misconception that rockets propel themselves by pushing on the ground or on the air behind them. They actually work better in a vacuum, where they can more readily expel the exhaust gases.

  英語のヒント

  ロケットは、気体を後ろ向きに高速で噴出して前進する。つまり、ロケットは燃焼室内の気体に大きな後ろ向きの力を及ぼし、その結果、気体がロケットに大きな前向きの反作用を及ぼす。後ろ向きの力に応じて物体を前へ押すこの反作用を、推力と呼ぶ。ロケットが地面や後方の空気を押して進むというのは、よくある誤解である。実際には、排気をより容易に噴出できる真空中のほうが、よく働く。
• Helicopters create lift by pushing air down, thereby experiencing an upward reaction force.

  英語のヒント

  ヘリコプターは空気を下に押し、それによって上向きの反作用を受けて揚力を生じる。
• Birds and airplanes also fly by exerting force on the air in a direction opposite that of whatever force they need. For example, the wings of a bird force air downward and backward to get lift and move forward.

  英語のヒント

  鳥や飛行機も、必要な力とは逆向きに空気へ力を及ぼすことで飛ぶ。たとえば鳥の翼は、揚力を得て前進するため、空気を下向きかつ後ろ向きに押す。
• An octopus propels itself in the water by ejecting water through a funnel from its body, similar to a jet ski.

  英語のヒント

  タコは水上バイクと同じように、体から漏斗を通して水を噴き出し、水中を進む。
• When a person pulls down on a vertical rope, the rope pulls up on the person (Figure 5.17).

  英語のヒント

  人が鉛直のロープを下向きに引くと、ロープはその人を上向きに引く（図5.17）。

Example 5.9例題 5.9

Forces on a Stationary Object静止した物体に働く力

The package in Figure 5.19 is sitting on a scale. For the scale and package at rest (i.e., not accelerating), show that the scale indicates the weight of the package.

英語のヒント

図5.19の荷物が、はかりの上に置かれている。はかりと荷物が静止し、加速していない場合、はかりが荷物の重さを示すことを示せ。

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Strategy方針

The forces on the package are $\overrightarrow{S},$ which is due to the scale, and $\text{−}\overrightarrow{w},$ which is due to Earth’s gravitational field. The reaction forces that the package exerts are $\text{−}\overrightarrow{S}$ on the scale and $\overrightarrow{w}$ on Earth. Because the package is not accelerating, application of the second law yields

英語のヒント

荷物に働く力は、はかりによる$\overrightarrow{S}$と、地球の重力場による$\text{−}\overrightarrow{w}$である。荷物が及ぼす反作用は、はかりに対する$\text{−}\overrightarrow{S}$と、地球に対する$\overrightarrow{w}$である。荷物は加速していないので、第2法則を適用すると次のようになる。

$\overrightarrow{S}-\overrightarrow{w}=m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0},$

so

英語のヒント

したがって、

$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{w}.$

The scale reading indicates the magnitude of the force $\overrightarrow{S}$, which is equal to the magnitude of the package’s weight.

英語のヒント

はかりの読みは力$\overrightarrow{S}$の大きさを示し、それは荷物の重さの大きさに等しい。

Significance考察

The scale actually does not measure the weight of the package; it measures the force $\text{−}\overrightarrow{S}$ on its surface. If the system is accelerating, $\overrightarrow{S}$ and $\text{−}\overrightarrow{w}$ would not be equal, as explained in Applications of Newton’s Laws.

英語のヒント

実際には、はかりは荷物の重さそのものではなく、はかりの面に働く力$\text{−}\overrightarrow{S}$を測っている。系が加速していると、「ニュートンの法則の応用」で説明するように、$\overrightarrow{S}$と$\text{−}\overrightarrow{w}$は等しくならない。

Example 5.10例題 5.10

Getting Up to Speed: Choosing the Correct System速度を上げる：適切な系を選ぶ

A physics professor pushes a cart of demonstration equipment to a lecture hall (Figure 5.20). Her mass is 65.0 kg, the cart’s mass is 12.0 kg, and the equipment’s mass is 7.0 kg. Calculate the acceleration produced when the professor exerts a backward force of 150 N on the floor. All forces opposing the motion, such as friction on the cart’s wheels and air resistance, total 24.0 N.

英語のヒント

物理学の教授が、実演用の器具を載せた台車を講義室まで押している（図5.20）。教授の質量は65.0 kg、台車は12.0 kg、器具は7.0 kgである。教授が床に後ろ向きの力150 Nを及ぼすとき、生じる加速度を求めよ。台車の車輪の摩擦や空気抵抗など、運動に逆らう力の合計は24.0 Nである。

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Strategy方針

Since they accelerate as a unit, we define the system to be the professor, cart, and equipment. This is System 1 in Figure 5.20. The professor pushes backward with a force $F_{\text{foot}}$ of 150 N. According to Newton’s third law, the floor exerts a forward reaction force $F_{\text{floor}}$ of 150 N on System 1. Because all motion is horizontal, we can assume there is no net force in the vertical direction. Therefore, the problem is one-dimensional along the horizontal direction. As noted, friction f opposes the motion and is thus in the opposite direction of $F_{\text{floor}}.$ We do not include the forces $F_{\text{prof}}$ or $F_{\text{cart}}$ because these are internal forces, and we do not include $F_{\text{foot}}$ because it acts on the floor, not on the system. There are no other significant forces acting on System 1. If the net external force can be found from all this information, we can use Newton’s second law to find the acceleration as requested. See the free-body diagram in the figure.

英語のヒント

教授、台車、器具は一体となって加速するので、それらをまとめて系と定める。図5.20の系1である。教授は床を150 Nの力$F_{\text{foot}}$で後ろ向きに押す。ニュートンの第3法則によれば、床は系1に前向きの反作用$F_{\text{floor}}$を150 N及ぼす。運動はすべて水平方向なので、鉛直方向の合力は0と仮定できる。したがって、水平方向に沿った一次元の問題となる。先に述べたように、摩擦力fは運動に逆らい、$F_{\text{floor}}$と逆向きである。$F_{\text{prof}}$と$F_{\text{cart}}$は内力なので含めず、$F_{\text{foot}}$も系ではなく床に働くため含めない。系1には、このほかに無視できない力は働かない。これらの情報から外力の合力を求めれば、ニュートンの第2法則を使って、求められた加速度を計算できる。図中の力の図を参照しよう。

Solution解答

Newton’s second law is given by

英語のヒント

ニュートンの第2法則は、次の式で表される。

$a=\frac{F_{\text{net}}}{m}.$

$a=\frac{F_{\text{合}}}{m}$

The net external force on System 1 is deduced from Figure 5.20 and the preceding discussion to be

英語のヒント

図5.20とここまでの考察から、系1に働く外力の合力は次のように求まる。

$F_{\text{net}}=F_{\text{floor}}-f=150\text{N}-24.0\text{N}=126\text{N}\text{.}$

$F_{\text{合}}=F_{\text{床}}-f=150\text{N}-24.0\text{N}=126\text{N}$

The mass of System 1 is

英語のヒント

系1の質量は、次のとおりである。

$m=\left(65.0+12.0+7.0\right)\text{kg}=84\text{kg}\text{.}$

These values of $F_{\text{net}}$ and m produce an acceleration of

英語のヒント

$F_{\text{net}}$とmのこれらの値から、加速度は次のようになる。

$a=\frac{F_{\text{net}}}{m}=\frac{126\text{N}}{84\text{kg}}=1.5{\text{m/s}}^2.$

$a=\frac{F_{\text{合}}}{m}=\frac{126\text{N}}{84\text{kg}}=1.5{\text{m/s}}^2$

Significance考察

None of the forces between components of System 1, such as between the professor’s hands and the cart, contribute to the net external force because they are internal to System 1. Another way to look at this is that forces between components of a system cancel because they are equal in magnitude and opposite in direction. For example, the force exerted by the professor on the cart results in an equal and opposite force back on the professor. In this case, both forces act on the same system and therefore cancel. Thus, internal forces (between components of a system) cancel. Choosing System 1 was crucial to solving this problem.

英語のヒント

教授の手と台車の間の力のように、系1の構成要素間に働く力は、系1の内力なので、外力の合力には寄与しない。別の見方をすると、系の構成要素間の力は大きさが等しく向きが逆なので、打ち消し合う。たとえば、教授が台車に力を及ぼすと、教授には同じ大きさで逆向きの力が返る。この場合、両方の力は同じ系に働くため、打ち消し合う。こうして、系の構成要素間の内力は打ち消し合う。この問題を解くうえでは、系1を選ぶことが決定的に重要だった。