第5章ニュートンの運動法則

Summaryまとめ

• When an object rests on a surface, the surface applies a force to the object that supports the weight of the object. This supporting force acts perpendicular to and away from the surface. It is called a normal force.

  英語のヒント

  物体を面に置くと、面は物体の重さを支える力を物体に及ぼす。この支持力は、面に垂直で面から離れる向きに働き、垂直抗力と呼ばれる。
• When an object rests on a nonaccelerating horizontal surface, the magnitude of the normal force is equal to the weight of the object.

  英語のヒント

  加速していない水平面上に物体が静止しているとき、垂直抗力の大きさは物体の重さに等しい。
• When an object rests on an inclined plane that makes an angle $\theta$ with the horizontal surface, the weight of the object can be resolved into components that act perpendicular and parallel to the surface of the plane.

  英語のヒント

  水平面と角$\theta$をなす斜面に物体を置くと、物体の重さを、斜面に垂直な成分と平行な成分に分解できる。
• The pulling force that acts along a stretched flexible connector, such as a rope or cable, is called tension. When a rope supports the weight of an object at rest, the tension in the rope is equal to the weight of the object. If the object is accelerating, tension is greater than weight, and if it is accelerating opposite to the motion, tension is less than weight.

  英語のヒント

  ロープやケーブルなど、張った柔軟な連結物に沿って働く引く力を張力という。ロープが静止した物体の重さを支えるとき、張力は重さに等しい。物体が加速すると張力は重さより大きくなり、運動と反対向きに加速すると重さより小さくなる。
• The force of friction is a force experienced by a moving object (or an object that has a tendency to move) parallel to the interface opposing the motion (or its tendency).

  英語のヒント

  摩擦力は、動いている物体、または動こうとする物体が受ける力で、接触面に平行に働き、その運動または動こうとする傾向に逆らう。
• The force developed in a spring obeys Hooke’s law, according to which its magnitude is proportional to the displacement and has a sense in the opposite direction of the displacement.

  英語のヒント

  ばねに生じる力はフックの法則に従い、その大きさは変位に比例し、向きは変位と逆である。
• Real forces have a physical origin, whereas fictitious forces occur because the observer is in an accelerating or noninertial frame of reference.

  英語のヒント

  実在の力には物理的な起源があるのに対し、見かけの力は観測者が加速する基準系、すなわち非慣性系にいるために生じる。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 52–64練習問題 52–64

Exercise 52問題 52

A leg is suspended in a traction system, as shown below. (a) Which pulley in the figure is used to calculate the force exerted on the foot? (b) What is the tension in the rope? Here $\overrightarrow{T}$ is the tension, ${\overrightarrow{w}}_{\text{leg}}$ is the weight of the leg, and $\overrightarrow{w}$ is the weight of the load that provides the tension. Express answers in terms of the unknown masses and angle.

英語のヒント

下図のように、脚を牽引装置につり下げている。(a) 足に加わる力を求めるには、図中のどの滑車を使うか。(b) ロープの張力はいくらか。$\overrightarrow{T}$は張力、${\overrightarrow{w}}_{\text{leg}}$は脚の重さ、$\overrightarrow{w}$は張力を生じさせるおもりの重さである。未知の質量と角度を使って答えを表せ。

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Solution解き方

a. The free-body diagram of pulley 4:

英語のヒント

a. 滑車4の力の図：

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b. $T=mg,F=2T\text{cos}\theta =2mg\text{cos}\theta$

Exercise 53問題 53

Suppose the shinbone in the preceding image was a femur in a traction setup for a broken bone, with pulleys and rope available. How might we be able to increase the force along the femur using the same weight?

英語のヒント

前の図のすねの骨が、骨折の牽引治療中の大腿骨だったとし、滑車とロープが使えるとする。同じおもりを使って、大腿骨に沿う力を増やすにはどうすればよいか。

Exercise 54問題 54

Two teams of nine members each engage in a tug-of-war, pulling in opposite directions on a horizontal rope. Each of the first team’s members has an average mass of 68 kg and exerts an average force of 1350 N horizontally on the ground as they pull on the rope. Each of the second team’s members has an average mass of 73 kg and exerts an average force of 1365 N horizontally on the ground as they pull on the rope in the opposite direction. (a) What is the magnitude of the acceleration of the two teams, and which team wins? (b) What is the tension in the section of rope between the teams?

英語のヒント

各9人の二つのチームが、水平なロープを正反対に引いて綱引きをする。第1チームの各選手の平均質量は68 kgで、ロープを引く間、地面に水平方向に平均1350 Nの力を及ぼす。第2チームの各選手の平均質量は73 kgで、反対向きにロープを引く間、地面に水平方向に平均1365 Nの力を及ぼす。(a) 両チームの加速度の大きさはいくらで、どちらが勝つか。(b) チーム間のロープ部分の張力はいくらか。

Solution解き方

a. 65 N
b. $1.22\times {10}^4{\text{m/s}}^2$

a. 65 N。b. $1.22\times {10}^4{\text{m/s}}^2$。

Exercise 55問題 55

What force does a trampoline have to apply to Jennifer, a 45.0-kg gymnast, to accelerate her straight up at $7.50{\text{m/s}}^2$? The answer is independent of the velocity of the gymnast—she can be moving up or down or can be instantly stationary.

英語のヒント

質量45.0 kgの体操選手ジェニファーを、鉛直上向きに$7.50{\text{m/s}}^2$の加速度で加速させるには、トランポリンはどれだけの力を及ぼす必要があるか。答えは選手の速度には依存しない。選手は上向きにも下向きにも動いてよく、瞬間的に静止していてもよい。

Exercise 56問題 56

(a) Calculate the tension in a vertical strand of spider web if a spider of mass $2.00\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{kg}$ hangs motionless on it. (b) Calculate the tension in a horizontal strand of spider web if the same spider sits motionless in the middle of it much like the tightrope walker in Figure 5.26. The strand sags at an angle of $12\text{°}$ below the horizontal. Compare this with the tension in the vertical strand (find their ratio).

英語のヒント

(a) 質量$2.00\times {10}^{\mathrm{-5}}\text{kg}$のクモが鉛直のクモの糸に静止してつり下がるとき、糸の張力を求めよ。(b) 同じクモが、図5.26の綱渡り師のように、水平に張られた糸の中央で静止しているとき、糸の張力を求めよ。糸は水平から下へ$12\text{°}$の角度でたわむ。鉛直の糸の張力と比較し、比を求めよ。

Solution解き方

a. $T=1.96\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N;}$
b. $\begin{array}{}\\ \\ T^{\prime }=4.71\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}\hfill \\ \frac{T^{\prime }}{T}=2.40\text{times the tension in the vertical strand}\hfill \end{array}$

a. $T=1.96\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N;}$。b. $\begin{array}{}\\ \\ T^{\prime }=4.71\times {10}^{\mathrm{-4}}\text{N}\hfill \\ \frac{T^{\prime }}{T}=2.40\text{倍（鉛直の糸の張力に対して）}\hfill \end{array}$。

Exercise 57問題 57

Suppose Kevin, a 60.0-kg gymnast, climbs a rope. (a) What is the tension in the rope if he climbs at a constant speed? (b) What is the tension in the rope if he accelerates upward at a rate of $1.50{\text{m/s}}^2$?

英語のヒント

質量60.0 kgの体操選手ケビンがロープを登っている。(a) 一定の速さで登るとき、ロープの張力はいくらか。(b) 上向きに$1.50{\text{m/s}}^2$の加速度で加速するとき、張力はいくらか。

Exercise 58問題 58

Show that, as explained in the text, a force $F_{\perp }$ exerted on a flexible medium at its center and perpendicular to its length (such as on the tightrope wire in Figure 5.26) gives rise to a tension of magnitude $T=F_{\perp }\text{/}2\text{sin}\left(\theta \right)$.

英語のヒント

本文で説明したように、柔軟な媒介物の中央に、その長さ方向と垂直な力$F_{\perp }$を加えると、張力の大きさが$T=F_{\perp }\text{/}2\text{sin}\left(\theta \right)$となることを示せ。図5.26の綱渡り用のワイヤーがその例である。

Solution解き方

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

$$$\begin{array}{}\\ \\ F_{y\text{net}}=F_{\perp }-2T\text{sin}\theta =0\hfill \\ F_{\perp }=2T\text{sin}\theta \hfill \\ T=\frac{F_{\perp }}{2\text{sin}\theta }\hfill \end{array}$

$$$\begin{array}{}\\ \\ F_{y\text{合}}=F_{\perp }-2T\text{sin}\theta =0\hfill \\ F_{\perp }=2T\text{sin}\theta \hfill \\ T=\frac{F_{\perp }}{2\text{sin}\theta }\hfill \end{array}$

Exercise 59問題 59

Consider Figure 5.28. The driver attempts to get the car out of the mud by exerting a perpendicular force of 610.0 N, and the distance she pushes in the middle of the rope is 1.00 m while she stands 6.00 m away from the car on the left and 6.00 m away from the tree on the right. What is the tension T in the rope, and how do you find the answer?

英語のヒント

図5.28を考える。運転者は泥にはまった車を引き出そうと、ロープに垂直に610.0 Nの力を加える。左の車と右の木からそれぞれ6.00 m離れた位置に立ち、ロープ中央を1.00 m押す。ロープの張力Tはいくらで、どのように求めるか。

Exercise 60問題 60

A bird has a mass of 26 g and perches in the middle of a stretched telephone line. (a) Show that the tension in the line can be calculated using the equation $T=\frac{mg}{2\text{sin}\theta }$. Determine the tension when (b) $\theta =5\text{°}$ and (c) $\theta =0.5\text{°}$. Assume that each half of the line is straight.

英語のヒント

質量26 gの鳥が、張った電話線の中央に止まる。(a) 張力を式$T=\frac{mg}{2\text{sin}\theta }$で求められることを示せ。(b) $\theta =5\text{°}$、(c) $\theta =0.5\text{°}$のときの張力を求めよ。電話線の左右半分は、それぞれ真っすぐであると仮定する。

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Solution解き方

a. see Example 5.13; b. 1.5 N; c. 15 N

英語のヒント

a. 例題5.13を参照。b. 1.5 N。c. 15 N。

Exercise 61問題 61

One end of a 30-m rope is tied to a tree; the other end is tied to a car stuck in the mud. The motorist pulls sideways on the midpoint of the rope, displacing it a distance of 2 m. If he exerts a force of 80 N under these conditions, determine the force exerted on the car.

英語のヒント

長さ30 mのロープの一端を木に、他端を泥にはまった車に結ぶ。運転者がロープの中点を横向きに引き、2 m移動させる。この状態で80 Nの力を及ぼすならば、車に働く力を求めよ。

Exercise 62問題 62

Consider the baby being weighed in the following figure. (a) What is the mass of the infant and basket if a scale reading of 55 N is observed? (b) What is tension $T_1$ in the cord attaching the baby to the scale? (c) What is tension $T_2$ in the cord attaching the scale to the ceiling, if the scale has a mass of 0.500 kg? (d) Sketch the situation, indicating the system of interest used to solve each part. The masses of the cords are negligible.

英語のヒント

下図の、重さを測定中の赤ちゃんを考える。(a) はかりが55 Nを示すとき、赤ちゃんとかごの質量の合計はいくらか。(b) 赤ちゃんとはかりをつなぐひもの張力$T_1$はいくらか。(c) はかりの質量が0.500 kgのとき、はかりと天井をつなぐひもの張力$T_2$はいくらか。(d) 各小問で使う系を明示し、状況の概略図を描け。ひもの質量は無視できる。

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Solution解き方

a. 5.6 kg; b. 55 N; c. $T_2=60\text{N}$;
d.

a. 5.6 kg。b. 55 N。c. $T_2=60\text{N}$。d.

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Exercise 63問題 63

What force must be applied to a 100.0-kg crate on a frictionless plane inclined at $30\text{°}$ to cause an acceleration of ${2.0\text{m/s}}^2$ up the plane?

英語のヒント

傾き$30\text{°}$の摩擦のない斜面にある質量100.0 kgの木箱を、斜面に沿って上向きに${2.0\text{m/s}}^2$の加速度で動かすには、どれだけの力を加える必要があるか。

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Exercise 64問題 64

A 2.0-kg block is on a perfectly smooth ramp that makes an angle of $30\text{°}$ with the horizontal. (a) What is the block’s acceleration down the ramp and the force of the ramp on the block? (b) What force applied upward along and parallel to the ramp would allow the block to move with constant velocity?

英語のヒント

質量2.0 kgの物体が、水平と角$30\text{°}$をなす完全に滑らかな斜面上にある。(a) 物体が斜面を下る加速度と、斜面が物体に及ぼす力を求めよ。(b) 物体を一定の速度で動かすには、斜面に平行な上向きの力をどれだけ加える必要があるか。

Solution解き方

a. $4.9{\text{m/s}}^2$, 17 N; b. 9.8 N

a. $4.9{\text{m/s}}^2$、17 N。b. 9.8 N。