第5章ニュートンの運動法則

Summaryまとめ

To draw a free-body diagram, we draw the object of interest, draw all forces acting on that object, and resolve all force vectors into x- and y-components. We must draw a separate free-body diagram for each object in the problem.
英語のヒント
力の図を描くには、着目する物体を描き、そこに働くすべての力を描き、そのベクトルをx成分とy成分に分解する。問題中の各物体について、別々の力の図を描く必要がある。
A free-body diagram is a useful means of describing and analyzing all the forces that act on a body to determine equilibrium according to Newton’s first law or acceleration according to Newton’s second law.
英語のヒント
力の図は、物体に働くすべての力を記述・分析し、ニュートンの第1法則でつり合いを、第2法則で加速度を求めるための便利な手段である。

Key Equations重要な式

Net external force 外力の合力	${\vec{F}}_{net} = \sum \vec{F} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + ⋯$ ${\vec{F}}_{合} = \sum \vec{F} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + ⋯$
Newton’s first law ニュートンの第1法則	$\vec{v} = constant when {\vec{F}}_{net} = \vec{0} N$ $\vec{v} = 一定、ただし {\vec{F}}_{合} = \vec{0} N$
Newton’s second law, vector form ニュートンの第2法則：ベクトル表示	${\vec{F}}_{net} = \sum \vec{F} = m \vec{a}$ ${\vec{F}}_{合} = \sum \vec{F} = m \vec{a}$
Newton’s second law, scalar form ニュートンの第2法則：スカラー表示	$F_{net} = m a$ $F_{合} = m a$
Newton’s second law, component form ニュートンの第2法則：成分表示	$\sum {\vec{F}}_{x} = m {\vec{a}}_{x}, \sum {\vec{F}}_{y} = m {\vec{a}}_{y}, and \sum {\vec{F}}_{z} = m {\vec{a}}_{z} .$ $\sum {\vec{F}}_{x} = m {\vec{a}}_{x}, \sum {\vec{F}}_{y} = m {\vec{a}}_{y}, および \sum {\vec{F}}_{z} = m {\vec{a}}_{z}$
Newton’s second law, momentum form ニュートンの第2法則：運動量による表示	${\vec{F}}_{net} = \frac{d \vec{p}}{d t}$ ${\vec{F}}_{合} = \frac{d \vec{p}}{d t}$
Definition of weight, vector form 重さの定義：ベクトル表示	$\vec{w} = m \vec{g}$
Definition of weight, scalar form 重さの定義：スカラー表示	$w = m g$
Newton’s third law ニュートンの第3法則	${\vec{F}}_{AB} = − {\vec{F}}_{BA}$
Normal force on an object resting on a horizontal surface, vector form 水平面上に静止した物体の垂直抗力：ベクトル表示	$\vec{N} = − m \vec{g}$
Normal force on an object resting on a horizontal surface, scalar form 水平面上に静止した物体の垂直抗力：スカラー表示	$N = m g$
Normal force on an object resting on an inclined plane, scalar form 斜面上の物体の垂直抗力：スカラー表示	$N = m g cos θ$
Restoring force by a spring displaced by x from the relaxed position 自然な長さからxだけ変位したばねの復元力	$\vec{F} = − k \vec{x} .$
Tension in a cable supporting an object of mass m at rest, scalar form 質量mの静止した物体を支えるケーブルの張力：スカラー表示	$T = w = m g$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 65–67練習問題 65–67

Exercise 65問題 65

In completing the solution for a problem involving forces, what do we do after constructing the free-body diagram? That is, what do we apply?

英語のヒント

力が関わる問題を最後まで解くには、力の図を作った後、何をするか。つまり、何を適用するか。

Exercise 66問題 66

If a book is located on a table, how many forces should be shown in a free-body diagram of the book? Describe them.

英語のヒント

本が机上にあるとき、その本の力の図にはいくつの力を示すべきか。それぞれを説明せよ。

Solution解き方

two forces of different types: weight acting downward and normal force acting upward

英語のヒント

異なる種類の力が二つ。下向きの重さと上向きの垂直抗力。

Exercise 67問題 67

If the book in the previous question is in free fall, how many forces should be shown in a free-body diagram of the book? Describe them.

英語のヒント

前問の本が自由落下しているならば、力の図にはいくつの力を示すべきか。それぞれを説明せよ。

Problems問題

Exercises 68–71練習問題 68–71

Exercise 68問題 68

A ball of mass m hangs at rest, suspended by a string. (a) Sketch all forces. (b) Draw the free-body diagram for the ball.

英語のヒント

質量mの球が、ひもにつられて静止している。(a) すべての力の概略図を描け。(b) 球の力の図を描け。

Exercise 69問題 69

A car moves along a horizontal road. Draw a free-body diagram; be sure to include the friction of the road that opposes the forward motion of the car.

英語のヒント

車が水平な道路を走っている。車の前進に逆らう道路の摩擦力を必ず含め、力の図を描け。

Solution解き方

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Exercise 70問題 70

A runner pushes against the track, as shown. (a) Provide a free-body diagram showing all the forces on the runner. (Hint: Place all forces at the center of his body, and include his weight.) (b) Give a revised diagram showing the xy-component form.

英語のヒント

図のように走者がトラックを押している。(a) 走者に働くすべての力を示す力の図を描け。ヒント：力はすべて体の中心に置き、重さも含める。(b) xy成分を示す図に描き直せ。

Image omitted because its reuse rights could not be verified.権利の確認ができないため画像を割愛。

(credit: modification of work by "Greenwich Photography"/Flickr)

（画像：「Greenwich Photography」/Flickrの作品を改変）

Exercise 71問題 71

The traffic light hangs from the cables as shown. Draw a free-body diagram on a coordinate plane for this situation.

英語のヒント

図のように信号機がケーブルからつり下がっている。この状況の力の図を、座標平面上に描け。

水平なケーブルからT1、T2、T3の三本で信号機をつり下げている。T1は水平と41度で右下へ、T2は63度で左下へ伸び、一点で交わる。そこからT3が鉛直下へ伸び、信号機につながる。信号機から下向きの矢印にw＝200ニュートンと記される。

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Solution解き方

座標の原点から三本の矢印が伸びる。T1は左上向きで41度、T2は右上向きで63度と記され、T3＝w＝200 Nはy軸の負方向を向く。

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Additional Problems追加問題

Exercises 72–92練習問題 72–92

Exercise 72問題 72

Two small forces,

{\vec{F}}_{1} = −2.40 \hat{i} - 6.10 \hat{j}

N and

{\vec{F}}_{2} = 8.50 \hat{i} - 9.70 \hat{j}

N, are exerted on a rogue asteroid by a pair of space tractors. (a) Find the net force. (b) What are the magnitude and direction of the net force? (c) If the mass of the asteroid is 125 kg, what acceleration does it experience (in vector form)? (d) What are the magnitude and direction of the acceleration?

英語のヒント

二隻の宇宙牽引船が、迷走する小惑星に二つの小さい力

{\vec{F}}_{1} = −2.40 \hat{i} - 6.10 \hat{j}

Nと

{\vec{F}}_{2} = 8.50 \hat{i} - 9.70 \hat{j}

Nを及ぼす。(a) 合力を求めよ。(b) 合力の大きさと向きは何か。(c) 小惑星の質量が125 kgのとき、加速度をベクトルの形で求めよ。(d) 加速度の大きさと向きは何か。

Exercise 73問題 73

Two forces of 25 and 45 N act on an object. Their directions differ by

70 °

. The resulting acceleration has magnitude of

10.0 {m/s}^{2} .

What is the mass of the body?

英語のヒント

25 Nと45 Nの二つの力が物体に働き、向きの差は

70 °

である。生じる加速度の大きさが

10.0 {m/s}^{2}

のとき、物体の質量はいくらか。

Solution解き方

5.90 kg

Exercise 74問題 74

A force of 1600 N acts parallel to a ramp to push a 300-kg piano into a moving van. The ramp is inclined at

20 °

. (a) What is the acceleration of the piano up the ramp? (b) What is the velocity of the piano when it reaches the top if the ramp is 4.0 m long and the piano starts from rest?

英語のヒント

質量300 kgのピアノを引っ越し用トラックへ積み込むため、斜面に平行な1600 Nの力で押す。斜面の傾きは

20 °

である。(a) ピアノが斜面を上がる加速度はいくらか。(b) 斜面の長さが4.0 mで、ピアノが静止状態から動き始めるならば、上端に達したときの速度はいくらか。

Exercise 75問題 75

Draw a free-body diagram of a diver who has entered the water, moved downward, and is acted on by an upward force due to the water which balances the weight (that is, the diver is suspended).

英語のヒント

水に飛び込み、下へ進んだ後、水による上向きの力が重さとつり合い、水中につり合っているダイバーの力の図を描け。

Solution解き方

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Exercise 76問題 76

For a swimmer who has just jumped off a diving board, assume air resistance is negligible. The swimmer has a mass of 80.0 kg and jumps off a board 10.0 m above the water. Three seconds after entering the water, her downward motion is stopped. What average upward force did the water exert on her?

英語のヒント

質量80.0 kgの泳者が、水面から10.0 m上の飛び込み台を跳び出す。空気抵抗は無視できるとする。入水から3秒後に、下向きの運動が止まった。水が及ぼした上向きの力の平均はいくらか。

Exercise 77問題 77

(a) Find an equation to determine the magnitude of the net force required to stop a car of mass m, given that the initial speed of the car is

v_{0}

and the stopping distance is x. (b) Find the magnitude of the net force if the mass of the car is 1050 kg, the initial speed is 40.0 km/h, and the stopping distance is 25.0 m.

英語のヒント

(a) 質量mの車を止めるのに必要な合力の大きさを求める式を導け。車の初速を

v_{0}

、停止距離をxとする。(b) 質量1050 kg、初速40.0 km/h、停止距離25.0 mの場合、合力の大きさを求めよ。

Solution解き方

F_{net} = \frac{m (v^{2} - v_{0}^{2})}{2 x}

; b. 2590 N

F_{合} = \frac{m (v^{2} - v_{0}^{2})}{2 x}

。b. 2590 N。

Exercise 78問題 78

A sailboat has a mass of

1.50 \times 10^{3}

kg and is acted on by a force of

2.00 \times 10^{3}

N toward the east, while the wind acts behind the sails with a force of

3.00 \times 10^{3}

N in a direction

45 °

north of east. Find the magnitude and direction of the resulting acceleration.

英語のヒント

質量

1.50 \times 10^{3}

kgのヨットに、東向きの力

2.00 \times 10^{3}

Nが働く。同時に、風が帆の後ろから、東より北へ

45 °

の方向に

3.00 \times 10^{3}

Nの力を及ぼす。生じる加速度の大きさと向きを求めよ。

Exercise 79問題 79

Find the acceleration of the body of mass 10.0 kg shown below.

英語のヒント

下図の質量10.0 kgの物体の加速度を求めよ。

mと記された円から三本の矢印が伸びる。F1＝10 Nは鉛直下向き、F2＝20 Nはy軸の正方向から−37度の右上向き、F3＝10 Nはy軸の正方向から37度の左上向きである。

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Solution解き方

\begin{array}{l} {\vec{F}}_{net} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{3} = (6.02 \hat{i} + 14.0 \hat{j}) N \\ {\vec{F}}_{net} = m \vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \frac{{\vec{F}}_{net}}{m} = \frac{6.02 \hat{i} + 14.0 \hat{j} N}{10.0 kg} = (0.602 \hat{i} + 1.40 \hat{j}) {m/s}^{2} \end{array}

\begin{array}{l} {\vec{F}}_{合} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{3} = (6.02 \hat{i} + 14.0 \hat{j}) N \\ {\vec{F}}_{合} = m \vec{a} \Rightarrow \vec{a} = \frac{{\vec{F}}_{合}}{m} = \frac{6.02 \hat{i} + 14.0 \hat{j} N}{10.0 kg} = (0.602 \hat{i} + 1.40 \hat{j}) {m/s}^{2} \end{array}

Exercise 80問題 80

A body of mass 2.0 kg is moving along the x-axis with a speed of 3.0 m/s at the instant represented below. (a) What is the acceleration of the body? (b) What is the body’s velocity 10.0 s later? (c) What is its displacement after 10.0 s?

英語のヒント

質量2.0 kgの物体が、下図の瞬間にx軸に沿って毎秒3.0 mで動いている。(a) 加速度はいくらか。(b) 10.0 s後の速度はいくらか。(c) 10.0 s後までの変位はいくらか。

mと記された円から三本の矢印が伸びる。F1＝50 Nはx軸と37度をなして右上向き、F2＝30 Nはy軸の負方向と−30度をなして左下向き、F3＝80 Nは左向きである。

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Exercise 81問題 81

Force

{\vec{F}}_{B}

has twice the magnitude of force

{\vec{F}}_{A} .

Find the direction in which the particle accelerates in this figure.

英語のヒント

力

{\vec{F}}_{B}

の大きさは、力

{\vec{F}}_{A}

の2倍である。図の粒子が加速する向きを求めよ。

mと記された円から二本の矢印が伸びる。FAは右向き、FBは水平と45度をなして左下向きである。

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Solution解き方

\begin{matrix} {\vec{F}}_{net} = {\vec{F}}_{A} + {\vec{F}}_{B} \\ {\vec{F}}_{net} = A \hat{i} + (−1.41 A \hat{i} - 1.41 A \hat{j}) \\ {\vec{F}}_{net} = A (−0.41 \hat{i} - 1.41 \hat{j}) \\ θ = 254 ° \end{matrix}

(We add

180 °

, because the angle is in quadrant IV.)

英語のヒント

\begin{matrix} {\vec{F}}_{合} = {\vec{F}}_{A} + {\vec{F}}_{B} \\ {\vec{F}}_{合} = A \hat{i} + (−1.41 A \hat{i} - 1.41 A \hat{j}) \\ {\vec{F}}_{合} = A (−0.41 \hat{i} - 1.41 \hat{j}) \\ θ = 254 ° \end{matrix}

。角は第4象限にあるので、

180 °

を加える。

Exercise 82問題 82

Shown below is a body of mass 1.0 kg under the influence of the forces

{\vec{F}}_{A}

{\vec{F}}_{B}

, and

m \vec{g}

. If the body accelerates to the left at

20 {m/s}^{2}

, what are

{\vec{F}}_{A}

and

{\vec{F}}_{B}

英語のヒント

下図の質量1.0 kgの物体に、

{\vec{F}}_{A}

、

{\vec{F}}_{B}

、

m \vec{g}

の力が働いている。物体が左向きに

20 {m/s}^{2}

の加速度をもつならば、

{\vec{F}}_{A}

と

{\vec{F}}_{B}

はいくらか。

mと記された点から三本の矢印が伸びる。FAはx軸の負方向と60度をなして左下向き、FBはx軸の負方向と−30度をなして左上向き、mgは鉛直下向きである。

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Exercise 83問題 83

A force acts on a car of mass m so that the speed v of the car increases with position x as

v = k x^{2}

, where k is constant and all quantities are in SI units. Find the force acting on the car as a function of position.

英語のヒント

質量mの車に力が働き、速さvが位置xに応じて

v = k x^{2}

のように増加する。kは定数で、すべての量はSI単位で表す。車に働く力を位置の関数として求めよ。

Solution解き方

F = 2 m k^{2} x^{2}

; First, take the derivative of the velocity function to obtain

a = 2 k x v = 2 k x (k x^{2}) = 2 k^{2} x^{3}

. Then apply Newton’s second law

F = m a = 2 m k^{2} x^{2}

英語のヒント

F = 2 m k^{2} x^{2}

。まず、速度の関数を微分して

a = 2 k x v = 2 k x (k x^{2}) = 2 k^{2} x^{3}

を得る。次に、ニュートンの第2法則

F = m a = 2 m k^{2} x^{2}

を適用する。

Exercise 84問題 84

A 7.0-N force parallel to an incline is applied to a 1.0-kg crate. The ramp is tilted at

20 °

and is frictionless. (a) What is the acceleration of the crate? (b) If all other conditions are the same but the ramp has a friction force of 1.9 N, what is the acceleration?

英語のヒント

質量1.0 kgの木箱に、斜面に平行な7.0 Nの力を加える。斜面の傾きは

20 °

で、摩擦はない。(a) 木箱の加速度はいくらか。(b) 他の条件は同じで、摩擦力が1.9 Nの場合、加速度はいくらか。

Exercise 85問題 85

Two boxes, A and B, are at rest. Box A is on level ground, while box B rests on an inclined plane tilted at angle

θ

with the horizontal. (a) Write expressions for the normal force acting on each block. (b) Compare the two forces; that is, tell which one is larger or whether they are equal in magnitude. (c) If the angle of incline is

10 °

, which force is greater?

英語のヒント

二つの箱AとBが静止している。Aは水平な地面上、Bは水平と角

θ

をなす斜面上にある。(a) 各物体に働く垂直抗力の式を書け。(b) 二つの力を比較し、どちらが大きいか、または等しいかを述べよ。(c) 斜面の角が

10 °

ならば、どちらの力が大きいか。

Solution解き方

a. For box A,

N_{A} = m g

and

N_{B} = m g cos θ

; b.

N_{A} > N_{B}

because for

θ < 90 °

cos θ < 1

; c.

N_{A} > N_{B}

when

θ = 10 °

英語のヒント

a. 箱Aでは

N_{A} = m g

、また

N_{B} = m g cos θ

。b.

θ < 90 °

に対して

cos θ < 1

なので、

N_{A} > N_{B}

。c.

θ = 10 °

のとき

N_{A} > N_{B}

。

Exercise 86問題 86

A mass of 250.0 g is suspended from a spring hanging vertically. The spring stretches 6.00 cm. How much will the spring stretch if the suspended mass is 530.0 g?

英語のヒント

鉛直につり下げたばねに質量250.0 gをつるすと、6.00 cm伸びる。質量530.0 gをつるすと、どれだけ伸びるか。

Exercise 87問題 87

As shown below, two identical springs, each with the spring constant 20 N/m, support a 15.0-N weight. (a) What is the tension in spring A? (b) What is the amount of stretch of spring A from the rest position?

英語のヒント

下図のように、ばね定数がそれぞれ20 N/mの同じばね二本で、重さ15.0 Nのおもりを支える。(a) ばねAの張力はいくらか。(b) ばねAは自然な長さからどれだけ伸びるか。

同じばね二本が並んでつり下がり、下端を合わせておもりを支える。それぞれのばねは鉛直と30度の角をなす。

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Solution解き方

a. 8.66 N; b. 0.433 m

a. 8.66 N。b. 0.433 m。

Exercise 88問題 88

Shown below is a 30.0-kg block resting on a frictionless ramp inclined at

60 °

to the horizontal. The block is held by a spring that is stretched 5.0 cm. What is the force constant of the spring?

英語のヒント

下図のように、質量30.0 kgの物体が、水平に対して

60 °

傾いた摩擦のない斜面に置かれている。物体を支えるばねは5.0 cm伸びている。このばねのばね定数はいくらか。

水平と60度をなして左下へ傾く面の上で、質量30 kgの物体をばねにつるして支えている。

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Exercise 89問題 89

In building a house, carpenters use nails from a large box. The box is suspended from a spring twice during the day to measure the usage of nails. At the beginning of the day, the spring stretches 50 cm. At the end of the day, the spring stretches 30 cm. What fraction or percentage of the nails have been used?

英語のヒント

家を建てる大工たちが、大きな箱に入った釘を使う。釘の使用量を測るため、一日のうち二回、箱をばねにつるす。朝は50 cm、夕方は30 cm伸びた。釘をどれだけの割合、または何パーセント使ったか。

Solution解き方

0.40 or 40%

0.40、すなわち40%

Exercise 90問題 90

A force is applied to a block to move it up a

30 °

incline. The incline is frictionless. If

F = 65.0 N

and

M = 5.00 kg

, what is the magnitude of the acceleration of the block?

英語のヒント

傾き

30 °

の摩擦のない斜面を上へ動かすため、物体に力を加える。

F = 65.0 N

、

M = 5.00 kg

のとき、物体の加速度の大きさはいくらか。

水平と30度をなして右下へ傾く面に、Mと記された箱がある。Fの矢印は箱へ水平左向きに働き、斜面との角は30度である。

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Exercise 91問題 91

Two forces are applied to a 5.0-kg object, and it accelerates at a rate of

2.0 {m/s}^{2}

in the positive y-direction. If one of the forces acts in the positive x-direction with magnitude 12.0 N, find the magnitude of the other force.

英語のヒント

質量5.0 kgの物体に二つの力が働き、y軸の正方向へ

2.0 {m/s}^{2}

の加速度をもつ。一方の力がx軸の正方向に12.0 Nで働くならば、もう一方の力の大きさを求めよ。

Solution解き方

16 N

Exercise 92問題 92

The block on the right shown below has more mass than the block on the left (

m_{2} > m_{1}

). Draw free-body diagrams for each block.

英語のヒント

下図で、右側の物体は左側より質量が大きい（

m_{2} > m_{1}

）。各物体の力の図を描け。

天井に取り付けた滑車にロープをかけ、左端にm1、右端にm2の物体をつるす。m2のほうが低い位置にある。

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