第9章運動量と衝突

9.4 Types of Collisions9.4　衝突の種類

• A single object can explode into multiple objects (explosions).

  英語のヒント

  1個の物体が爆発して複数の物体に分かれることがある（爆発）。
• Multiple objects can collide and bounce off each other, called an elastic collision, resulting in the same kinetic energy of the system before and after the collision.

  英語のヒント

  複数の物体が衝突して互いに跳ね返り、衝突前後で系の運動エネルギーが同じになることがある。これを弾性衝突という。
• Multiple objects can collide and the system loses kinetic energy, called an inelastic collision. One such case is where the two objects stick together, forming a single object.

  英語のヒント

  複数の物体が衝突し、系の運動エネルギーが失われることがある。これを非弾性衝突という。その一例は、2個の物体がくっついて1個の物体になる場合である。

Explosions爆発

Inelastic非弾性衝突

• If $0<K_{\text{f}}<K_{\text{i}}$, the collision is inelastic.

  英語のヒント

  $0<K_{\text{f}}<K_{\text{i}}$なら、衝突は非弾性衝突である。
• If $K_{\text{f}}$ is the lowest energy, or the energy lost by both objects is the most, the collision is perfectly inelastic (objects stick together).

  英語のヒント

  $K_{\text{f}}$が最小のエネルギーとなる場合、すなわち両物体が失うエネルギーが最大になる場合、衝突は完全非弾性衝突である（物体同士がくっつく）。
• If $K_{\text{f}}=K_{\text{i}}$, the collision is elastic.

  英語のヒント

  $K_{\text{f}}=K_{\text{i}}$なら、衝突は弾性衝突である。

Elastic弾性衝突

Example 9.10例題 9.10

Formation of a Deuteron重陽子の生成

A proton (mass $1.67\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg}$) collides with a neutron (with essentially the same mass as the proton) to form a particle called a deuteron. What is the velocity of the deuteron if it is formed from a proton moving with velocity $7.0\times {10}^6\text{m/s}$ to the right and a neutron moving with velocity $4.0\times {10}^6\text{m/s}$ to the left?

英語のヒント

陽子（質量$1.67\times {10}^{\mathrm{-27}}\text{kg}$）が中性子（質量は陽子とほぼ同じ）に衝突し、重陽子という粒子を形成する。右向きに速度$7.0\times {10}^6\text{m/s}$で動く陽子と、左向きに速度$4.0\times {10}^6\text{m/s}$で動く中性子から生じた重陽子の速度はいくらか。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Strategy方針

Define the system to be the two particles. This is a collision, so we should first identify what kind. Since we are told the two particles form a single particle after the collision, this means that the collision is perfectly inelastic. Thus, kinetic energy is not conserved, but momentum is. Thus, we use conservation of momentum to determine the final velocity of the system.

英語のヒント

2個の粒子を系として定義する。衝突の問題なので、まず衝突の種類を見分ける。衝突後には2個の粒子から1個の粒子ができると与えられているので、完全非弾性衝突である。したがって、運動エネルギーは保存されないが、運動量は保存される。運動量保存則を用いて系の最終的な速度を求める。

Solution解答

Treat the two particles as having identical masses M. Use the subscripts p, n, and d for proton, neutron, and deuteron, respectively. This is a one-dimensional problem, so we have

英語のヒント

2個の粒子の質量がともにMで等しいものとして扱う。陽子、中性子、重陽子を、それぞれ添字p、n、dで表す。一次元の問題なので、次式を得る。

$M{v}_{\text{p}}-M{v}_{\text{n}}=2M{v}_{\text{d}}.$

The masses divide out:

英語のヒント

質量を約分すると、

$\begin{array}{ccc}\hfill v_{\text{p}}-v_{\text{n}}& =\hfill & 2v_{\text{d}}\hfill \\ \hfill 7.0\times {10}^6\text{m/s}-4.0\times {10}^6\text{m/s}& =\hfill & 2v_{\text{d}}\hfill \\ \hfill v_{\text{d}}& =\hfill & 1.5\times {10}^6\text{m/s.}\hfill \end{array}$

The velocity is thus ${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}=\left(1.5\times {10}^6\text{m/s}\right)\widehat{i}$.

英語のヒント

したがって、速度は${\overrightarrow{v}}_{\text{d}}=\left(1.5\times {10}^6\text{m/s}\right)\widehat{i}$である。

Significance考察

This is essentially how particle colliders like the Large Hadron Collider work: They accelerate particles up to very high speeds (large momenta), but in opposite directions. This maximizes the creation of so-called “daughter particles.”

英語のヒント

これが、大型ハドロン衝突型加速器などの粒子衝突型加速器の基本的な仕組みである。粒子を互いに反対方向に非常に大きな速さ（大きな運動量）まで加速する。これにより、いわゆる「娘粒子」の生成を最大限にする。

Example 9.11例題 9.11

Ice Hockey 2アイスホッケー2

(This is a variation of an earlier example.)

英語のヒント

（これは前の例題を変えたものである。）

Two ice hockey pucks of different masses are on a flat, horizontal hockey rink. The red puck has a mass of 15 grams, and is motionless; the blue puck has a mass of 12 grams, and is moving at 2.5 m/s to the left. It collides with the motionless red puck (Figure 9.20). If the collision is perfectly elastic, what are the final velocities of the two pucks?

英語のヒント

質量が異なる2枚のアイスホッケーのパックが、平らな水平のリンク上にある。赤いパックの質量は15 gで、静止している。青いパックの質量は12 gで、左向きに2.5 m/sで動いている。青いパックが静止した赤いパックに衝突する（図9.20）。衝突が完全に弾性的なら、2枚のパックの最終的な速度はいくらか。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Strategy方針

We’re told that we have two colliding objects, and we’re told their masses and initial velocities; we’re asked for both final velocities. Conservation of momentum seems like a good strategy; define the system to be the two pucks. There is no friction, so we have a closed system. We have two unknowns (the two final velocities), but only one equation. The comment about the collision being perfectly elastic is the clue; it suggests that kinetic energy is also conserved in this collision. That gives us our second equation.

英語のヒント

衝突する2個の物体について、質量と初速度が与えられ、両方の最終速度を求める。運動量保存を利用するのがよさそうである。2枚のパックを系と定義する。摩擦はないので、閉じた系となる。未知数は2個（2枚の最終速度）あるが、式は1本しかない。完全に弾性的な衝突という記述が手掛かりである。それは、この衝突で運動エネルギーも保存されることを示す。これで2本目の式が得られる。

The initial momentum and initial kinetic energy of the system resides entirely and only in the second puck (the blue one); the collision transfers some of this momentum and energy to the first puck.

英語のヒント

系の初めの運動量と運動エネルギーは、すべて2枚目のパック（青い方）だけが持っている。衝突によって、その運動量とエネルギーの一部が1枚目のパックへ移る。

Solution解答

Conservation of momentum, in this case, reads

英語のヒント

この場合、運動量保存の式は次のようになる。

$\begin{array}{ccc}\hfill p_{\text{i}}& =\hfill & p_{\text{f}}\hfill \\ \hfill m_2{v}_{\text{2,i}}& =\hfill & m_1{v}_{\text{1,f}}+m_2{v}_{\text{2,f}}.\hfill \end{array}$

Conservation of kinetic energy reads

英語のヒント

運動エネルギー保存の式は次のようになる。

$\begin{array}{ccc}\hfill K_{\text{i}}& =\hfill & K_{\text{f}}\hfill \\ \hfill \frac{1}{2}{m}_2{v}_{\text{2,i}}^2& =\hfill & \frac{1}{2}{m}_1{v}_{\text{1,f}}^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_{\text{2,f}}^2.\hfill \end{array}$

There are our two equations in two unknowns. The algebra is tedious but not terribly difficult; you definitely should work it through. The solution is

英語のヒント

これが未知数2個に対する2本の式である。代数的な計算は手間がかかるが、それほど難しくないので、必ず自分で最後まで計算してみよう。解は次のようになる。

$\begin{array}{ccc}\hfill v_{\text{1,f}}& =\hfill & \frac{\left(m_1-m_2\right)v_{\text{1,i}}+2m_2{v}_{\text{2,i}}}{m_1+m_2}\hfill \\ \hfill v_{2\text{f}}& =\hfill & \frac{\left(m_2-m_1\right)v_{\text{2,i}}+2m_1{v}_{\text{1,i}}}{m_1+m_2}.\hfill \end{array}$

Substituting with the given numbers where a positive direction is to the left, we obtain

英語のヒント

左向きを正として、与えられた数値を代入すると、次の結果を得る。

$\begin{array}{ccc}\hfill v_{\text{1,f}}& =\hfill & 2.22\frac{\text{m}}{\text{s}}\hfill \\ \hfill v_{\text{2,f}}& =\hfill & \mathrm{-0.28}\frac{\text{m}}{\text{s}}.\hfill \end{array}$

Significance考察

Notice that after the collision, the blue puck is moving to the right; its direction of motion was reversed. The red puck is now moving to the left.

英語のヒント

衝突後、青いパックは右向きに動いていることに注意しよう。運動の向きが逆転したのである。赤いパックは今度は左向きに動いている。