第9章運動量と衝突

Challenge発展問題

Exercises 114–118練習問題 114–118

Exercise 114問題 114

A 65-kg person jumps from the first floor window of a burning building and lands almost vertically on the ground with a horizontal velocity of 3 m/s and vertical velocity of

−9 m/s

. Upon impact with the ground he is brought to rest in a short time. The force experienced by his feet depends on whether he keeps his knees stiff or bends them. Find the force on his feet in each case.

英語のヒント

65 kgの人が、燃える建物の1階の窓から飛び降り、水平速度3 m/s、鉛直速度

−9 m/s

で、ほぼ鉛直に地面へ着地する。地面にぶつかると短時間で停止する。足に受ける力は、膝を伸ばして固く保つか、曲げるかによって変わる。それぞれの場合について、足に働く力を求めよ。

地面近くの人の図。速度ベクトルは下方やや左向きで、3.0 m/s î − 9.0 m/s ĵと与えられている。参考にxy方向を示し、xは右向き、yは上向きである。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

First find the impulse on the person from the impact on the ground. Calculate both its magnitude and direction.
英語のヒント
まず、地面との衝突で人に与えられる力積を求めよ。大きさと方向の両方を計算せよ。
Find the average force on the feet if the person keeps his leg stiff and straight and his center of mass drops by only 1 cm vertically and 1 cm horizontally during the impact.
英語のヒント
脚を固く伸ばしたままにし、衝突中に質量中心が鉛直に1 cm、水平に1 cmだけ動く場合、足に働く平均の力を求めよ。
Find the average force on the feet if the person bends his legs throughout the impact so that his center of mass drops by 50 cm vertically and 5 cm horizontally during the impact.
英語のヒント
衝突中ずっと脚を曲げ、質量中心が鉛直に50 cm、水平に5 cm動く場合、足に働く平均の力を求めよ。
Compare the results of part (b) and (c), and draw conclusions about which way is better.
英語のヒント
(b)と(c)の結果を比較し、どちらの方法がよいか結論を述べよ。

You will need to find the time the impact lasts by making reasonable assumptions about the acceleration opposite to the motion. Although the force is not constant during the impact, working with constant average force for this problem is acceptable.

英語のヒント

運動と逆向きの加速度について適切に仮定し、衝突が続く時間を求める必要がある。衝突中の力は一定ではないが、この問題では一定の平均の力を用いてよい。

Solution解き方

617 N \cdot s

, 108°; b.

F_{x} = 2.91 \times 10^{4} N

F_{y} = 2.6 \times 10^{5} N

; c.

F_{x} = 5850 N

F_{y} = 5265 N

617 N \cdot s

、108°。b.

F_{x} = 2.91 \times 10^{4} N

、

F_{y} = 2.6 \times 10^{5} N

。c.

F_{x} = 5850 N

、

F_{y} = 5265 N

。

Exercise 115問題 115

Two projectiles of mass

m_{1}

and

m_{2}

are ﬁred at the same speed but in opposite directions from two launch sites separated by a distance D. They both reach the same spot in their highest point and strike there. As a result of the impact they stick together and move as a single body afterwards. Find the place they will land.

英語のヒント

距離Dだけ離れた二つの発射地点から、質量

m_{1}

と

m_{2}

の二つの物体を、同じ速さで互いに逆向きに打ち出す。両者は軌道の最高点で同じ場所に達し、そこで衝突する。衝突後はくっついて一つの物体として動く。着地する場所を求めよ。

Exercise 116問題 116

Two identical objects (such as billiard balls) have a one-dimensional collision in which one is initially motionless. After the collision, the moving object is stationary and the other moves with the same speed as the other originally had. Show that both momentum and kinetic energy are conserved.

英語のヒント

ビリヤード球のような同じ物体2個が、一次元の衝突をする。一方は初め静止している。衝突後、動いていた物体は静止し、もう一方は相手が初め持っていた速さで動く。運動量と運動エネルギーがともに保存されることを示せ。

Solution解き方

Conservation of momentum demands

m_{1} v_{1,i} + m_{2} v_{2,i} = m_{1} v_{1,f} + m_{2} v_{2,f}

. We are given that

m_{1} = m_{2}

v_{1,i} = v_{2,f}

, and

v_{2,i} = v_{1,f} = 0

. Combining these equations with the equation given by conservation of momentum gives

v_{1,i} = v_{1,i}

, which is true, so conservation of momentum is satisfied. Conservation of energy demands

\frac{1}{2} m_{1} v_{1,i}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2,i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1,f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2,f}^{2}

. Again combining this equation with the conditions given above give

v_{1,i} = v_{1,i}

, so conservation of energy is satisfied.

英語のヒント

運動量保存には

m_{1} v_{1,i} + m_{2} v_{2,i} = m_{1} v_{1,f} + m_{2} v_{2,f}

が必要である。問題では

m_{1} = m_{2}

、

v_{1,i} = v_{2,f}

、

v_{2,i} = v_{1,f} = 0

と与えられている。これらを運動量保存の式と組み合わせると

v_{1,i} = v_{1,i}

となり、成り立つ。したがって、運動量保存は満たされる。エネルギー保存には

\frac{1}{2} m_{1} v_{1,i}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2,i}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1,f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2,f}^{2}

が必要である。この式も、先の条件と組み合わせると

v_{1,i} = v_{1,i}

を得るので、エネルギー保存も満たされる。

Exercise 117問題 117

A ramp of mass M is at rest on a horizontal surface. A small cart of mass m is placed at the top of the ramp and released.

英語のヒント

質量Mの斜面台が水平面上に静止している。質量mの小さな台車を斜面の上端に置き、放す。

放す前には、質量mの台車が斜面台の頂上にある。斜面台は下部の水平な部分と、右上へ高さhまで上がる斜面からなり、質量Mで車輪が付いている。放した後には、台車は斜面台の水平部分を速度v_cartで左へ進み、斜面台は速度v_rampで右へ進む。

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What are the velocities of the ramp and the cart relative to the ground at the instant the cart leaves the ramp?

英語のヒント

台車が斜面台を離れる瞬間、地面に対する斜面台と台車の速度はいくらか。

Exercise 118問題 118

Find the center of mass of the structure given in the figure below. Assume a uniform thickness of 20 cm, and a uniform density of

1 {g/cm}^{3} .

英語のヒント

下図の構造の質量中心を求めよ。厚さは一様に20 cm、密度も一様で

1 {g/cm}^{3}

とする。

複数の物体を人の模型のように並べた図。上端には半径8 cmの球がある。その下の中央に、胴体に相当する横幅25 cm、高さ60 cmの長方形がある。左右には、伸ばした腕に相当する横60 cm、縦5 cmの長方形があり、上端を胴体の上端にそろえて水平に外へ伸びる。各腕の先には、1辺5 cmの正方形がある。胴体の下には2本の脚があり、それぞれ高さ70 cm、幅8 cmである。脚の上端は胴体の下端に、外側の辺は胴体の左右の辺にそろっている。各脚の下に高さ3 cm、幅15 cmの足があり、内側の辺をその上の脚の内側の辺にそろえている。

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Solution解き方

Assume origin on centerline and at floor, then

(x_{CM}, y_{CM}) = (0,86 cm)

英語のヒント

原点を中央の軸上の床の位置に置くと、

(x_{CM}, y_{CM}) = (0,86 cm)

となる。

rocket equation

ロケット方程式

derived by the Soviet physicist Konstantin Tsiolkovsky in 1897, it gives us the change of velocity that the rocket obtains from burning a mass of fuel that decreases the total rocket mass from

m_{i}

down to m

英語のヒント

1897年にソビエトの物理学者コンスタンチン・ツィオルコフスキーが導いた式。燃料を燃やしてロケットの全質量を

m_{i}

からmへ減らすことで得られる、速度変化を与える。