第9章運動量と衝突

Summaryまとめ

• An extended object (made up of many objects) has a defined position vector called the center of mass.

  英語のヒント

  多くの物体からなる広がりを持った物体には、質量中心と呼ばれる位置ベクトルが定義される。
• The center of mass can be thought of, loosely, as the average location of the total mass of the object.

  英語のヒント

  質量中心は、大まかには、物体の全質量の平均的な位置と考えられる。
• The center of mass of an object traces out the trajectory dictated by Newton’s second law, due to the net external force.

  英語のヒント

  物体の質量中心は、外力の合力によってニュートンの第二法則が定める軌道を描く。
• The internal forces within an extended object cannot alter the momentum of the extended object as a whole.

  英語のヒント

  広がりを持つ物体内の内力は、その物体全体の運動量を変えることができない。

Conceptual Questions概念に関する問題

Problems問題

Exercises 62–75練習問題 62–75

Exercise 62問題 62

Three point masses are placed at the corners of a triangle as shown in the figure below.

英語のヒント

下の図のように、三角形の頂点に三つの質点を置く。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Find the center of mass of the three-mass system.

英語のヒント

三つの質点からなる系の質量中心を求めよ。

Solution解き方

With the origin defined to be at the position of the 150-g mass, $x_{\text{CM}}=\mathrm{-1.23}\text{cm}$ and $y_{\text{CM}}=0.69\text{cm}$

英語のヒント

原点を150 gの質点の位置に置くと、$x_{\text{CM}}=\mathrm{-1.23}\text{cm}$、$y_{\text{CM}}=0.69\text{cm}$となる。

Exercise 63問題 63

Two particles of masses $m_1$ and $m_2$ separated by a horizontal distance D are released from the same height h at the same time. Find the vertical position of the center of mass of these two particles at a time before the two particles strike the ground. Assume no air resistance.

英語のヒント

質量$m_1$と$m_2$の2粒子が、水平方向に距離Dだけ離れている。両方を同じ高さhから同時に放す。どちらも地面に達していない時刻における、2粒子の質量中心の鉛直位置を求めよ。空気抵抗はないものとする。

Exercise 64問題 64

Two particles of masses $m_1$ and $m_2$ separated by a horizontal distance D are let go from the same height h at different times. Particle 1 starts at $t=0$, and particle 2 is let go at $t=T$. Find the vertical position of the center of mass at a time before the first particle strikes the ground. Assume no air resistance.

英語のヒント

質量$m_1$と$m_2$の2粒子が、水平方向に距離Dだけ離れている。両者を同じ高さhから、異なる時刻に放す。粒子1は$t=0$に動き始め、粒子2は$t=T$に放される。最初の粒子が地面に達する前の時刻における、質量中心の鉛直位置を求めよ。空気抵抗はないものとする。

Solution解き方

$y_{\text{CM}}=\{\begin{array}{c}\hfill \frac{h}{2}-\frac{1}{4}g{t}^2,t<T\hfill \\ \hfill h-\frac{1}{2}g{t}^2-\frac{1}{4}g{T}^2+\frac{1}{2}gtT,t\ge T\hfill \end{array}$

Exercise 65問題 65

Two particles of masses $m_1$ and $m_2$ move uniformly in different circles of radii $R_1$ and $R_2$ about origin in the x, y-plane. The x- and y-coordinates of the center of mass and that of particle 1 are given as follows (where length is in meters and t in seconds):
$x_1(t)=4\text{cos}(2t),y_1(t)=4\text{sin}(2t)$

and:
$x_{\text{CM}}(t)=3\text{cos}(2t),y_{\text{CM}}(t)=3\text{sin}(2t).$

英語のヒント

質量$m_1$と$m_2$の2粒子が、xy平面の原点を中心とする半径$R_1$、$R_2$の異なる円上を等速で動く。質量中心と粒子1のx座標、y座標は、次のように与えられる（長さの単位はm、時刻tの単位はs）。$x_1(t)=4\text{cos}(2t),y_1(t)=4\text{sin}(2t)$、および$x_{\text{CM}}(t)=3\text{cos}(2t),y_{\text{CM}}(t)=3\text{sin}(2t)$。

1. Find the radius of the circle in which particle 1 moves.

   英語のヒント

   粒子1が動く円の半径を求めよ。
2. Find the x- and y-coordinates of particle 2 and the radius of the circle this particle moves.

   英語のヒント

   粒子2のx座標とy座標、およびこの粒子が動く円の半径を求めよ。

Exercise 66問題 66

Two particles of masses $m_1$ and $m_2$ move uniformly in different circles of radii $R_1$ and$R_2$ about the origin in the x, y-plane. The coordinates of the two particles in meters are given as follows ($z=0$ for both). Here t is in seconds:
$\begin{array}{ccc}\hfill x_1(t)& =\hfill & 4\text{cos}(2t)\hfill \\ \hfill y_1(t)& =\hfill & 4\text{sin}(2t)\hfill \\ \hfill x_2(t)& =\hfill & 2\text{cos}\left(3t-\frac{\pi }{2}\right)\hfill \\ \hfill y_2(t)& =\hfill & 2\text{sin}\left(3t-\frac{\pi }{2}\right)\hfill \end{array}$

英語のヒント

質量$m_1$と$m_2$の2粒子が、xy平面の原点を中心とする半径$R_1$と$R_2$の異なる円上を等速で動く。2粒子の座標は次のとおりで、単位はmである（両者とも$z=0$）。ここで、tの単位はsである。$\begin{array}{ccc}\hfill x_1(t)& =\hfill & 4\text{cos}(2t)\hfill \\ \hfill y_1(t)& =\hfill & 4\text{sin}(2t)\hfill \\ \hfill x_2(t)& =\hfill & 2\text{cos}\left(3t-\frac{\pi }{2}\right)\hfill \\ \hfill y_2(t)& =\hfill & 2\text{sin}\left(3t-\frac{\pi }{2}\right)\hfill \end{array}$

1. Find the radii of the circles of motion of both particles.

   英語のヒント

   両粒子の円軌道の半径を求めよ。
2. Find the x- and y-coordinates of the center of mass.

   英語のヒント

   質量中心のx座標とy座標を求めよ。
3. Decide if the center of mass moves in a circle by plotting its trajectory.

   英語のヒント

   軌道を描き、質量中心が円運動をするかどうかを判断せよ。

Solution解き方

a. $R_1=4\text{m}$, $R_2=2\text{m}$; b. $X_{\text{CM}}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2},Y_{\text{CM}}=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}$; c. yes, with $R=\frac{1}{m_1+m_2}\sqrt{16m_1^2+4m_2^2}$

a. $R_1=4\text{m}$、$R_2=2\text{m}$。b. $X_{\text{CM}}=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2}{m_1+m_2},Y_{\text{CM}}=\frac{m_1{y}_1+m_2{y}_2}{m_1+m_2}$。c. 円運動をし、$R=\frac{1}{m_1+m_2}\sqrt{16m_1^2+4m_2^2}$である。

Exercise 67問題 67

Find the center of mass of a one-meter long rod, made of 50 cm of iron (density $8\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$) and 50 cm of aluminum (density $2.7\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$).

英語のヒント

鉄（密度$8\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$）50 cmとアルミニウム（密度$2.7\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$）50 cmからなる、長さ1 mの棒の質量中心を求めよ。

Exercise 68問題 68

Find the center of mass of a rod of length L whose mass density changes from one end to the other quadratically. That is, if the rod is laid out along the x-axis with one end at the origin and the other end at $x=L$, the density is given by $\rho (x)={\rho }_0+\left({\rho }_1-{\rho }_0\right){\left(\frac{x}{L}\right)}^2$, where ${\rho }_0$ and ${\rho }_1$ are constant values.

英語のヒント

長さLの棒で、質量密度が一端から他端へ二次関数的に変化するものの質量中心を求めよ。すなわち、一端を原点、他端を$x=L$としてx軸に沿って棒を置くと、密度は$\rho (x)={\rho }_0+\left({\rho }_1-{\rho }_0\right){\left(\frac{x}{L}\right)}^2$で与えられる。ここで${\rho }_0$と${\rho }_1$は定数である。

Solution解き方

$x_{cm}=\frac{3}{4}L\left(\frac{{\rho }_1+{\rho }_0}{{\rho }_1+2{\rho }_0}\right)$

Exercise 69問題 69

Find the center of mass of a rectangular block of length a and width b that has a nonuniform density such that when the rectangle is placed in the x,y-plane with one corner at the origin and the block placed in the first quadrant with the two edges along the x- and y-axes, the density is given by$\rho (x,y)={\rho }_{0}x$, where ${\rho }_0$ is a constant.

英語のヒント

長さa、幅bで、密度が一様でない長方形の板の質量中心を求めよ。板の一つの角を原点に置き、2辺をx軸とy軸に沿わせてxy平面の第1象限に置くと、密度は$\rho (x,y)={\rho }_{0}x$で与えられる。ここで${\rho }_0$は定数である。

Exercise 70問題 70

Find the center of mass of a rectangular material of length a and width b made up of a material of nonuniform density. The density is such that when the rectangle is placed in the xy-plane, the density is given by $\rho (x,y)={\rho }_{0}xy$.

英語のヒント

長さa、幅bで、密度が一様でない物質からできた長方形の板の質量中心を求めよ。xy平面に置いたとき、密度は$\rho (x,y)={\rho }_{0}xy$で与えられる。

Solution解き方

$\left(\frac{2a}{3},\frac{2b}{3}\right)$

Exercise 71問題 71

A cube of side a is cut out of another cube of side b as shown in the figure below.

英語のヒント

下図のように、1辺bの立方体から1辺aの立方体を切り取る。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Find the location of the center of mass of the structure. (Hint: Think of the missing part as a negative mass overlapping a positive mass.)

英語のヒント

残った構造の質量中心の位置を求めよ。（ヒント：取り除いた部分を、正の質量に重ねた負の質量と考える。）

Exercise 72問題 72

Find the center of mass of a cone of uniform density that has a radius R at the base, height h, and mass M. Let the origin be at the center of the base of the cone and have +z going through the cone vertex.

英語のヒント

底面の半径R、高さh、質量Mで、密度が一様な円錐の質量中心を求めよ。原点を底面の中心に置き、+z軸を円錐の頂点へ向ける。

Solution解き方

$(x_{\text{CM}},y_{\text{CM}},z_{\text{CM}})=(\mathrm{0,0},h\text{/}4)$

Exercise 73問題 73

Find the center of mass of a thin wire of mass m and length L bent in a semicircular shape. Let the origin be at the center of the semicircle and have the wire arc from the +x axis, cross the +y axis, and terminate at the −x axis.

英語のヒント

質量m、長さLの細い針金を半円形に曲げたものの質量中心を求めよ。原点を半円の中心に置き、針金の弧が+x軸から始まり、+y軸を通って−x軸で終わるようにする。

Exercise 74問題 74

Find the center of mass of a uniform thin semicircular plate of radius R. Let the origin be at the center of the semicircle, the plate arc from the +x axis to the −x axis, and the z axis be perpendicular to the plate.

英語のヒント

半径Rの一様で薄い半円板の質量中心を求めよ。原点を半円の中心に置き、板の弧が+x軸から−x軸まで伸び、z軸が板に垂直になるようにする。

Solution解き方

$(x_{\text{CM}},y_{\text{CM}},z_{\text{CM}})=(0,4R\text{/}(3\pi ),0)$

Exercise 75問題 75

Find the center of mass of a sphere of mass M and radius R and a cylinder of mass m, radius r, and height h arranged as shown below.

英語のヒント

質量M、半径Rの球と、質量m、半径r、高さhの円柱を、下図のように配置したものの質量中心を求めよ。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Express your answers in a coordinate system that has the origin at the center of the cylinder.

英語のヒント

円柱の中心を原点とする座標系で答えを表せ。