第9章運動量と衝突

1. As with all problems, you must define your coordinate system and origin. For center-of-mass calculations, it often makes sense to choose your origin to be located at one of the masses of your system. That choice automatically defines its distance in Equation 9.29 to be zero. However, you must still include the mass of the object at your origin in your calculation of M, the total mass Equation 9.19. In the Earth-moon system example, this means including the mass of Earth. If you hadn’t, you’d have ended up with the center of mass of the system being at the center of the moon, which is clearly wrong.

   英語のヒント

   ほかのすべての問題と同じように、座標系と原点を定義しなければならない。質量中心の計算では、系内の物体の一つに原点を置くと都合がよい場合が多い。そうすれば、質量中心の定義式におけるその物体の距離は、自動的にゼロになる。しかし、全質量Mを求める式9.19には、原点に置いた物体の質量も含める必要がある。地球と月の例では、地球の質量も含めるということである。含めなければ、系の質量中心が月の中心になってしまうが、それは明らかに誤りである。
2. In the second example (the salt crystal), notice that there is no mass at all at the location of the center of mass. This is an example of what we stated above, that there does not have to be any actual mass at the center of mass of an object.

   英語のヒント

   2番目の例題（食塩の結晶）では、質量中心の位置に質量が全くないことに注意しよう。これは、物体の質量中心に実際の質量が存在する必要はないという、先に述べたことの一例である。

Center of Mass of Continuous Objects連続的な物体の質量中心

Example 9.18例題 9.18

CM of a Uniform Thin Hoop一様で細い輪の質量中心

Find the center of mass of a uniform thin hoop (or ring) of mass M and radius r.

英語のヒント

質量M、半径rの、一様で細い輪の質量中心を求めよ。

Strategy方針

First, the hoop’s symmetry suggests the center of mass should be at its geometric center. If we define our coordinate system such that the origin is located at the center of the hoop, the integral should evaluate to zero.

英語のヒント

まず、輪の対称性から、質量中心は幾何学的な中心にあるはずだと予想できる。輪の中心に原点を置くように座標系を定義すれば、積分の値はゼロになるはずである。

We replace dm with an expression involving the density of the hoop and the radius of the hoop. We then have an expression we can actually integrate. Since the hoop is described as “thin,” we treat it as a one-dimensional object, neglecting the thickness of the hoop. Therefore, its density is expressed as the number of kilograms of material per meter. Such a density is called a linear mass density, and is given the symbol $\lambda$; this is the Greek letter “lambda,” which is the equivalent of the English letter “l” (for “linear”).

英語のヒント

dmを、輪の密度と半径を含む式で置き換える。そうすれば、実際に積分できる式になる。輪は「細い」とされているので、厚さを無視して一次元の物体として扱う。したがって、その密度は1 m当たりの物質の質量をkgで表した値になる。このような密度を線密度といい、記号$\lambda$で表す。これはギリシャ文字の「ラムダ」で、英語のlinearの頭文字「l」に対応する。

Since the hoop is described as uniform, this means that the linear mass density $\lambda$ is constant. Thus, to get our expression for the differential mass element dm, we multiply $\lambda$ by a differential length of the hoop, substitute, and integrate (with appropriate limits for the definite integral).

英語のヒント

輪は一様なので、線密度$\lambda$は一定である。微小質量要素dmの式を得るため、$\lambda$に輪の微小な長さを掛け、代入して積分する。定積分の積分区間には適切な値を用いる。

Solution解答

First, define our coordinate system and the relevant variables (Figure 9.31).

英語のヒント

まず、座標系と必要な変数を定義する（図9.31）。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

The center of mass is calculated with Equation 9.34:

英語のヒント

質量中心は、連続体の質量中心の式で計算する。

${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\int }_a^b\overrightarrow{r}}dm.$

We have to determine the limits of integration a and b. Expressing $\overrightarrow{r}$ in component form gives us

英語のヒント

積分の下端aと上端bを定めなければならない。$\overrightarrow{r}$を成分で表すと、

${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\int }_a^b\left[\left(r\text{cos}\theta \right)\widehat{i}+\left(r\text{sin}\theta \right)\widehat{j}\right]dm}.$

In the diagram, we highlighted a piece of the hoop that is of differential length ds; it therefore has a differential mass $dm=\lambda ds$. Substituting:

英語のヒント

図では、輪のうち微小な長さdsの部分を強調してある。その微小質量は$dm=\lambda ds$なので、代入すると、

${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\int }_a^b\left[\left(r\text{cos}\theta \right)\widehat{i}+\left(r\text{sin}\theta \right)\widehat{j}\right]\lambda ds}.$

However, the arc length ds subtends a differential angle $d\theta$, so we have

英語のヒント

ところで、弧の長さdsに対する中心角は微小角$d\theta$なので、次の関係がある。

$ds=rd\theta$

and thus

英語のヒント

したがって、

${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}=\frac{1}{M}{\displaystyle {\int }_a^b\left[\left(r\text{cos}\theta \right)\widehat{i}+\left(r\text{sin}\theta \right)\widehat{j}\right]\lambda rd\theta }.$

One more step: Since $\lambda$ is the linear mass density, it is computed by dividing the total mass by the length of the hoop:

英語のヒント

さらにもう一段階進める。$\lambda$は線密度なので、全質量を輪の長さで割ると求められる。

$\lambda =\frac{M}{2\pi r}$

giving us

英語のヒント

これを用いると、

$\begin{array}{cc}\hfill {\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}& =\frac{1}{M}{\displaystyle {\int }_a^b\left[\left(r\text{cos}\theta \right)\widehat{i}+\left(r\text{sin}\theta \right)\widehat{j}\right]\left(\frac{M}{2\pi r}\right)rd\theta }\hfill \\ & =\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_a^b\left[\left(r\text{cos}\theta \right)\widehat{i}+\left(r\text{sin}\theta \right)\widehat{j}\right]d\theta }.\hfill \end{array}$

Notice that the variable of integration is now the angle $\theta$. This tells us that the limits of integration (around the circular hoop) are $\theta =\text{0 to}\theta =2\pi$, so $a=0$ and $b=2\pi$. Also, for convenience, we separate the integral into the x- and y-components of ${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}$. The final integral expression is

英語のヒント

いまや積分変数は角度$\theta$である。したがって、輪を一周する積分区間は$\theta =\text{0から}\theta =2\pi$であり、$a=0$、$b=2\pi$となる。また、計算の都合上、積分を${\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}$のx成分とy成分に分ける。最終的な積分の式は次のとおりである。

$\begin{array}{cc}\hfill {\overrightarrow{r}}_{\text{CM}}& =r_{\text{CM,}x}\widehat{i}+r_{\text{CM,}y}\widehat{j}\hfill \\ & =\left[\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(r\text{cos}\theta \right)}d\theta \right]\widehat{i}+\left[\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\left(r\text{sin}\theta \right)}d\theta \right]\widehat{j}\hfill \\ & =0\widehat{i}+0\widehat{j}=\overrightarrow{0}\hfill \end{array}$

as expected.

英語のヒント

予想どおりである。