第9章運動量と衝突

Force and Momentum力と運動量

Remember that our actual goal is to determine the equation of motion for the entire object (the entire system of particles). To that end, let’s define:

英語のヒント

実際の目標は、物体全体（粒子の系全体）の運動方程式を求めることだった。この目的のために、次のように定義しよう。

{\vec{p}}_{CM} =

the total momentum of the system of N particles (the reason for the subscript will become clear shortly)

英語のヒント

{\vec{p}}_{CM} =

N個の粒子からなる系の全運動量（この添字を用いる理由は、まもなく明らかになる）。

Then we have

英語のヒント

すると、次のようになる。

{\vec{p}}_{CM} \equiv \sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j},

and therefore Equation 9.25 can be written simply as

英語のヒント

したがって、外力と運動量の関係は、単に次のように書ける。

Since this change of momentum is caused by only the net external force, we have dropped the “ext” subscript.

英語のヒント

この運動量変化は外力の合力だけによって生じるので、添字「ext」を省いた。

This is Newton’s second law, but now for the entire extended object. If this feels a bit anticlimactic, remember what is hiding inside it:

{\vec{p}}_{CM}

is the vector sum of the momentum of (in principle) hundreds of thousands of billions of billions of particles

(6.02 \times 10^{23})

, all caused by one simple net external force—a force that you can calculate.

英語のヒント

これはニュートンの第二法則だが、今度は広がりを持つ物体全体についての法則である。少し拍子抜けに感じるなら、この式の中に何が含まれているかを思い出そう。

{\vec{p}}_{CM}

は、原理的には何千億の何千億倍もの数の粒子

(6.02 \times 10^{23})

の運動量のベクトル和である。その変化を引き起こすのは、計算できる一つの単純な外力の合力なのだ。

Center of Mass質量中心

Our next task is to determine what part of the extended object, if any, is obeying Equation 9.26.

英語のヒント

次の課題は、広がりを持つ物体のどの部分が、もしそのような部分があるなら、この運動方程式に従うのかを明らかにすることである。

It’s tempting to take the next step; does the following equation mean anything?

英語のヒント

次の一歩へ進みたくなる。次式には、何か意味があるだろうか。

\vec{F} = M \vec{a}

(9.27)

If it does mean something (acceleration of what, exactly?), then we could write

英語のヒント

もし意味があるなら（正確には、何の加速度なのか）、次のように書ける。

M \vec{a} = \frac{d {\vec{p}}_{CM}}{d t}

and thus

英語のヒント

したがって、

M \vec{a} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} = \frac{d}{d t} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} .

which follows because the derivative of a sum is equal to the sum of the derivatives.

英語のヒント

これは、和の微分が各項の微分の和に等しいことから得られる。

Now,

{\vec{p}}_{j}

is the momentum of the jth particle. Defining the positions of the constituent particles (relative to some coordinate system) as

{\vec{r}}_{j} = (x_{j}, y_{j}, z_{j})

, we thus have

英語のヒント

ここで、

{\vec{p}}_{j}

は第j粒子の運動量である。ある座標系に対する構成粒子の位置を

{\vec{r}}_{j} = (x_{j}, y_{j}, z_{j})

と定義すると、次のようになる。

{\vec{p}}_{j} = m_{j} {\vec{v}}_{j} = m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j}}{d t} .

Substituting back, we obtain

英語のヒント

元の式に代入すると、

\begin{matrix} M \vec{a} & = \frac{d}{d t} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j}}{d t} \\ = \frac{d^{2}}{d t^{2}} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j} . \end{matrix}

Dividing both sides by M (the total mass of the extended object) gives us

英語のヒント

両辺をM（広がりを持つ物体の全質量）で割ると、

Thus, the point in the object that traces out the trajectory dictated by the applied force in Equation 9.27 is inside the parentheses in Equation 9.28.

英語のヒント

したがって、式9.27で加えられた力によって決まる軌道を描く物体内の点は、加速度の式の括弧内で表される。

Looking at this calculation, notice that (inside the parentheses) we are calculating the product of each particle’s mass with its position, adding all N of these up, and dividing this sum by the total mass of particles we summed. This is reminiscent of an average; inspired by this, we’ll (loosely) interpret it to be the weighted average position of the mass of the extended object. It’s actually called the center of mass of the object. Notice that the position of the center of mass has units of meters; that suggests a definition:

英語のヒント

この計算の括弧内では、各粒子の質量と位置の積を求め、それらN個をすべて足し合わせ、足した粒子の全質量で割っている。これは平均に似ている。そこから、広がりを持つ物体の質量の位置を、質量で重み付けした平均として解釈できる。実際、これを物体の質量中心という。質量中心の位置の単位はメートルであることに注意しよう。次のように定義できる。

So, the point that obeys Equation 9.26 (and therefore Equation 9.27 as well) is the center of mass of the object, which is located at the position vector

{\vec{r}}_{CM}

英語のヒント

つまり、外力と全運動量の関係（したがって式9.27にも）に従う点は、物体の質量中心であり、その位置ベクトルは

{\vec{r}}_{CM}

である。

It may surprise you to learn that there does not have to be any actual mass at the center of mass of an object. For example, a hollow steel sphere with a vacuum inside it is spherically symmetrical (meaning its mass is uniformly distributed about the center of the sphere); all of the sphere’s mass is out on its surface, with no mass inside. But it can be shown that the center of mass of the sphere is at its geometric center, which seems reasonable. Thus, there is no mass at the position of the center of mass of the sphere. (Another example is a doughnut.) The procedure to find the center of mass is illustrated in Figure 9.28.

英語のヒント

物体の質量中心に実際の質量が存在する必要はないと知ると、驚くかもしれない。例えば、内部が真空の中空の鋼球は球対称である。つまり、球の中心の周りに質量が一様に分布している。質量はすべて表面にあり、内部にはない。しかし、この球の質量中心は幾何学的な中心にあると示せる。これはもっともらしい結果である。したがって、球の質量中心の位置には質量がない。（ドーナツも別の例である。）質量中心を求める手順を図9.28に示す。

三つの粒子の質量中心を求める図。図aはxy平面内の粒子の位置を示す。m₁は第2象限にあり、r₁は原点からm₁へ伸びる。m₂は第1象限にあり、r₂は原点からm₂へ伸びる。m₁は第4象限にあり、r₃は原点からm₃へ伸びる。r₁が最も短く、r₂が最も長い。図bはm₁r₁、m₂r₂、m₃r₃を示す。m₁r₁は図aのr₁と同じ向きで、それより長い。m₂r₂は図aのr₁と同じ向きで、r₂より短い。m₃r₃は図aのr₃と同じ向きで、それより短い。m₁r₁が最も長く、m₂r₂とm₃r₃は同じ長さに見える。図cは、青い矢印の先端と始点をつないでm₁r₁、m₂r₂、m₃r₃を加えた図。赤いベクトルm₁r₁＋m₂r₂＋m₃r₃は、m₁r₁の始点からm₃r₃の先端へ伸びる。図dは、この赤いベクトルをm₁＋m₂＋m₃で割ったもので、図cの赤いベクトルと同じ向きだが短くなっている。 — Figure 9.28図 9.28
Finding the center of mass of a system of three different particles. (a) Position vectors are created for each object. (b) The position vectors are multiplied by the mass of the corresponding object. (c) The scaled vectors from part (b) are added together. (d) The final vector is divided by the total mass. This vector points to the center of mass of the system. Note that no mass is actually present at the center of mass of this system.
英語のヒント
異なる三つの粒子からなる系の質量中心を求める。(a) 各物体の位置ベクトルを作る。(b) 各位置ベクトルに、対応する物体の質量を掛ける。(c) (b)で大きさを変えたベクトルを足し合わせる。(d) 得られたベクトルを全質量で割る。このベクトルが系の質量中心を指す。この系の質量中心には、実際の質量は存在しないことに注意しよう。

Since

{\vec{r}}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}

, it follows that:

英語のヒント

{\vec{r}}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}

なので、次のようになる。

r_{CM, x} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} x_{j}

(9.30)

r_{CM, y} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} y_{j}

(9.31)

r_{CM, z} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} z_{j}

(9.32)

and thus

英語のヒント

したがって、

\begin{matrix} {\vec{r}}_{CM} = r_{CM, x} \hat{i} + r_{CM, y} \hat{j} + r_{CM, z} \hat{k} \\ r_{CM} = | {\vec{r}}_{CM} | = {(r_{CM, x}^{2} + r_{CM, y}^{2} + r_{CM, z}^{2})}^{1 / 2} . \end{matrix}

Therefore, you can calculate the components of the center of mass vector individually.

英語のヒント

したがって、質量中心の位置ベクトルの成分は、それぞれ別々に計算できる。

Finally, to complete the kinematics, the instantaneous velocity of the center of mass is calculated exactly as you might suspect:

英語のヒント

最後に運動学の記述を完成させよう。質量中心の瞬間速度は、予想どおり次のように計算される。

and this, like the position, has x-, y-, and z-components.

英語のヒント

これにも位置と同じく、x成分、y成分、z成分がある。

To calculate the center of mass in actual situations, we recommend the following procedure:

英語のヒント

実際の場合に質量中心を計算するには、次の手順を勧める。

Calculating the Center of Mass質量中心の計算

The center of mass of an object is a position vector. Thus, to calculate it, do these steps:

英語のヒント

物体の質量中心は位置ベクトルである。したがって、計算には次の手順を用いる。

Define your coordinate system. Typically, the origin is placed at the location of one of the particles. This is not required, however.
英語のヒント
座標系を定義する。通常は粒子の一つの位置に原点を置くが、必須ではない。
Determine the x, y, z-coordinates of each particle that makes up the object.
英語のヒント
物体を構成する各粒子のx、y、z座標を求める。
Determine the mass of each particle, and sum them to obtain the total mass of the object. Note that the mass of the object at the origin must be included in the total mass.
英語のヒント
各粒子の質量を求め、合計して物体の全質量を得る。原点に置いた物体の質量も、全質量に含めなければならない。
Calculate the x-, y-, and z-components of the center of mass vector, using Equation 9.30, Equation 9.31, and Equation 9.32.
英語のヒント
式9.30、式9.31、式9.32を用いて、質量中心の位置ベクトルのx成分、y成分、z成分を計算する。
If required, use the Pythagorean theorem to determine its magnitude.
英語のヒント
必要なら、ピタゴラスの定理を用いて大きさを求める。

Here are two examples that will give you a feel for what the center of mass is.

英語のヒント

質量中心とは何かをつかむため、二つの例題を見てみよう。

Example 9.16例題 9.16

Center of Mass of the Earth-Moon System地球と月の系の質量中心

Using data from text appendix, determine how far the center of mass of the Earth-moon system is from the center of Earth. Compare this distance to the radius of Earth, and comment on the result. Ignore the other objects in the solar system.

英語のヒント

本書の付録のデータを用いて、地球と月の系の質量中心が地球の中心からどれだけ離れているかを求めよ。この距離を地球の半径と比べ、結果について述べよ。太陽系のほかの天体は無視する。

Strategy方針

We get the masses and separation distance of the Earth and moon, impose a coordinate system, and use Equation 9.29 with just

N = 2

objects. We use a subscript “e” to refer to Earth, and subscript “m” to refer to the moon.

英語のヒント

地球と月の質量と両者の間の距離を調べ、座標系を設定する。物体が

N = 2

個の場合について、質量中心の定義式を使う。地球を添字「e」、月を添字「m」で表す。

Solution解答

Define the origin of the coordinate system as the center of Earth. Then, with just two objects, Equation 9.29 becomes

英語のヒント

座標系の原点を地球の中心に定める。物体は二つだけなので、質量中心の定義式は次のようになる。

R = \frac{m_{e} r_{e} + m_{m} r_{m}}{m_{e} + m_{m}} .

From Appendix D,

英語のヒント

付録Dより、

m_{e} = 5.97 \times 10^{24} kg

m_{m} = 7.36 \times 10^{22} kg

r_{m} = 3.82 \times 10^{8} m .

We defined the center of Earth as the origin, so

r_{e} = 0 m

. Inserting these into the equation for R gives

英語のヒント

地球の中心を原点としたので、

r_{e} = 0 m

である。これらをRの式に代入すると、

\begin{matrix} R & = \frac{(5.97 \times 10^{24} kg) (0 m) + (7.36 \times 10^{22} kg) (3.82 \times 10^{8} m)}{5.97 \times 10^{24} kg + 7.36 \times 10^{22} kg} \\ = 4.64 \times 10^{6} m. \end{matrix}

Significance考察

The radius of Earth is

6.37 \times 10^{6} m

, so the center of mass of the Earth-moon system is (6.37 − 4.64)

\times 10^{6} m = 1.73 \times 10^{6} m = 1730 km

(roughly 1080 miles) below the surface of Earth. The location of the center of mass is shown (not to scale).

英語のヒント

地球の半径は

6.37 \times 10^{6} m

なので、地球と月の系の質量中心は、地表から(6.37 − 4.64)

\times 10^{6} m = 1.73 \times 10^{6} m = 1730 km

（約1080マイル）下にある。質量中心の位置を図に示す（縮尺は実際と異なる）。

xy座標系の原点を中心として地球が描かれ、月は地球の右側のx軸上にある。R_CMは原点から右へ伸びる水平なベクトルで、地球の半径より短い。

OpenStax / Rice University, University Physics Volume 1, CC BY 4.0. Source-book artwork retained. · CC BY 4.0 · Source出典

Suppose we included the sun in the system. Approximately where would the center of mass of the Earth-moon-sun system be located? (Feel free to actually calculate it.)

英語のヒント

太陽も系に含めたとしよう。地球・月・太陽の系の質量中心は、およそどこに位置するだろうか。（実際に計算してもよい。）

Solution解き方

The average radius of Earth’s orbit around the Sun is

1.496 \times 10^{9} m

. Taking the Sun to be the origin, and noting that the mass of the Sun is approximately the same as the masses of the Sun, Earth, and Moon combined, the center of mass of the Earth + Moon system and the Sun is

\begin{matrix} R_{CM} & = \frac{m_{Sun} R_{Sun} + m_{em} R_{em}}{m_{Sun}} \\ = \frac{(1.989 \times 10^{30} kg) (0) + (5.97 \times 10^{24} kg + 7.36 \times 10^{22} kg) (1.496 \times 10^{9} m)}{1.989 \times 10^{30} kg} \\ = 4.6 km \end{matrix}

Thus, the center of mass of the Sun, Earth, Moon system is 4.6 km from the center of the Sun.

英語のヒント

太陽の周りの地球の軌道の平均半径は

1.496 \times 10^{9} m

である。太陽を原点とし、太陽の質量が太陽・地球・月の質量の合計とほぼ同じであることを用いると、地球＋月の系と太陽の質量中心は

\begin{matrix} R_{CM} & = \frac{m_{Sun} R_{Sun} + m_{em} R_{em}}{m_{Sun}} \\ = \frac{(1.989 \times 10^{30} kg) (0) + (5.97 \times 10^{24} kg + 7.36 \times 10^{22} kg) (1.496 \times 10^{9} m)}{1.989 \times 10^{30} kg} \\ = 4.6 km \end{matrix}

となる。したがって、太陽・地球・月の系の質量中心は、太陽の中心から4.6 kmの位置にある。

Example 9.17例題 9.17

Center of Mass of a Salt Crystal食塩結晶の質量中心

Figure 9.29 shows a single crystal of sodium chloride—ordinary table salt. The sodium and chloride ions form a single unit, NaCl. When multiple NaCl units group together, they form a cubic lattice. The smallest possible cube (called the unit cell) consists of four sodium ions and four chloride ions, alternating. The length of one edge of this cube (i.e., the bond length) is

2.36 \times 10^{−10} m

. Find the location of the center of mass of the unit cell. Specify it either by its coordinates

(r_{CM, x}, r_{CM, y}, r_{CM, z})

, or by

r_{CM}

and two angles.

英語のヒント

図9.29は、塩化ナトリウム、すなわち普通の食塩の単結晶を示す。ナトリウムイオンと塩化物イオンは、NaClという一つの単位を作る。複数のNaClが集まると、立方格子を形成する。最小の立方体（単位格子）は、ナトリウムイオン4個と塩化物イオン4個が交互に並んだものからなる。この立方体の1辺の長さ（すなわち結合長）は

2.36 \times 10^{−10} m

である。単位格子の質量中心の位置を求め、座標

(r_{CM, x}, r_{CM, y}, r_{CM, z})

、または

r_{CM}

と二つの角度で指定せよ。

塩化ナトリウムの結晶構造は正方形の格子で、その交点にナトリウムイオン（大きな緑の球）と塩素イオン（小さな赤い球）が交互に並ぶ。格子を構成する立方体の一つを、単位格子として示す。 — Figure 9.29図 9.29
A drawing of a sodium chloride (NaCl) crystal.
英語のヒント
塩化ナトリウム（NaCl）結晶の図。

Strategy方針

We can look up all the ion masses. If we impose a coordinate system on the unit cell, this will give us the positions of the ions. We can then apply Equation 9.30, Equation 9.31, and Equation 9.32 (along with the Pythagorean theorem).

英語のヒント

イオンの質量はすべて調べられる。単位格子に座標系を設定すれば、各イオンの位置が定まる。その後、式9.30、式9.31、式9.32とピタゴラスの定理を使えばよい。

Solution解答

Define the origin to be at the location of the chloride ion at the bottom left of the unit cell. Figure 9.30 shows the coordinate system.

英語のヒント

原点を単位格子の左下の塩化物イオンの位置に定める。図9.30に座標系を示す。

NaCl結晶の単位格子を、各頂点にイオンを置いた立方体として示す。緑のイオン4個は、原点のm₁、xy平面の対角にある頂点のm₃、xz平面の対角にある頂点のm₆、yz平面の対角にある頂点のm₈である。赤いイオン4個は、x軸上のm₂、y軸上のm₄、z軸上のm₅、残る頂点のm₇である。 — Figure 9.30図 9.30
A single unit cell of a NaCl crystal.
英語のヒント
NaCl結晶の一つの単位格子。

There are eight ions in this crystal, so N = 8:

英語のヒント

この結晶には8個のイオンがあるので、N＝8である。

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} {\vec{r}}_{j} .

The mass of each of the chloride ions is

英語のヒント

各塩化物イオンの質量は、

35.453 u \times \frac{1.660 \times 10^{−27} kg}{u} = 5.885 \times 10^{−26} kg

so we have

英語のヒント

したがって、

m_{1} = m_{3} = m_{6} = m_{8} = 5.885 \times 10^{−26} kg .

For the sodium ions,

英語のヒント

ナトリウムイオンについては、

m_{2} = m_{4} = m_{5} = m_{7} = 3.816 \times 10^{−26} kg .

The total mass of the unit cell is therefore

英語のヒント

したがって、単位格子の全質量は、

M = (4) (5.885 \times 10^{−26} kg) + (4) (3.816 \times 10^{−26} kg) = 3.880 \times 10^{−25} kg .

From the geometry, the locations are

英語のヒント

幾何学的な配置から、位置は次のようになる。

\begin{matrix} {\vec{r}}_{1} = 0 \\ {\vec{r}}_{2} = (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{i} \\ {\vec{r}}_{3} = r_{3 x} \hat{i} + r_{3 y} \hat{j} = (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{j} \\ {\vec{r}}_{4} = (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{j} \\ {\vec{r}}_{5} = (2.36 \times 10^{−10} m) \vec{k} \\ {\vec{r}}_{6} = r_{6 x} \hat{i} + r_{6 z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{k} \\ {\vec{r}}_{7} = r_{7 x} \hat{i} + r_{7 y} \hat{j} + r_{7 z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{k} \\ {\vec{r}}_{8} = r_{8 y} \hat{j} + r_{8 z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{−10} m) \hat{k} . \end{matrix}

Substituting:

英語のヒント

代入すると、

\begin{matrix} | {\vec{r}}_{CM, x} | & = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} {(r_{x})}_{j} \\ = \frac{1}{M} (m_{1} r_{1 x} + m_{2} r_{2 x} + m_{3} r_{3 x} + m_{4} r_{4 x} + m_{5} r_{5 x} + m_{6} r_{6 x} + m_{7} r_{7 x} + m_{8} r_{8 x}) \\ = \frac{1}{3.8804 \times 10^{−25} kg} [(5.885 \times 10^{−26} kg) (0 m) + (3.816 \times 10^{−26} kg) (2.36 \times 10^{−10} m) \\ + (5.885 \times 10^{−26} kg) (2.36 \times 10^{−10} m) \\ + (3.816 \times 10^{−26} kg) (2.36 \times 10^{−10} m) + 0 + 0 \\ + (3.816 \times 10^{−26} kg) (2.36 \times 10^{−10} m) + 0] \\ = 1.18 \times 10^{−10} m. \end{matrix}

Similar calculations give

r_{CM, y} = r_{CM, z} = 1.18 \times 10^{−10} m

(you could argue that this must be true, by symmetry, but it’s a good idea to check).

英語のヒント

同様の計算から

r_{CM, y} = r_{CM, z} = 1.18 \times 10^{−10} m

を得る（対称性からそうなるはずだと考えられるが、確かめておくとよい）。

Significance考察

Although this is a great exercise to determine the center of mass given a Chloride ion at the origin, in fact the origin could be chosen at any location. Therefore, there is no meaningful application of the center of mass of a unit cell beyond as an exercise.

英語のヒント

原点に塩化物イオンがあるとして質量中心を求めるのはよい練習になるが、実際には原点はどこに選んでもよい。したがって、単位格子の質量中心を求めることには、練習問題としての意味を超えた有用な応用はない。

Suppose you have a macroscopic salt crystal (that is, a crystal that is large enough to be visible with your unaided eye). It is made up of a huge number of unit cells. Is the center of mass of this crystal necessarily at the geometric center of the crystal?

英語のヒント

巨視的な食塩の結晶、つまり肉眼で見えるほど大きな結晶があるとしよう。これは膨大な数の単位格子でできている。この結晶の質量中心は、必ず幾何学的な中心にあるだろうか。

Solution解き方

On a macroscopic scale, the size of a unit cell is negligible and the crystal mass may be considered to be distributed homogeneously throughout the crystal. Thus,

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m {\vec{r}}_{j} = \frac{m}{M} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j} = \frac{N m}{M} \frac{\sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j}}{N}

where we sum over the number N of unit cells in the crystal and m is the mass of a unit cell. Because Nm = M, we can write

{\vec{r}}_{CM} = \frac{m}{M} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j} = \frac{N m}{M} \frac{\sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j}}{N} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j} .

This is the definition of the geometric center of the crystal, so the center of mass is at the same point as the geometric center.

英語のヒント

巨視的な尺度では単位格子の大きさは無視でき、質量は結晶全体に一様に分布しているとみなせる。したがって、

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m {\vec{r}}_{j} = \frac{m}{M} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j} = \frac{N m}{M} \frac{\sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j}}{N}

となる。ここでは結晶内のN個の単位格子について和を取り、mは単位格子一つの質量である。Nm＝Mなので、

{\vec{r}}_{CM} = \frac{m}{M} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j} = \frac{N m}{M} \frac{\sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j}}{N} = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} {\vec{r}}_{j}

と書ける。これは結晶の幾何学的中心の定義であるから、質量中心は幾何学的中心と同じ点にある。