第9章運動量と衝突

Center of Mass and Conservation of Momentum質量中心と運動量保存

How does all this connect to conservation of momentum?

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これまでの議論は、運動量保存とどうつながるのだろうか。

Suppose you have N objects with masses

m_{1}, m_{2}, m_{3}, ... m_{N}

and initial velocities

{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, {\vec{v}}_{3}, ..., {\vec{v}}_{N}

. The center of mass of the objects is

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質量が

m_{1}, m_{2}, m_{3}, ... m_{N}

、初速度が

{\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, {\vec{v}}_{3}, ..., {\vec{v}}_{N}

であるN個の物体を考える。それらの質量中心は、

{\vec{r}}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j} .

Its velocity is

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その速度は、

{\vec{v}}_{CM} = \frac{d {\vec{r}}_{CM}}{d t} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j}}{d t}

(9.35)

and thus the initial momentum of the center of mass is

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したがって、質量中心の初めの運動量は、

\begin{matrix} {[M \frac{d {\vec{r}}_{CM}}{d t}]}_{i} & = & \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d {\vec{r}}_{j, i}}{d t} \\ M {\vec{v}}_{CM,i} & = & \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{v}}_{j, i} . \end{matrix}

After these masses move and interact with each other, the momentum of the center of mass is

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これらの物体が動いて互いに相互作用した後の質量中心の運動量は、

M {\vec{v}}_{CM,f} = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{v}}_{j, f} .

But conservation of momentum tells us that the right-hand side of both equations must be equal, which says

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しかし、運動量保存によれば、両式の右辺は等しくなければならない。つまり、

This result implies that conservation of momentum is expressed in terms of the center of mass of the system. Notice that as an object moves through space with no net external force acting on it, an individual particle of the object may accelerate in various directions, with various magnitudes, depending on the net internal force acting on that object at any time. (Remember, it is only the vector sum of all the internal forces that vanishes, not the internal force on a single particle.) Thus, such a particle’s momentum will not be constant—but the momentum of the entire extended object will be, in accord with Equation 9.36.

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この結果は、運動量保存を系の質量中心で表せることを意味する。外力の合力が働かずに物体が空間を動いていても、個々の構成粒子は、その時々に働く内力の合力に応じ、さまざまな方向と大きさで加速しうる。ゼロになるのは、すべての内力のベクトル和だけであり、一つの粒子に働く内力ではない。したがって、個々の粒子の運動量は一定ではないが、物体全体の運動量は、質量中心の運動量保存の式に従って一定となる。

Equation 9.36 implies another important result: Since M represents the mass of the entire system of particles, it is necessarily constant. (If it isn’t, we don’t have a closed system, so we can’t expect the system’s momentum to be conserved.) As a result, Equation 9.36 implies that, for a closed system,

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質量中心の運動量保存の式からは、もう一つ重要な結果が得られる。Mは粒子の系全体の質量なので、必ず一定である。一定でなければ閉じた系ではなく、系の運動量が保存されるとは期待できない。したがって、この式により、閉じた系では次の関係が成り立つ。

That is to say, in the absence of an external force, the velocity of the center of mass never changes.

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つまり、外力がなければ、質量中心の速度は決して変わらない。

You might be tempted to shrug and say, “Well yes, that’s just Newton’s first law,” but remember that Newton’s first law discusses the constant velocity of a particle, whereas Equation 9.37 applies to the center of mass of a (possibly vast) collection of interacting particles, and that there may not be any particle at the center of mass at all! So, this really is a remarkable result.

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肩をすくめて「それはニュートンの第一法則にすぎない」と言いたくなるかもしれない。しかし、第一法則が扱うのは一つの粒子の一定速度である。一方、質量中心の速度が一定であるという式は、相互作用する粒子の、場合によっては膨大な集まりの質量中心に適用される。しかも、質量中心の位置に粒子が一つもない場合さえある。これは非常に注目すべき結果なのである。

Example 9.19例題 9.19

Fireworks Display打ち上げ花火

When a fireworks rocket explodes, thousands of glowing fragments fly outward in all directions, and fall to Earth in an elegant and beautiful display (Figure 9.32). Describe what happens, in terms of conservation of momentum and center of mass.

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花火のロケットが爆発すると、何千もの光る破片があらゆる方向へ飛び散り、優美な光景を描きながら地上へ落ちる（図9.32）。起こっていることを、運動量保存と質量中心を用いて説明せよ。

空中で開く、大きさのさまざまな多色の花火の写真。 — Figure 9.32図 9.32
These exploding fireworks are a vivid example of conservation of momentum and the motion of the center of mass.
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これらの花火の爆発は、運動量保存と質量中心の運動の鮮やかな例である。

The picture shows radial symmetry about the central points of the explosions; this suggests the idea of center of mass. We can also see the parabolic motion of the glowing particles; this brings to mind projectile motion ideas.

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写真では、爆発の中心点を中心に放射状の対称性が見られる。ここから質量中心という考えが浮かぶ。また、光る粒子の放物線運動も見え、投射運動を思い起こさせる。

Solution解答

Initially, the fireworks rocket is launched and flies more or less straight upward; this is the cause of the more-or-less-straight, white trail going high into the sky below the explosion in the upper-right of the picture (the yellow explosion). This trail is not parabolic because the explosive shell, during its launch phase, is actually a rocket; the impulse applied to it by the ejection of the burning fuel applies a force on the shell during the rise-time interval. (This is a phenomenon we will study in the next section.) The shell has multiple forces on it; thus, it is not in free-fall prior to the explosion.

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初めに花火のロケットが打ち上げられ、ほぼまっすぐ上昇する。写真の右上にある黄色い爆発の下から、高い空へ伸びるほぼ直線の白い軌跡は、そのためにできたものである。この軌跡が放物線でないのは、打ち上げ中の花火玉が実際にロケットだからである。燃焼した燃料を噴出することで、上昇中に花火玉へ力が及び、力積が与えられる。この現象は次の節で扱う。花火玉には複数の力が働くので、爆発前は自由落下ではない。

At the instant of the explosion, the thousands of glowing fragments fly outward in a radially symmetrical pattern. The symmetry of the explosion is the result of all the internal forces summing to zero

(\sum_{j} {\vec{f}}_{j}^{int} = 0);

for every internal force, there is another that is equal in magnitude and opposite in direction.

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爆発の瞬間、何千もの光る破片が、放射状に対称な形で外へ飛び出す。爆発が対称なのは、すべての内力の和がゼロになるためである

(\sum_{j} {\vec{f}}_{j}^{int} = 0);

。どの内力にも、大きさが等しく方向が逆の力が存在する。

However, as we learned above, these internal forces cannot change the momentum of the center of mass of the (now exploded) shell. Since the rocket force has now vanished, the center of mass of the shell is now a projectile (the only force on it is gravity), so its trajectory does become parabolic. The two red explosions on the left show the path of their centers of mass at a slightly longer time after explosion compared to the yellow explosion on the upper right.

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しかし、先に学んだように、これらの内力は、爆発した花火玉の質量中心の運動量を変えられない。ロケットの推力はもうなくなったので、質量中心は投射体となる（働く力は重力だけである）。したがって、その軌道は今度こそ放物線になる。左側の二つの赤い爆発は、右上の黄色い爆発より、爆発後にやや長く時間が経った質量中心の軌跡を示している。

In fact, if you look carefully at all three explosions, you can see that the glowing trails are not truly radially symmetric; rather, they are somewhat denser on one side than the other. Specifically, the yellow explosion and the lower middle explosion are slightly denser on their right sides, and the upper-left explosion is denser on its left side. This is because of the momentum of their centers of mass; the differing trail densities are due to the momentum each piece of the shell had at the moment of its explosion. The fragment for the explosion on the upper left of the picture had a momentum that pointed upward and to the left; the middle fragment’s momentum pointed upward and slightly to the right; and the right-side explosion clearly upward and to the right (as evidenced by the white rocket exhaust trail visible below the yellow explosion).

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実際、三つの爆発をよく見ると、光の軌跡は完全な放射対称ではなく、片側の方がやや密になっている。具体的には、黄色い爆発と中央下の爆発は右側がやや密で、左上の爆発は左側が密である。これは各質量中心の運動量によるもので、軌跡の密度の違いは、爆発の瞬間に花火玉の各部分が持っていた運動量によって生じる。左上の爆発を生じた破片の運動量は左上向き、中央の破片は上方やや右向き、右側の爆発は明らかに右上向きだった。最後のものは、黄色い爆発の下に見えるロケットの白い排気の軌跡から分かる。

Finally, each fragment is a projectile on its own, thus tracing out thousands of glowing parabolas.

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最後に、各破片もそれぞれ一つの投射体なので、何千もの光る放物線を描く。

Significance考察

In the discussion above, we said, “…the center of mass of the shell is now a projectile (the only force on it is gravity)….” This is not quite accurate, for there may not be any mass at all at the center of mass; in which case, there could not be a force acting on it. This is actually just verbal shorthand for describing the fact that the gravitational forces on all the particles act so that the center of mass changes position exactly as if all the mass of the shell were always located at the position of the center of mass.

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先の説明では、「花火玉の質量中心は投射体となる（働く力は重力だけである）」と述べた。厳密には、これは正確ではない。質量中心には質量が全く存在しない場合があり、その場合は、そこに力が働くこともないからである。これは実際には、すべての粒子に作用する重力によって、あたかも花火玉の全質量が常に質量中心にあるかのように、その点の位置が変化するという事実を、言葉で短く表したものなのである。

You may sometimes hear someone describe an explosion by saying something like, “the fragments of the exploded object always move in a way that makes sure that the center of mass continues to move on its original trajectory.” This makes it sound as if the process is somewhat magical: how can it be that, in every explosion, it always works out that the fragments move in just the right way so that the center of mass’ motion is unchanged? Phrased this way, it would be hard to believe no explosion ever does anything differently.

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爆発について、「爆発した物体の破片は、質量中心が元の軌道を進み続けるよう、常にうまく動く」といった説明を耳にすることがあるかもしれない。この言い方では、現象がどこか魔法のように聞こえる。どの爆発でも、質量中心の運動を変えないよう、破片がいつもぴったりの動きをするとは、どういうことなのか。このように述べると、違うことをする爆発が一度もないとは信じにくくなる。

The explanation of this apparently astonishing coincidence is: We defined the center of mass precisely so this is exactly what we would get. Recall that first we defined the momentum of the system:

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驚くべき偶然のように見えるこの一致には、理由がある。まさにこの結果が得られるように、質量中心を定義したのである。まず系の運動量を定義したことを思い出そう。

{\vec{p}}_{CM} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t} .

We then concluded that the net external force on the system (if any) changed this momentum:

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次に、系に外力の合力が働くなら、その力がこの運動量を変えると結論した。

\vec{F} = \frac{d {\vec{p}}_{CM}}{d t}

and then—and here’s the point—we defined an acceleration that would obey Newton’s second law. That is, we demanded that we should be able to write

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そして、ここが要点だが、ニュートンの第二法則に従う加速度を定義した。つまり、次のように書けることを要求したのである。

\vec{a} = \frac{\vec{F}}{M}

which requires that

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そのためには、次の関係が必要である。

\vec{a} = \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j}) .

where the quantity inside the parentheses is the center of mass of our system. So, it’s not astonishing that the center of mass obeys Newton’s second law; we defined it so that it would.

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括弧内の量が、この系の質量中心である。したがって、質量中心がニュートンの第二法則に従うのは驚くことではない。そうなるように定義したのだからである。