第9章運動量と衝突

Rocket in a Gravitational Field重力場内のロケット

Let’s now analyze the velocity change of the rocket during the launch phase, from the surface of Earth. To keep the math manageable, we’ll restrict our attention to distances for which the acceleration caused by gravity can be treated as a constant g.

英語のヒント

今度は、地表から打ち上げる間のロケットの速度変化を解析しよう。計算を扱いやすくするため、重力による加速度を一定のgとみなせる距離の範囲に限る。

The analysis is similar, except that now there is an external force of

\vec{F} = − m g \hat{j}

acting on our system. This force applies an impulse

d \vec{J} = \vec{F} d t = − m g d t \hat{j}

, which is equal to the change of momentum. This gives us

英語のヒント

解析は同様だが、今度は系に外力

\vec{F} = − m g \hat{j}

が働く。この力が与える力積

d \vec{J} = \vec{F} d t = − m g d t \hat{j}

は、運動量の変化に等しい。したがって、

\begin{matrix} d \vec{p} & = & d \vec{J} \\ {\vec{p}}_{f} - {\vec{p}}_{i} & = & − m g d t \hat{j} \\ [(m - d m_{g}) (v + d v) + d m_{g} (v - u) - m v] \hat{j} & = & − m g d t \hat{j} \end{matrix}

and so

英語のヒント

よって、

m d v - d m_{g} u = − m g d t

where we have again neglected the term

d m_{g} d v

and dropped the vector notation. Next we replace

d m_{g}

with

− d m

英語のヒント

ここでも

d m_{g} d v

の項を無視し、ベクトル記号を省いた。次に、

d m_{g}

を

− d m

で置き換える。

\begin{matrix} m d v + d m u & = & − m g d t \\ m d v & = & − d m u - m g d t . \end{matrix}

Dividing through by m gives

英語のヒント

全体をmで割ると、

d v = − u \frac{d m}{m} - g d t

and integrating, we have

英語のヒント

積分すると、

Unsurprisingly, the rocket’s velocity is affected by the (constant) acceleration of gravity.

英語のヒント

当然ながら、ロケットの速度は一定の重力加速度の影響を受ける。

Remember that

Δ t

is the burn time of the fuel. Now, in the absence of gravity, Equation 9.38 implies that it makes no difference how much time it takes to burn the entire mass of fuel; the change of velocity does not depend on

Δ t

. However, in the presence of gravity, it matters a lot. The −g

Δ t

term in Equation 9.39 tells us that the longer the burn time is, the smaller the rocket’s change of velocity will be. This is the reason that the launch of a rocket is so spectacular at the first moment of liftoff: It’s essential to burn the fuel as quickly as possible, to get as large a

Δ v

as possible.

英語のヒント

Δ t

は燃料の燃焼時間である。重力がなければ、式9.38より、燃料をすべて燃やすのにどれだけ時間がかかっても違いはなく、速度変化は

Δ t

に依存しない。しかし、重力がある場合、燃焼時間は非常に重要になる。重力を含む速度変化の式の−g

Δ t

という項は、燃焼時間が長いほどロケットの速度変化が小さくなることを示す。ロケットが離陸の瞬間にあれほど激しく噴射するのは、このためである。できる限り大きな

Δ v

を得るには、燃料をできる限り速く燃やすことが不可欠なのだ。

Summaryまとめ

A rocket is an example of conservation of momentum where the mass of the system is not constant, since the rocket ejects fuel to provide thrust.
英語のヒント
ロケットは、推力を得るために燃料を噴出するので、系の質量が一定でない場合の運動量保存の例である。
The rocket equation gives us the change of velocity that the rocket obtains from burning a mass of fuel that decreases the total rocket mass.
英語のヒント
ロケット方程式は、燃料を燃やしてロケットの全質量が減ることで得られる速度変化を与える。

Key Equations重要な式

Definition of momentum 運動量の定義	$\vec{p} = m \vec{v}$
Impulse 力積	$\vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) d t or \vec{J} = {\vec{F}}_{ave} Δ t$ $\vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) d t または \vec{J} = {\vec{F}}_{ave} Δ t$
Impulse-momentum theorem 力積と運動量の定理	$\vec{J} = Δ \vec{p}$
Average force from momentum 運動量から求める平均の力	$\vec{F} = \frac{Δ \vec{p}}{Δ t}$
Instantaneous force from momentum (Newton’s second law) 運動量から求める瞬間の力（ニュートンの第二法則）	$\vec{F} (t) = \frac{d \vec{p}}{d t}$
Conservation of momentum 運動量保存	$\frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t} + \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t} = 0 or {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = constant$ $\frac{d {\vec{p}}_{1}}{d t} + \frac{d {\vec{p}}_{2}}{d t} = 0 または {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = 一定$
Generalized conservation of momentum 一般化した運動量保存	$\sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} = constant$ $\sum_{j = 1}^{N} {\vec{p}}_{j} = 一定$
Conservation of momentum in two dimensions 二次元の運動量保存	$\begin{matrix} p_{f, x} = p_{1,i, x} + p_{2,i, x} \\ p_{f, y} = p_{1,i, y} + p_{2,i, y} \end{matrix}$
External forces 外力	${\vec{F}}_{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d {\vec{p}}_{j}}{d t}$
Newton’s second law for an extended object 広がりを持つ物体のニュートンの第二法則	$\vec{F} = \frac{d {\vec{p}}_{CM}}{d t}$
Acceleration of the center of mass 質量中心の加速度	${\vec{a}}_{CM} = \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j}) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{a}}_{j}$
Position of the center of mass for a system of particles 粒子の系の質量中心の位置	${\vec{r}}_{CM} \equiv \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j}$
Velocity of the center of mass 質量中心の速度	${\vec{v}}_{CM} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{r}}_{j}) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} {\vec{v}}_{j}$
Position of the center of mass of a continuous object 連続体の質量中心の位置	${\vec{r}}_{CM} \equiv \frac{1}{M} \int \vec{r} d m$
Rocket equation ロケット方程式	$Δ v = u ln (\frac{m_{i}}{m})$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 76練習問題 76

Exercise 76問題 76

It is possible for the velocity of a rocket to be greater than the exhaust velocity of the gases it ejects. When that is the case, the gas velocity and gas momentum are in the same direction as that of the rocket. How is the rocket still able to obtain thrust by ejecting the gases?

英語のヒント

ロケットの速度が、噴出する気体の排気速度を上回ることはありうる。その場合、気体の速度と運動量はロケットと同じ向きになる。それでも、ロケットが気体の噴出によって推力を得られるのはなぜか。

Solution解き方

Yes, the rocket speed can exceed the exhaust speed of the gases it ejects. The thrust of the rocket does not depend on the relative speeds of the gases and rocket, it simply depends on conservation of momentum.

英語のヒント

ロケットの速さは、噴出する気体の排気の速さを超えることができる。推力は気体とロケットの相対的な速さには依存せず、運動量保存だけに依存する。

Problems問題

Exercises 77–82練習問題 77–82

Exercise 77問題 77

(a) A 5.00-kg squid initially at rest ejects 0.250 kg of fluid with a velocity of 10.0 m/s. What is the recoil velocity of the squid if the ejection is done in 0.100 s and there is a 5.00-N frictional force opposing the squid’s movement?

英語のヒント

(a) 初め静止していた5.00 kgのイカが、0.250 kgの液体を速度10.0 m/sで噴出する。噴出が0.100 sの間に行われ、運動を妨げる5.00 Nの摩擦力が働くなら、イカの反動による速度はいくらか。

(b) How much energy is lost to work done against friction?

英語のヒント

(b) 摩擦に逆らう仕事によって、どれだけのエネルギーが失われるか。

Solution解き方

(a) 0.413 m/s, (b) about 0.2 J

(a) 0.413 m/s、(b) 約0.2 J。

Exercise 78問題 78

A rocket takes off from Earth and reaches a speed of 100 m/s in 10.0 s. If the exhaust speed is 1500 m/s and the mass of fuel burned is 100 kg, what was the initial mass of the rocket?

英語のヒント

ロケットが地球から離陸し、10.0 sで100 m/sに達する。排気の速さが1500 m/sで、燃やした燃料の質量が100 kgなら、ロケットの初めの質量はいくらだったか。

Exercise 79問題 79

Repeat the preceding problem but for a rocket that takes off from a space station, where there is no gravity other than the negligible gravity due to the space station.

英語のヒント

宇宙ステーションから離陸するロケットについて、前問を解き直せ。そこには、宇宙ステーションによる無視できるほど小さな重力以外には、重力はないものとする。

Solution解き方

1551 kg

Exercise 80問題 80

How much fuel would be needed for a 1000-kg rocket (this is its mass with no fuel) to take off from Earth and reach 1000 m/s in 30 s? The exhaust speed is 1000 m/s.

英語のヒント

燃料を含まない質量が1000 kgのロケットが、地球から離陸して30 sで1000 m/sに達するには、どれだけの燃料が必要か。排気の速さは1000 m/sとする。

Exercise 81問題 81

What exhaust speed is required to accelerate a rocket in deep space from 800 m/s to 1000 m/s in 5.0 s if the total rocket mass is 1200 kg and the rocket only has 50 kg of fuel left?

英語のヒント

全質量1200 kgで燃料が50 kgしか残っていないロケットを、深宇宙で5.0 sの間に800 m/sから1000 m/sへ加速するには、どれほどの排気の速さが必要か。

Solution解き方

4.9 km/s

Exercise 82問題 82

Unreasonable Results Squids have been reported to jump from the ocean and travel 30.0 m (measured horizontally) before re-entering the water.

英語のヒント

不合理な結果：イカが海から飛び出し、再び海に入るまでに水平方向に30.0 m進んだという報告がある。

(a) Calculate the initial speed of the squid if it leaves the water at an angle of 20.0°, assuming negligible lift from the air and negligible air resistance.

英語のヒント

(a) 空気による揚力と空気抵抗を無視できるとして、イカが20.0°の角度で水面を離れる場合の初めの速さを求めよ。

(b) The squid propels itself by squirting water. What fraction of its mass would it have to eject in order to achieve the speed found in the previous part? The water is ejected at 12.0 m/s; gravitational force and friction are neglected.

英語のヒント

(b) イカは水を噴き出して進む。前問で求めた速さに達するには、体重のどれだけの割合を噴出する必要があるか。水は12.0 m/sで噴出し、重力と摩擦は無視する。

英語のヒント

(d) Which premise is unreasonable, or which premises are inconsistent?

英語のヒント

(d) どの前提が不合理か、またはどの前提同士が矛盾しているか。