第10章二次方程式

Solve Quadratic Equations of the Form a(x − h)² = k Using the Square Root Property平方根の性質を使ってa(x − h)² = kの形の二次方程式を解く

We can use the Square Root Property to solve an equation like

{(x - 3)}^{2} = 16

, too. We will treat the whole binomial,

(x - 3)

, as the quadratic term.

英語のヒント

平方根の性質は、

{(x - 3)}^{2} = 16

のような方程式にも使える。二項式

(x - 3)

全体を二次の項として扱う。

Example 10.7例題 10.7

Solve:

{(x - 3)}^{2} = 16

英語のヒント

解け：

{(x - 3)}^{2} = 16

。

Solution解答

		${(x - 3)}^{2} = 16$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。		$x - 3 = \pm \sqrt{16}$
Simplify. 簡単にする。		$x - 3 = \pm 4$
Write as two equations. 二つの方程式として書く。		$x - 3 = 4, x - 3 = − 4$
Solve. 解く。		$x = 7, x = − 1$
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.8例題 10.8

Solve:

{(y - 7)}^{2} = 12

英語のヒント

解け：

{(y - 7)}^{2} = 12

。

Solution解答

		${(y - 7)}^{2} = 12$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。		$y - 7 = \pm \sqrt{12}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。		$y - 7 = \pm 2 \sqrt{3}$
Solve for y. yについて解く。		$y = 7 \pm 2 \sqrt{3}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。		$y = 7 + 2 \sqrt{3}, y = 7 - 2 \sqrt{3}$
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Remember, when we take the square root of a fraction, we can take the square root of the numerator and denominator separately.

英語のヒント

分数の平方根は、分子と分母の平方根を別々に取れることを思い出そう。

Example 10.9例題 10.9

Solve:

{(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4} .

英語のヒント

次の方程式を解く：

{(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4}

Solution解答

Use the Square Root Property. Rewrite the radical as a fraction of square roots. Simplify the radical. Solve for x. 平方根の性質を使う。根号の式を平方根どうしの分数に書き直す。根号の式を簡単にする。xについて解く。	$\begin{matrix} {(x - \frac{1}{2})}^{2} & = & \frac{5}{4} \\ x - \frac{1}{2} & = & \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \\ x - \frac{1}{2} & = & \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} \\ x - \frac{1}{2} & = & \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \\ x & = & \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \end{matrix}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。	$x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$
Check. We leave the check for you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

We will start the solution to the next example by isolating the binomial.

英語のヒント

次の例は、二項式を単独にすることから解き始める。

Example 10.10例題 10.10

Solve:

{(x - 2)}^{2} + 3 = 30

英語のヒント

解け：

{(x - 2)}^{2} + 3 = 30

。

Solution解答

	$\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} + 3 & = & 30 \end{matrix}$
Isolate the binomial term. 二項式の項を単独にする。	$\begin{matrix} {(x - 2)}^{2} & = & 27 \end{matrix}$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。	$\begin{matrix} x - 2 & = & \pm \sqrt{27} \end{matrix}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$\begin{matrix} x - 2 & = & \pm 3 \sqrt{3} \end{matrix}$
Solve for x. xについて解く。	$\begin{matrix} x & = & 2 \pm 3 \sqrt{3} \end{matrix}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。	$x = 2 + 3 \sqrt{3}, x = 2 - 3 \sqrt{3}$
Check. We leave the check for you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.11例題 10.11

Solve:

{(3 v - 7)}^{2} = −12

英語のヒント

解け：

{(3 v - 7)}^{2} = −12

。

Solution解答

Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。	$\begin{matrix} {(3 v - 7)}^{2} & = & −12 \\ 3 v - 7 & = & \pm \sqrt{−12} \end{matrix}$
The $\sqrt{−12}$ is not a real number. $\sqrt{−12}$ は実数ではない。	There is no real solution. 実数解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

The left sides of the equations in the next two examples do not seem to be of the form

a {(x - h)}^{2}

. But they are perfect square trinomials, so we will factor to put them in the form we need.

英語のヒント

次の二つの例の左辺は、

a {(x - h)}^{2}

の形には見えない。しかし完全平方の三項式なので、因数分解して必要な形にする。

Example 10.12例題 10.12

Solve:

p^{2} - 10 p + 25 = 18

英語のヒント

解け：

p^{2} - 10 p + 25 = 18

。

Solution解答

The left side of the equation is a perfect square trinomial. We will factor it first.

英語のヒント

方程式の左辺は完全平方の三項式である。まず因数分解する。

Factor the perfect square trinomial. Use the Square Root Property. Simplify the radical. Solve for p. 完全平方の三項式を因数分解する。平方根の性質を使う。根号の式を簡単にする。pについて解く。	$\begin{matrix} p^{2} - 10 p + 25 & = & 18 \\ {(p - 5)}^{2} & = & 18 \\ p - 5 & = & \pm \sqrt{18} \\ p - 5 & = & \pm 3 \sqrt{2} \\ p & = & 5 \pm 3 \sqrt{2} \end{matrix}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。	$p = 5 + 3 \sqrt{2,} p = 5 - 3 \sqrt{2}$
Check. We leave the check for you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.13例題 10.13

Solve:

4 n^{2} + 4 n + 1 = 16

英語のヒント

解け：

4 n^{2} + 4 n + 1 = 16

。

Solution解答

Again, we notice the left side of the equation is a perfect square trinomial. We will factor it first.

英語のヒント

ここでも左辺が完全平方の三項式であることに着目する。まず因数分解する。

		$4 n^{2} + 4 n + 1 = 16$
Factor the perfect square trinomial. 完全平方の三項式を因数分解する。		${(2 n + 1)}^{2} = 16$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。		$2 n + 1 = \pm \sqrt{16}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。		$2 n + 1 = \pm 4$
Solve for n. nについて解く。		$2 n = − 1 \pm 4$
Divide each side by 2. 両辺を2で割る。		$\begin{matrix} \frac{2 n}{2} & = & \frac{- 1 \pm 4}{2} \\ n & = & \frac{- 1 \pm 4}{2} \end{matrix}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。		$n = \frac{- 1 + 4}{2}, n = \frac{- 1 - 4}{2}$
Simplify each equation. 各方程式を簡単にする。		$n = \frac{3}{2}, n = - \frac{5}{2}$
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Square Root Property
If $x^{2} = k$ , and $k \geq 0$ , then $x = \sqrt{k} or x = − \sqrt{k}$ .
英語のヒント
平方根の性質 $x^{2} = k$ かつ $k \geq 0$ なら、 $x = \sqrt{k} または x = − \sqrt{k}$ である。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–14練習問題 1–14

Solve Quadratic Equations of the form

a x^{2} = k

Using the Square Root Property

英語のヒント

平方根の性質を使って

a x^{2} = k

の形の二次方程式を解く

In the following exercises, solve the following quadratic equations.

英語のヒント

次の各問で、二次方程式を解け。

Exercise 1問題 1

a^{2} = 49

Solution解き方

a = \pm 7

Exercise 2問題 2

b^{2} = 144

Exercise 3問題 3

r^{2} - 24 = 0

Solution解き方

r = \pm 2 \sqrt{6}

Exercise 4問題 4

t^{2} - 75 = 0

Exercise 5問題 5

u^{2} - 300 = 0

Solution解き方

u = \pm 10 \sqrt{3}

Exercise 6問題 6

v^{2} - 80 = 0

Exercise 7問題 7

4 m^{2} = 36

Solution解き方

m = \pm 3

Exercise 8問題 8

3 n^{2} = 48

Exercise 9問題 9

x^{2} + 20 = 0

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 10問題 10

y^{2} + 64 = 0

Exercise 11問題 11

\frac{2}{5} a^{2} + 3 = 11

Solution解き方

a = \pm 2 \sqrt{5}

Exercise 12問題 12

\frac{3}{2} b^{2} - 7 = 41

Exercise 13問題 13

7 p^{2} + 10 = 26

Solution解き方

p = \pm \frac{4 \sqrt{7}}{7}

Exercise 14問題 14

2 q^{2} + 5 = 30

Exercises 15–30練習問題 15–30

Solve Quadratic Equations of the Form

a {(x - h)}^{2} = k

Using the Square Root Property

英語のヒント

平方根の性質を使って

a {(x - h)}^{2} = k

の形の二次方程式を解く

In the following exercises, solve the following quadratic equations.

英語のヒント

次の各問で、二次方程式を解け。

Exercise 15問題 15

{(x + 2)}^{2} = 9

Solution解き方

x = 1, x = −5

Exercise 16問題 16

{(y - 5)}^{2} = 36

Exercise 17問題 17

{(u - 6)}^{2} = 64

Solution解き方

u = 14, u = −2

Exercise 18問題 18

{(v + 10)}^{2} = 121

Exercise 19問題 19

{(m - 6)}^{2} = 20

Solution解き方

m = 6 \pm 2 \sqrt{5}

Exercise 20問題 20

{(n + 5)}^{2} = 32

Exercise 21問題 21

{(r - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}

Solution解き方

r = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Exercise 22問題 22

{(t - \frac{5}{6})}^{2} = \frac{11}{25}

Exercise 23問題 23

{(a - 7)}^{2} + 5 = 55

Solution解き方

a = 7 \pm 5 \sqrt{2}

Exercise 24問題 24

{(b - 1)}^{2} - 9 = 39

Exercise 25問題 25

{(5 c + 1)}^{2} = −27

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 26問題 26

{(8 d - 6)}^{2} = −24

Exercise 27問題 27

m^{2} - 4 m + 4 = 8

Solution解き方

m = 2 \pm 2 \sqrt{2}

Exercise 28問題 28

n^{2} + 8 n + 16 = 27

Exercise 29問題 29

25 x^{2} - 30 x + 9 = 36

Solution解き方

x = - \frac{3}{5}, x = \frac{9}{5}

Exercise 30問題 30

9 y^{2} + 12 y + 4 = 9

Exercises 31–52練習問題 31–52

Mixed Practice

英語のヒント

総合練習

In the following exercises, solve using the Square Root Property.

英語のヒント

次の各問で、平方根の性質を使って解け。

Exercise 31問題 31

2 r^{2} = 32

Solution解き方

r = \pm 4

Exercise 32問題 32

4 t^{2} = 16

Exercise 33問題 33

{(a - 4)}^{2} = 28

Solution解き方

a = 4 \pm 2 \sqrt{7}

Exercise 34問題 34

{(b + 7)}^{2} = 8

Exercise 35問題 35

9 w^{2} - 24 w + 16 = 1

Solution解き方

w = 1, w = \frac{5}{3}

Exercise 36問題 36

4 z^{2} + 4 z + 1 = 49

Exercise 37問題 37

a^{2} - 18 = 0

Solution解き方

a = \pm 3 \sqrt{2}

Exercise 38問題 38

b^{2} - 108 = 0

Exercise 39問題 39

{(p - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{7}{9}

Solution解き方

p = \frac{1}{3} \pm \frac{\sqrt{7}}{3}

Exercise 40問題 40

{(q - \frac{3}{5})}^{2} = \frac{3}{4}

Exercise 41問題 41

m^{2} + 12 = 0

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 42問題 42

n^{2} + 48 = 0

Exercise 43問題 43

u^{2} - 14 u + 49 = 72

Solution解き方

u = 7 \pm 6 \sqrt{2}

Exercise 44問題 44

v^{2} + 18 v + 81 = 50

Exercise 45問題 45

{(m - 4)}^{2} + 3 = 15

Solution解き方

m = 4 \pm 2 \sqrt{3}

Exercise 46問題 46

{(n - 7)}^{2} - 8 = 64

Exercise 47問題 47

{(x + 5)}^{2} = 4

Solution解き方

x = −3, x = −7

Exercise 48問題 48

{(y - 4)}^{2} = 64

Exercise 49問題 49

6 c^{2} + 4 = 29

Solution解き方

c = \pm \frac{5 \sqrt{6}}{6}

Exercise 50問題 50

2 d^{2} - 4 = 77

Exercise 51問題 51

{(x - 6)}^{2} + 7 = 3

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 52問題 52

{(y - 4)}^{2} + 10 = 9

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 53–54練習問題 53–54

Exercise 53問題 53

Paola has enough mulch to cover 48 square feet. She wants to use it to make three square vegetable gardens of equal sizes. Solve the equation

3 s^{2} = 48

to find

s

, the length of each garden side.

英語のヒント

パオラは48平方フィートを覆うだけのマルチ材を持っている。それを使い、同じ大きさの正方形の菜園を三つ作りたい。方程式

3 s^{2} = 48

を解き、各菜園の1辺の長さ

s

を求めよ。

Solution解き方

4 feet

英語のヒント

4フィート

Exercise 54問題 54

Kathy is drawing up the blueprints for a house she is designing. She wants to have four square windows of equal size in the living room, with a total area of 64 square feet. Solve the equation

4 s^{2} = 64

to find

s

, the length of the sides of the windows.

英語のヒント

キャシーは設計中の家の設計図を描いている。居間に同じ大きさの正方形の窓を四つ設け、総面積を64平方フィートにしたい。方程式

4 s^{2} = 64

を解き、窓の辺の長さ

s

を求めよ。

第10章二次方程式

Solve Quadratic Equations of the Form a(x − h)2 = k Using the Square Root Property平方根の性質を使ってa(x − h)2 = kの形の二次方程式を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Key Concepts重要な概念

Practice Makes Perfect練習問題

Everyday Math日常生活の数学

Solve Quadratic Equations of the Form a(x − h)² = k Using the Square Root Property平方根の性質を使ってa(x − h)² = kの形の二次方程式を解く