第10章二次方程式

10.5 Graphing Quadratic Equations in Two Variables10.5 2変数の二次方程式のグラフを描く

Exercises 297–298練習問題 297–298

In the following exercises, graph by plotting point.

英語のヒント

以下の練習問題では、点を打ってグラフを描け。

Exercise 297問題 297

Graph

y = x^{2} - 2

英語のヒント

y = x^{2} - 2

のグラフを描け。

Solution解き方

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。放物線の頂点は (0, −2) で、点 (1, −1) を通る。

Exercise 298問題 298

Graph

y = − x^{2} + 3

英語のヒント

y = − x^{2} + 3

のグラフを描け。

Exercises 299–302練習問題 299–302

In the following exercises, determine if the following parabolas open up or down.

英語のヒント

以下の練習問題では、次の放物線が上向きに開くか下向きに開くかを判定せよ。

Exercise 299問題 299

y = −3 x^{2} + 3 x - 1

Solution解き方

down

英語のヒント

下向き

Exercise 300問題 300

y = 5 x^{2} + 6 x + 3

Exercise 301問題 301

y = x^{2} + 8 x - 1

Solution解き方

英語のヒント

上向き

Exercise 302問題 302

y = −4 x^{2} - 7 x + 1

Exercises 303–304練習問題 303–304

In the following exercises, find ⓐ the axis of symmetry and ⓑ the vertex.

英語のヒント

以下の練習問題では、ⓐ 対称軸、ⓑ 頂点を求めよ。

Exercise 303問題 303

y = − x^{2} + 6 x + 8

Solution解き方

ⓐ

x = 3

ⓑ

(3, 17)

Exercise 304問題 304

y = 2 x^{2} - 8 x + 1

Exercises 305–310練習問題 305–310

In the following exercises, find the x- and y-intercepts.

英語のヒント

以下の練習問題では、x軸とy軸との交点を求めよ。

Exercise 305問題 305

y = x^{2} - 4 x - 5

Solution解き方

y : (0, 5); x : (5, 0), (−1, 0)

Exercise 306問題 306

y = x^{2} - 8 x + 15

Exercise 307問題 307

y = x^{2} - 4 x + 10

Solution解き方

y : (0, 10); x : none

y : (0, 10); x : なし

Exercise 308問題 308

y = −5 x^{2} - 30 x - 46

Exercise 309問題 309

y = 16 x^{2} - 8 x + 1

Solution解き方

y : (0, 1); x : (\frac{1}{4}, 0)

Exercise 310問題 310

y = x^{2} + 16 x + 64

Exercises 311–318練習問題 311–318

In the following exercises, graph by using intercepts, the vertex, and the axis of symmetry.

英語のヒント

以下の練習問題では、座標軸との交点、頂点、対称軸を使ってグラフを描け。

Exercise 311問題 311

y = x^{2} + 8 x + 15

Solution解き方

y : (0, 15); x : (−3, 0), (−5, 0);

axis:

x = −4; vertex : (−4, −1)

英語のヒント

y : (0, 15); x : (−3, 0), (−5, 0);

軸：

x = −4; 頂点 : (−4, −1)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸は−10から10、y軸は−2から17まである。頂点 (−4, −1) と、座標軸との交点 (−3, 0)、(−5, 0)、(0, 15) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝−4 で頂点を通っている。

Exercise 312問題 312

y = x^{2} - 2 x - 3

Exercise 313問題 313

y = − x^{2} + 8 x - 16

Solution解き方

y : (0, −16); x : (4, 0);

axis:

x = 4; vertex : (4, 0)

英語のヒント

y : (0, −16); x : (4, 0);

軸：

x = 4; 頂点 : (4, 0)

xy座標平面に下向きに開く放物線を描いた図。x軸は−15から12、y軸は−20から2まである。頂点 (4, 0) と、座標軸との交点 (0, −16) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝4 で頂点を通っている。

Exercise 314問題 314

y = 4 x^{2} - 4 x + 1

Exercise 315問題 315

y = x^{2} + 6 x + 13

Solution解き方

y : (0, 13); x : none;

axis:

x = −3; vertex : (−3, 4)

英語のヒント

y : (0, 13); x : なし;

軸：

x = −3; 頂点 : (−3, 4)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸は−10から10、y軸は−2から18まである。頂点 (−3, 4) と、座標軸との交点 (0, 13) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝−3 で頂点を通っている。

Exercise 316問題 316

y = −2 x^{2} - 8 x - 12

Exercise 317問題 317

y = −4 x^{2} + 16 x - 11

Solution解き方

y : (0, −11) x : (3.1, 0), (0.9, 0);

axis:

x = 2; vertex: (2, 5)

英語のヒント

y : (0, −11) x : (3.1, 0), (0.9, 0);

軸：

x = 2; 頂点： (2, 5)

xy座標平面に下向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (2, 5) と、座標軸との交点 (3.1, 0)、(0.9, 0) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝2 で頂点を通っている。

Exercise 318問題 318

y = x^{2} + 8 x + 10

Exercises 319–320練習問題 319–320

In the following exercises, find the minimum or maximum value.

英語のヒント

以下の練習問題では、最小値または最大値を求めよ。

Exercise 319問題 319

y = 7 x^{2} + 14 x + 6

Solution解き方

The minimum value is

−1

when

x = −1

英語のヒント

x = −1

のとき、最小値は

−1

である。

Exercise 320問題 320

y = −3 x^{2} + 12 x - 10

Exercises 321–322練習問題 321–322

In the following exercises, solve. Rounding answers to the nearest tenth.

英語のヒント

以下の練習問題を解け。答えは小数第1位に四捨五入せよ。

Exercise 321問題 321

A ball is thrown upward from the ground with an initial velocity of 112 ft/sec. Use the quadratic equation

h = −16 t^{2} + 112 t

to find how long it will take the ball to reach maximum height, and then find the maximum height.

英語のヒント

ボールを地面から上向きに初速度112フィート毎秒で投げる。二次方程式

h = −16 t^{2} + 112 t

を使い、ボールが最高点に達するまでの時間を求め、その最高高度を求めよ。

Solution解き方

In 3.5 seconds the ball is at its maximum height of 196 feet.

英語のヒント

3.5秒後に、ボールは最高高度196フィートに達する。

Exercise 322問題 322

A daycare facility is enclosing a rectangular area along the side of their building for the children to play outdoors. They need to maximize the area using 180 feet of fencing on three sides of the yard. The quadratic equation

A = −2 x^{2} + 180 x

gives the area,

A

, of the yard for the length,

x

, of the building that will border the yard. Find the length of the building that should border the yard to maximize the area, and then find the maximum area.

英語のヒント

保育施設が、子どもたちが屋外で遊べるよう、建物の側面に沿って長方形の場所を囲もうとしている。庭の3辺に180フィートの柵を使い、面積を最大にする必要がある。二次方程式

A = −2 x^{2} + 180 x

は、庭に接する建物の長さ

x

に対する庭の面積

A

を表す。面積を最大にするには建物のどれだけの長さを庭に接させればよいかを求め、その最大面積を求めよ。

Practice Test練習テスト

Exercises 323–325練習問題 323–325

Exercise 323問題 323

Use the Square Root Property to solve the quadratic equation:

3 {(w + 5)}^{2} = 27

英語のヒント

平方根の性質を使って、二次方程式

3 {(w + 5)}^{2} = 27

を解け。

Solution解き方

w = −2, −8

Exercise 324問題 324

Use Completing the Square to solve the quadratic equation:

a^{2} - 8 a + 7 = 23

英語のヒント

平方完成を使って、二次方程式

a^{2} - 8 a + 7 = 23

を解け。

Exercise 325問題 325

Use the Quadratic Formula to solve the quadratic equation:

2 m^{2} - 5 m + 3 = 0

英語のヒント

解の公式を使って、二次方程式

2 m^{2} - 5 m + 3 = 0

を解け。

Solution解き方

m = 1, \frac{3}{2}

Exercises 326–330練習問題 326–330

Solve the following quadratic equations. Use any method.

英語のヒント

次の二次方程式を解け。どの方法を使ってもよい。

Exercise 326問題 326

8 v^{2} + 3 = 35

Exercise 327問題 327

3 n^{2} + 8 n + 3 = 0

Solution解き方

n = \frac{−4 \pm \sqrt{7}}{3}

Exercise 328問題 328

2 b^{2} + 6 b - 8 = 0

Exercise 329問題 329

x (x + 3) + 12 = 0

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 330問題 330

\frac{4}{3} y^{2} - 4 y + 3 = 0

Exercises 331–332練習問題 331–332

Use the discriminant to determine the number of solutions of each quadratic equation.

英語のヒント

判別式を使い、それぞれの二次方程式の解の個数を判定せよ。

Exercise 331問題 331

6 p^{2} - 13 p + 7 = 0

Solution解き方

Exercise 332問題 332

3 q^{2} - 10 q + 12 = 0

Exercises 333–334練習問題 333–334

Solve by factoring, the Square Root Property, or the Quadratic Formula.

英語のヒント

因数分解、平方根の性質、または解の公式によって解け。

Exercise 333問題 333

Find two consecutive even numbers whose product is 360.

英語のヒント

積が360になる連続する二つの偶数を求めよ。

Solution解き方

Two consecutive even number are

−20

and

−18

and 18 and 20.

英語のヒント

連続する二つの偶数は、

−20

と

−18

、および18と20である。

Exercise 334問題 334

The length of a diagonal of a rectangle is three more than the width. The length of the rectangle is three times the width. Find the length of the diagonal. (Round to the nearest tenth.)

英語のヒント

長方形の対角線の長さは幅より3長い。長方形の長さは幅の3倍である。対角線の長さを求めよ。（小数第1位に四捨五入せよ。）

Exercises 335–339練習問題 335–339

For each parabola, find ⓐ which ways it opens, ⓑ the axis of symmetry, ⓒ the vertex, ⓓ the x- and y-intercepts, and ⓔ the maximum or minimum value.

英語のヒント

それぞれの放物線について、ⓐ 開く向き、ⓑ 対称軸、ⓒ 頂点、ⓓ x軸とy軸との交点、ⓔ 最大値または最小値を求めよ。

Exercise 335問題 335

y = 3 x^{2} + 6 x + 8

Solution解き方

ⓐ up ⓑ

x = −1

ⓒ

(−1, 5)

ⓓ

y : (0, 8); x : none

ⓔ minimum value of 5 when

x = −1

英語のヒント

ⓐ 上向き ⓑ

x = −1

ⓒ

(−1, 5)

ⓓ

y : (0, 8); x : なし

ⓔ

x = −1

のとき最小値5

Exercise 336問題 336

y = x^{2} - 4

Exercise 337問題 337

y = x^{2} + 10 x + 24

Solution解き方

ⓐ up ⓑ

x = −5

ⓒ

(−5, −1)

ⓓ

y; (0, 24); x : (−6, 0), (−4, 0)

ⓔ minimum value of

−1

when

x = −5

英語のヒント

ⓐ 上向き ⓑ

x = −5

ⓒ

(−5, −1)

ⓓ

y; (0, 24); x : (−6, 0), (−4, 0)

ⓔ

x = −5

のとき最小値

−1

Exercise 338問題 338

y = −3 x^{2} + 12 x - 8

Exercise 339問題 339

y = − x^{2} - 8 x + 16

Solution解き方

ⓐ down ⓑ

x = −4

ⓒ

(−4, 32)

ⓓ

y; (0, 16); x : (−9.7, 0), (1.7, 0)

ⓔ maximum value of

32

when

x = −4

英語のヒント

ⓐ 下向き ⓑ

x = −4

ⓒ

(−4, 32)

ⓓ

y; (0, 16); x : (−9.7, 0), (1.7, 0)

ⓔ

x = −4

のとき最大値

32

Exercises 340–341練習問題 340–341

Graph the following parabolas by using intercepts, the vertex, and the axis of symmetry.

英語のヒント

座標軸との交点、頂点、対称軸を使って、次の放物線のグラフを描け。

Exercise 340問題 340

y = 2 x^{2} + 6 x + 2

Exercise 341問題 341

y = 16 x^{2} + 24 x + 9

Solution解き方

y : (0, 9); x : (- \frac{3}{4}, 0);

axis:

x = - \frac{3}{4}; vertex : (- \frac{3}{4}, 0)

英語のヒント

y : (0, 9); x : (- \frac{3}{4}, 0);

軸：

x = - \frac{3}{4}; 頂点 : (- \frac{3}{4}, 0)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (3/4, 0) と、座標軸との交点 (0, 9) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝3/4 で頂点を通っている。

Exercises 342練習問題 342

Solve.

英語のヒント

解く。

Exercise 342問題 342

A water balloon is launched upward at the rate of 86 ft/sec. Using the formula

h = −16 t^{2} + 86 t

, find how long it will take the balloon to reach the maximum height and then find the maximum height. Round to the nearest tenth.

英語のヒント

水風船を上向きに86フィート毎秒で打ち上げる。公式

h = −16 t^{2} + 86 t

を使い、水風船が最高点に達するまでの時間を求め、その最高高度を求めよ。小数第1位に四捨五入せよ。

axis of symmetry

対称軸

The axis of symmetry is the vertical line passing through the middle of the parabola

y = a x^{2} + b x + c .

英語のヒント

対称軸とは、放物線

y = a x^{2} + b x + c

の中央を通る垂直な直線である。

parabola

放物線

The graph of a quadratic equation in two variables is a parabola.

英語のヒント

2変数の二次方程式のグラフは放物線である。

quadratic equation in two variables

2変数の二次方程式

A quadratic equation in two variables, where

a, b, and c

are real numbers and

a \neq 0

is an equation of the form

y = a x^{2} + b x + c .

英語のヒント

a, b, および c

が実数で

a \neq 0

のとき、2変数の二次方程式とは

y = a x^{2} + b x + c

の形の方程式である。

vertex

頂点

The point on the parabola that is on the axis of symmetry is called the vertex of the parabola; it is the lowest or highest point on the parabola, depending on whether the parabola opens upwards or downwards.

英語のヒント

放物線上にあり対称軸上にもある点を、放物線の頂点と呼ぶ。放物線が上向きに開くか下向きに開くかに応じて、それは放物線上の最も低い点か最も高い点になる。

x-intercepts of a parabola

放物線のx軸との交点

The x-intercepts are the points on the parabola where

y = 0 .

英語のヒント

x軸との交点とは、放物線上で

y = 0

となる点のことである。

y-intercept of a parabola

放物線のy軸との交点

The y-intercept is the point on the parabola where

x = 0 .

英語のヒント

y軸との交点とは、放物線上で

x = 0

となる点のことである。