第10章二次方程式

10.4 Solve Applications Modeled by Quadratic Equations10.4　二次方程式でモデル化される応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

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この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve applications modeled by Quadratic Equations
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二次方程式で表される応用問題を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Solve Applications of the Quadratic Formula解の公式の応用問題を解く

We solved some applications that are modeled by quadratic equations earlier, when the only method we had to solve them was factoring. Now that we have more methods to solve quadratic equations, we will take another look at applications. To get us started, we will copy our usual Problem Solving Strategy here so we can follow the steps.

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以前、二次方程式を解く方法として因数分解しか知らなかったときに、二次方程式で表される応用問題をいくつか解いた。二次方程式を解く方法が増えたので、もう一度応用問題を見てみよう。まず、手順に沿って進められるよう、いつもの問題解決の方針をここにも載せる。

Use the problem solving strategy.問題解決の方針を使う。

Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.
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問題を読む。すべての言葉と考え方を理解していることを確かめる。
Identify what we are looking for.
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何を求めるのかを明確にする。
Name what we are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
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求めるものを文字で表す。その量を表す変数を選ぶ。
Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with all the important information. Then, translate the English sentence into an algebra equation.
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方程式に表す。重要な情報をすべて含む1文に言い直すと役立つことがある。その後、その文を方程式に表す。
Solve the equation using good algebra techniques.
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適切な代数の手順を使って方程式を解く。
Check the answer in the problem and make sure it makes sense.
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答えを問題に戻して確かめ、筋が通っていることを確認する。
Answer the question with a complete sentence.
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完全な文で問いに答える。

We have solved number applications that involved consecutive even integers and consecutive odd integers by modeling the situation with linear equations. Remember, we noticed each even integer is 2 more than the number preceding it. If we call the first one n, then the next one is

n + 2

. The next one would be

n + 2 + 2

n + 4

. This is also true when we use odd integers. One set of even integers and one set of odd integers are shown below.

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連続する偶数や連続する奇数を含む数の応用問題では、状況を一次方程式で表して解いてきた。偶数は一つ前の偶数より2大きいと気づいたことを思い出そう。最初の偶数を n とすれば、次は

n + 2

である。その次は

n + 2 + 2

、つまり

n + 4

になる。奇数でも同じことが成り立つ。偶数の組と奇数の組を一つずつ下に示す。

\begin{matrix} Consecutive even integers & Consecutive odd integers \\ 64, 66, 68 & 77, 79, 81 \\ \begin{matrix} n & 1^{st} even integer \\ n + 2 & 2^{nd} consecutive even integer \\ n + 4 & 3^{rd} consecutive even integer \end{matrix} & \begin{matrix} n & 1^{st} odd integer \\ n + 2 & 2^{nd} consecutive odd integer \\ n + 4 & 3^{rd} consecutive odd integer \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} 連続する偶数 & 連続する奇数 \\ 64, 66, 68 & 77, 79, 81 \\ \begin{matrix} n & 1^{番目の} 偶数 \\ n + 2 & 2^{番目の} 連続する偶数 \\ n + 4 & 3^{番目の} 連続する偶数 \end{matrix} & \begin{matrix} n & 1^{番目の} 奇数 \\ n + 2 & 2^{番目の} 連続する奇数 \\ n + 4 & 3^{番目の} 連続する奇数 \end{matrix} \end{matrix}

Some applications of consecutive odd integers or consecutive even integers are modeled by quadratic equations. The notation above will be helpful as you name the variables.

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連続する奇数や連続する偶数の応用問題の中には、二次方程式で表されるものがある。変数を定めるときには、上の表し方が役に立つ。

Example 10.38例題 10.38

The product of two consecutive odd integers is 195. Find the integers.

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連続する二つの奇数の積は195である。その整数を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。		We are looking for two consecutive odd integers. 連続する二つの奇数を求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。		Let $n =$ the first odd integer. $n + 2 =$ the next odd integer $n =$ 最初の奇数、 $n + 2 =$ 次の奇数とする。
Step 4. Translate into an equation. State the problem in one sentence. 手順4．方程式に表す。問題を一つの文で述べる。		"The product of two consecutive odd integers is 195." The product of the first odd integer and the second odd integer is 195. 「連続する二つの奇数の積は195である。」最初の奇数と二番目の奇数の積は195である。
Translate into an equation 方程式に表す。
Step 5. Solve the equation. Distribute. 手順5．方程式を解く。分配法則を使う。
Subtract 195 to get the equation in standard form. 195を引き、方程式を標準形にする。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the quadratic equation. 二次方程式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c.. そして a、b、c の値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Solve each equation. それぞれの方程式を解く。
There are two values of n that are solutions. This will give us two pairs of consecutive odd integers for our solution. 解となる n の値は二つある。したがって、答えとなる連続する奇数の組は二組得られる。		First odd integer $n = 13$ next odd integer $n + 2$ $13 + 2$ $15$ 最初の奇数 $n = 13$ 次の奇数 $n + 2$ $13 + 2$ $15$
		First odd integer $n = −15$ next odd integer $n + 2$ $−15 + 2$ $−13$ 最初の奇数 $n = −15$ 次の奇数 $n + 2$ $−15 + 2$ $−13$
Step 6. Check the answer. Do these pairs work? Are they consecutive odd integers? Is their product 195? 手順6．答えを確かめる。これらの組は条件に合うか。連続する奇数か。その積は195か。		$\begin{matrix} 13, 15, yes & −13, −15, yes \\ 13 \cdot 15 = 195, yes & −13 (−15) = 195, yes \end{matrix}$ $\begin{matrix} 13, 15, はい & −13, −15, はい \\ 13 \cdot 15 = 195, はい & −13 (−15) = 195, はい \end{matrix}$
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The two consecutive odd integers whose product is 195 are 13, 15, and −13, −15. 積が195になる連続する二つの奇数は、13と15、および−13と−15である。

Try It (2)確認問題（2題）

We will use the formula for the area of a triangle to solve the next example.

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次の例では、三角形の面積の公式を使って解く。

Recall that, when we solve geometry applications, it is helpful to draw the figure.

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図形の応用問題を解くときは、図を描くと役立つことを思い出そう。

Example 10.39例題 10.39

An architect is designing the entryway of a restaurant. She wants to put a triangular window above the doorway. Due to energy restrictions, the window can have an area of 120 square feet and the architect wants the width to be 4 feet more than twice the height. Find the height and width of the window.

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建築家がレストランの入口を設計している。戸口の上に三角形の窓を設けたいと考えている。エネルギー上の制約により、窓の面積は120平方フィートまでとし、幅を高さの2倍より4フィート長くしたいと考えている。窓の高さと幅を求めよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw a picture. 手順1．問題を読む。図を描く。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。		We are looking for the height and width. 高さと幅を求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。		Let $h =$ the height of the triangle. $2 h + 4 =$ the width of the triangle $h =$ 三角形の高さ、 $2 h + 4 =$ 三角形の幅とする。
Step 4. Translate. 手順4．置き換える。		We know the area. Write the formula for the area of a triangle. 面積がわかっている。三角形の面積の公式を書く。
Step 5. Solve the equation. Substitute in the values. 手順5．方程式を解く。値を代入する。
Distribute. 分配法則を使う。
This is a quadratic equation, rewrite it in standard form. これは二次方程式なので、標準形に書き換える。
Solve the equation using the Quadratic Formula. Identify the a, b, c values. 解の公式を使って方程式を解く。a、b、c の値を特定する。
Write the quadratic equation. 二次方程式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c.. そして a、b、c の値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Since h is the height of a window, a value of $h = − 12$ does not make sense. h は窓の高さなので、 $h = − 12$ という値は意味をなさない。
		The height of the triangle: $h = 10$ The width of the triangle: $2 h + 4$ $2 \cdot 10 + 4$ $24$ 三角形の高さ： $h = 10$ 三角形の幅： $2 h + 4$ $2 \cdot 10 + 4$ $24$
Step 6. Check the answer. Does a triangle with a height 10 and width 24 have area 120? Yes. 手順6．答えを確かめる。高さ10、幅24の三角形の面積は120になるか。なる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The height of the triangular window is 10 feet and the width is 24 feet. 三角形の窓の高さは10フィート、幅は24フィートである。

Notice that the solutions were integers. That tells us that we could have solved the equation by factoring.

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解が整数だったことに注目しよう。このことから、因数分解でも方程式を解けたとわかる。

When we wrote the equation in standard form,

h^{2} + 2 h - 120 = 0

, we could have factored it. If we did, we would have solved the equation

(h + 12) (h - 10) = 0

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方程式を標準形

h^{2} + 2 h - 120 = 0

に書いた時点で、因数分解することもできた。そうすれば、方程式

(h + 12) (h - 10) = 0

を解くことになっていた。

Try It (2)確認問題（2題）

In the two preceding examples, the number in the radical in the Quadratic Formula was a perfect square and so the solutions were rational numbers. If we get an irrational number as a solution to an application problem, we will use a calculator to get an approximate value.

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直前の二つの例では、解の公式の根号の中の数が完全平方数だったため、解は有理数だった。応用問題の解として無理数が得られた場合には、電卓を使って近似値を求める。

The Pythagorean Theorem gives the relation between the legs and hypotenuse of a right triangle. We will use the Pythagorean Theorem to solve the next example.

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三平方の定理は、直角三角形の直角を挟む2辺と斜辺の関係を表す。次の例では三平方の定理を使って解く。

Example 10.40例題 10.40

Rene is setting up a holiday light display. He wants to make a ‘tree’ in the shape of two right triangles, as shown below, and has two 10-foot strings of lights to use for the sides. He will attach the lights to the top of a pole and to two stakes on the ground. He wants the height of the pole to be the same as the distance from the base of the pole to each stake. How tall should the pole be?

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ルネは祝日のイルミネーションを準備している。下の図のように、二つの直角三角形の形をした「木」を作りたいと考えており、両側に使う10フィートの電飾を2本持っている。電飾を支柱の頂部と地面の2本の杭に取り付ける。支柱の高さを、支柱の根元からそれぞれの杭までの距離と同じにしたい。支柱の高さをいくらにすればよいか。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw a picture. 手順1．問題を読む。図を描く。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。		We are looking for the height of the pole. 支柱の高さを求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。		The distance from the base of the pole to either stake is the same as the height of the pole. Let $x =$ the height of the pole. $x =$ the distance from the pole to stake 支柱の根元からどちらの杭までの距離も、支柱の高さと同じである。 $x =$ 支柱の高さ、 $x =$ 支柱から杭までの距離とする。
Each side is a right triangle. We draw a picture of one of them. 両側はそれぞれ直角三角形である。その一方の図を描く。
Step 4. Translate into an equation. We can use the Pythagorean Theorem to solve for x. 手順4．方程式に表す。三平方の定理を使って x について解ける。
Write the Pythagorean Theorem. 三平方の定理を書く。		$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Step 5. Solve the equation. Substitute. 手順5．方程式を解く。代入する。		$x^{2} + x^{2} = 10^{2}$
Simplify. 簡単にする。		$2 x^{2} = 100$
Divide by 2 to isolate the variable. 2で割り、変数だけにする。		$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{100}{2}$
Simplify. 簡単にする。		$x^{2} = 50$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。		$x = \pm \sqrt{50}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。		$x = \pm 5 \sqrt{2}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。		$x = 5 \sqrt{2}$ $x = − 5 \sqrt{2}$
Approximate this number to the nearest tenth with a calculator. 電卓を使い、この数を小数第1位までの近似値にする。		$x \approx 7.1$
Step 6. Check the answer. Check on your own in the Pythagorean Theorem. 手順6．答えを確かめる。三平方の定理に代入し、自分で確かめよう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The pole should be about 7.1 feet tall. 支柱の高さは約7.1フィートにすればよい。

Try It (2)確認問題（2題）

Question 1問題 1

The sun casts a shadow from a flag pole. The height of the flag pole is three times the length of its shadow. The distance between the end of the shadow and the top of the flag pole is 20 feet. Find the length of the shadow and the length of the flag pole. Round to the nearest tenth of a foot.

英語のヒント

太陽の光で旗竿の影ができている。旗竿の高さは影の長さの3倍である。影の先端から旗竿の頂部までの距離は20フィートである。影の長さと旗竿の長さを求めよ。小数第1位のフィート数に四捨五入せよ。

Solution解答

The length of the shadow is 6.3 feet and the length of the flag pole is 18.9 ft.

英語のヒント

影の長さは6.3フィート、旗竿の長さは18.9フィートである。

Example 10.41例題 10.41

Mike wants to put 150 square feet of artificial turf in his front yard. This is the maximum area of artificial turf allowed by his homeowners association. He wants to have a rectangular area of turf with length one foot less than three times the width. Find the length and width. Round to the nearest tenth of a foot.

英語のヒント

マイクは前庭に150平方フィートの人工芝を敷きたいと考えている。これは住宅所有者組合が認める人工芝の最大面積である。長さが幅の3倍より1フィート短い長方形の芝生にしたい。長さと幅を求めよ。小数第1位のフィート数に四捨五入せよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. Draw a picture. 手順1．問題を読む。図を描く。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。		We are looking for the length and width. 長さと幅を求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。		Let $w =$ the width of the rectangle. $3 w - 1 =$ the length of the rectangle $w =$ 長方形の幅、 $3 w - 1 =$ 長方形の長さとする。
Step 4. Translate into an equation. We know the area. Write the formula for the area of a rectangle. 手順4．方程式に表す。面積がわかっている。長方形の面積の公式を書く。
Step 5. Solve the equation. Substitute in the values. 手順5．方程式を解く。値を代入する。
Distribute. 分配法則を使う。
This is a quadratic equation, rewrite it in standard form. これは二次方程式なので、標準形に書き換える。
Solve the equation using the Quadratic Formula. 解の公式を使って方程式を解く。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Approximate the answers using a calculator. We eliminate the negative solution for the width. 電卓を使って答えの近似値を求める。幅の負の解は除く。
Step 6. Check the answer. Make sure that the answers make sense. 手順6．答えを確かめる。答えが意味をなすか確かめる。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The width of the rectangle is approximately 7.2 feet and the length 20.6 feet. 長方形の幅は約7.2フィート、長さは約20.6フィートである。

Try It (2)確認問題（2題）

The height of a projectile shot upwards is modeled by a quadratic equation. The initial velocity,

v_{0}

, propels the object up until gravity causes the object to fall back down.

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上向きに打ち出された物体の高さは二次方程式で表される。初速度

v_{0}

によって物体は上昇し、やがて重力によって落下する。

We can use the formula for projectile motion to find how many seconds it will take for a firework to reach a specific height.

英語のヒント

投射体の運動の公式を使うと、花火が特定の高さに達するまでに何秒かかるかを求められる。

Example 10.42例題 10.42

A firework is shot upwards with initial velocity 130 feet per second. How many seconds will it take to reach a height of 260 feet? Round to the nearest tenth of a second.

英語のヒント

花火を初速度130フィート毎秒で上向きに打ち上げる。高さ260フィートに達するまでに何秒かかるか。小数第1位の秒数に四捨五入せよ。

Solution解答

Step 1. Read the problem. 手順1　問題を読む。
Step 2. Identify what we are looking for. 手順2．何を求めるのかを明確にする。		We are looking for the number of seconds, which is time. 秒数、つまり時間を求める。
Step 3. Name what we are looking for. 手順3．求めるものを文字で表す。		Let $t =$ the number of seconds. $t =$ 秒数とする。
Step 4. Translate into an equation. 手順4．方程式に表す。		Use the formula. 公式を使う。
		$h = −16 t^{2} + v_{0} t$
Step 5. Solve the equation. We know the velocity $v_{0}$ is 130 feet per second. 手順5．方程式を解く。速度 $v_{0}$ は130フィート毎秒だとわかっている。
The height is 260 feet. Substitute the values. 高さは260フィートである。値を代入する。
This is a quadratic equation, rewrite it in standard form. これは二次方程式なので、標準形に書き換える。
Solve the equation using the Quadratic Formula. 解の公式を使って方程式を解く。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Approximate the answers with a calculator. 電卓を使って答えの近似値を求める。		$t \approx 4.6$ seconds, $t \approx 3.6$ $t \approx 4.6$ 秒、 $t \approx 3.6$
Step 6. Check the answer. The check is left to you. 手順6．答えを確かめる。確認は自分で行おう。
Step 7. Answer the question. 手順7　問いに答える。		The firework will go up and then fall back down. As the firework goes up, it will reach 260 feet after approximately 3.6 seconds. It will also pass that height on the way down at 4.6 seconds. 花火は上昇した後、落下する。上昇中には約3.6秒後に260フィートに達する。落下中の4.6秒後にも、その高さを通過する。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

第10章二次方程式

10.4 Solve Applications Modeled by Quadratic Equations10.4 二次方程式でモデル化される応用問題を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Applications of the Quadratic Formula解の公式の応用問題を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

10.4 Solve Applications Modeled by Quadratic Equations10.4　二次方程式でモデル化される応用問題を解く