第10章二次方程式

Solve Quadratic Equations of the form ax² + bx + c = 0 by completing the square平方完成によってax² + bx + c = 0の形の二次方程式を解く

The process of completing the square works best when the leading coefficient is one, so the left side of the equation is of the form

x^{2} + b x + c

. If the

x^{2}

term has a coefficient, we take some preliminary steps to make the coefficient equal to one.

英語のヒント

平方完成は、最高次の係数が1で、左辺が

x^{2} + b x + c

の形の場合に最も使いやすい。

x^{2}

の項に係数がある場合は、前もっていくつかの操作をして係数を1にする。

Sometimes the coefficient can be factored from all three terms of the trinomial. This will be our strategy in the next example.

英語のヒント

その係数を三項式の3項すべてからくくり出せる場合もある。次の例ではこの方針を使う。

Example 10.25例題 10.25

Solve

3 x^{2} - 12 x - 15 = 0

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

3 x^{2} - 12 x - 15 = 0

を解け。

Solution解答

To complete the square, we need the coefficient of

x^{2}

to be one. If we factor out the coefficient of

x^{2}

as a common factor, we can continue with solving the equation by completing the square.

英語のヒント

平方完成するには、

x^{2}

の係数を1にする必要がある。

x^{2}

の係数を共通因子としてくくり出せば、平方完成による解法を続けられる。


Factor out the greatest common factor. 最大公約因子をくくり出す。
Divide both sides by 3 to isolate the trinomial. 三項式を単独にするため、両辺を3で割る。
Simplify. 簡単にする。
Subtract 5 to get the constant terms on the right. 定数項を右辺に集めるため、5を引く。
Take half of 4 and square it. $(\frac{1}{2} (4))^{2} = 4$ 4の半分を平方する。 $(\frac{1}{2} (4))^{2} = 4$
Add 4 to both sides. 両辺に4を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Solve for x. xについて解く。
Rewrite to show 2 solutions. 二つの解が分かるように書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

To complete the square, the leading coefficient must be one. When the leading coefficient is not a factor of all the terms, we will divide both sides of the equation by the leading coefficient. This will give us a fraction for the second coefficient. We have already seen how to complete the square with fractions in this section.

英語のヒント

平方完成には最高次の係数が1でなければならない。その係数がすべての項の因子でないときは、方程式の両辺を最高次の係数で割る。すると第2項の係数は分数になる。この節では、分数を含む平方完成もすでに見た。

Example 10.26例題 10.26

Solve

2 x^{2} - 3 x = 20

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

2 x^{2} - 3 x = 20

を解け。

Solution解答

Again, our first step will be to make the coefficient of

x^{2}

be one. By dividing both sides of the equation by the coefficient of

x^{2}

, we can then continue with solving the equation by completing the square.

英語のヒント

ここでも最初の手順は、

x^{2}

の係数を1にすることである。方程式の両辺を

x^{2}

の係数で割れば、平方完成による解法を続けられる。


Divide both sides by 2 to get the coefficient of $x^{2}$ to be 1. $x^{2}$ の係数を1にするため、両辺を2で割る。
Simplify. 簡単にする。
Take half of $- \frac{3}{2}$ and square it. $(\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}))^{2} = \frac{9}{16}$ $- \frac{3}{2}$ の半分を2乗する。 $(\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}))^{2} = \frac{9}{16}$
Add $\frac{9}{16}$ to both sides. 両辺に $\frac{9}{16}$ を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Add the fractions on the right side. 右辺の分数を足す。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Solve for x. xについて解く。
Rewrite to show 2 solutions. 二つの解が分かるように書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Check. We leave the check for you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.27例題 10.27

Solve

3 x^{2} + 2 x = 4

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

3 x^{2} + 2 x = 4

を解け。

Solution解答

Again, our first step will be to make the coefficient of

x^{2}

be one. By dividing both sides of the equation by the coefficient of

x^{2}

, we can then continue with solving the equation by completing the square.

英語のヒント

ここでも最初の手順は、

x^{2}

の係数を1にすることである。方程式の両辺を

x^{2}

の係数で割れば、平方完成による解法を続けられる。


Divide both sides by 3 to make the coefficient of $x^{2}$ equal 1. $x^{2}$ の係数を1にするため、両辺を3で割る。
Simplify. 簡単にする。
Take half of $\frac{2}{3}$ and square it. $(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ $\frac{2}{3}$ の半分を2乗する。 $(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})^{2} = \frac{1}{9}$
Add $\frac{1}{9}$ to both sides. 両辺に $\frac{1}{9}$ を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Solve for x. xについて解く。
Rewrite to show 2 solutions. 二つの解が分かるように書き直す。
Check. We leave the check for you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Binomial Squares Pattern If $a, b$ are real numbers,
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
英語のヒント
二項式の平方の公式 $a, b$ が実数なら、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
Complete a Square
To complete the square of $x^{2} + b x$ :
英語のヒント
平方完成 $x^{2} + b x$ を平方完成するには：
1. Identify $b$ , the coefficient of $x$ .
  英語のヒント
  $x$ の係数 $b$ を確認する。
2. Find ${(\frac{1}{2} b)}^{2}$ , the number to complete the square.
  英語のヒント
  平方完成するための数 ${(\frac{1}{2} b)}^{2}$ を求める。
3. Add the ${(\frac{1}{2} b)}^{2}$ to $x^{2} + b x$ .
  英語のヒント
  $x^{2} + b x$ に ${(\frac{1}{2} b)}^{2}$ を足す。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 57–68練習問題 57–68

Complete the Square of a Binomial Expression

英語のヒント

二項式を平方完成する

In the following exercises, complete the square to make a perfect square trinomial. Then, write the result as a binomial squared.

英語のヒント

次の各問で、平方完成して完全平方の三項式を作れ。その後、結果を二項式の平方として書け。

Exercise 57問題 57

a^{2} + 10 a

Solution解き方

{(a + 5)}^{2}

Exercise 58問題 58

b^{2} + 12 b

Exercise 59問題 59

m^{2} + 18 m

Solution解き方

{(m + 9)}^{2}

Exercise 60問題 60

n^{2} + 16 n

Exercise 61問題 61

m^{2} - 24 m

Solution解き方

{(m - 12)}^{2}

Exercise 62問題 62

n^{2} - 16 n

Exercise 63問題 63

p^{2} - 22 p

Solution解き方

{(p - 11)}^{2}

Exercise 64問題 64

q^{2} - 6 q

Exercise 65問題 65

x^{2} - 9 x

Solution解き方

{(x - \frac{9}{2})}^{2}

Exercise 66問題 66

y^{2} + 11 y

Exercise 67問題 67

p^{2} - \frac{1}{3} p

Solution解き方

{(p - \frac{1}{6})}^{2}

Exercise 68問題 68

q^{2} + \frac{3}{4} q

Exercises 69–88練習問題 69–88

Solve Quadratic Equations of the Form

x^{2} + b x + c = 0

by Completing the Square

英語のヒント

平方完成によって

x^{2} + b x + c = 0

の形の二次方程式を解く

In the following exercises, solve by completing the square.

英語のヒント

次の各問で、平方完成によって解け。

Exercise 69問題 69

v^{2} + 6 v = 40

Solution解き方

v = −10, v = 4

Exercise 70問題 70

w^{2} + 8 w = 65

Exercise 71問題 71

u^{2} + 2 u = 3

Solution解き方

u = −3, u = 1

Exercise 72問題 72

z^{2} + 12 z = −11

Exercise 73問題 73

c^{2} - 12 c = 13

Solution解き方

c = −1, c = 13

Exercise 74問題 74

d^{2} - 8 d = 9

Exercise 75問題 75

x^{2} - 20 x = 21

Solution解き方

x = −1, x = 21

Exercise 76問題 76

y^{2} - 2 y = 8

Exercise 77問題 77

m^{2} + 4 m = −44

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 78問題 78

n^{2} - 2 n = −3

Exercise 79問題 79

r^{2} + 6 r = −11

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 80問題 80

t^{2} - 14 t = −50

Exercise 81問題 81

a^{2} - 10 a = −5

Solution解き方

a = 5 \pm 2 \sqrt{5}

Exercise 82問題 82

b^{2} + 6 b = 41

Exercise 83問題 83

u^{2} - 14 u + 12 = −1

Solution解き方

u = 1, u = 13

Exercise 84問題 84

z^{2} + 2 z - 5 = 2

Exercise 85問題 85

v^{2} = 9 v + 2

Solution解き方

v = \frac{9}{2} \pm \frac{\sqrt{89}}{2}

Exercise 86問題 86

w^{2} = 5 w - 1

Exercise 87問題 87

(x + 6) (x - 2) = 9

Solution解き方

x = −7, x = 3

Exercise 88問題 88

(y + 9) (y + 7) = 79

Exercises 89–94練習問題 89–94

Solve Quadratic Equations of the Form

a x^{2} + b x + c = 0

by Completing the Square

英語のヒント

平方完成によって

a x^{2} + b x + c = 0

の形の二次方程式を解く

In the following exercises, solve by completing the square.

英語のヒント

次の各問で、平方完成によって解け。

Exercise 89問題 89

3 m^{2} + 30 m - 27 = 6

Solution解き方

m = −11, m = 1

Exercise 90問題 90

2 n^{2} + 4 n - 26 = 0

Exercise 91問題 91

2 c^{2} + c = 6

Solution解き方

c = −2, c = \frac{3}{2}

Exercise 92問題 92

3 d^{2} - 4 d = 15

Exercise 93問題 93

2 p^{2} + 7 p = 14

Solution解き方

p = - \frac{7}{4} \pm \frac{\sqrt{161}}{4}

Exercise 94問題 94

3 q^{2} - 5 q = 9

第10章二次方程式

Solve Quadratic Equations of the form ax2 + bx + c = 0 by completing the square平方完成によってax2 + bx + c = 0の形の二次方程式を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Key Concepts重要な概念

Practice Makes Perfect練習問題

Solve Quadratic Equations of the form ax² + bx + c = 0 by completing the square平方完成によってax² + bx + c = 0の形の二次方程式を解く