第10章二次方程式

Find the Intercepts of a Parabola放物線と座標軸との交点を求める

When we graphed linear equations, we often used the x- and y-intercepts to help us graph the lines. Finding the coordinates of the intercepts will help us to graph parabolas, too.

英語のヒント

一次方程式のグラフを描いたときは、x軸とy軸との交点をよく利用した。座標軸との交点の座標を求めることは、放物線を描くときにも役立つ。

Remember, at the y-intercept the value of

x

is zero. So, to find the y-intercept, we substitute

x = 0

into the equation.

英語のヒント

y軸との交点では

x

の値が0になることを思い出そう。したがって、y軸との交点を求めるには

x = 0

を方程式に代入する。

Let’s find the y-intercepts of the two parabolas shown in the figure below.

英語のヒント

下図の二つの放物線について、y軸との交点を求めよう。

二つのグラフを横に並べた図。左はxy座標平面に上向きに開く放物線を描いたグラフである。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点は (−2, −1) で、曲線上のほかの点は (−3, 0) と (−1, 0) にある。対称軸を表す垂直な破線が、x＝−2 で頂点を通っている。グラフの下には方程式 y＝x²＋4x＋3 がある。その下の「x＝0」の隣には、x に0を代入した方程式 y＝0²＋4×0＋3 があり、簡単にすると y＝3 になる。その下には「y軸との交点 (0, 3)」とある。右はxy座標平面に下向きに開く放物線を描いたグラフである。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点は (2, 7) で、曲線上のほかの点は (0, 3) と (4, 3) にある。対称軸を表す垂直な破線が、x＝2 で頂点を通っている。グラフの下には方程式 y＝−x²＋4x＋3 がある。その下の「x＝0」の隣には、x に0を代入した方程式 y＝−(0²)＋4×0＋3 があり、簡単にすると y＝3 になる。その下には「y軸との交点 (0, 3)」とある。 — Figure 10.5図 10.5

At an x-intercept, the value of

y

is zero. To find an x-intercept, we substitute

y = 0

into the equation. In other words, we will need to solve the equation

0 = a x^{2} + b x + c

for

x

英語のヒント

x軸との交点では

y

の値が0である。x軸との交点を求めるには、

y = 0

を方程式に代入する。つまり、方程式

0 = a x^{2} + b x + c

を

x

について解く必要がある。

\begin{matrix} y = a x^{2} + b x + c \\ 0 = a x^{2} + b x + c \end{matrix}

But solving quadratic equations like this is exactly what we have done earlier in this chapter.

英語のヒント

このような二次方程式を解くことは、まさにこの章ですでに行ってきたことである。

We can now find the x-intercepts of the two parabolas shown in Figure 10.5.

英語のヒント

これで、図10.5の二つの放物線のx軸との交点を求められる。

First, we will find the x-intercepts of a parabola with equation

y = x^{2} + 4 x + 3

英語のヒント

まず、方程式

y = x^{2} + 4 x + 3

の放物線のx軸との交点を求める。


Let $y = 0$ . $y = 0$ とする。
Factor. 因数分解する。
Use the zero product property. 積が0になる性質を使う。
Solve. 解く。
		The x intercepts are $(− 1, 0)$ and $(− 3, 0) .$ x軸との交点は $(− 1, 0)$ と $(− 3, 0)$ である。

Now, we will find the x-intercepts of the parabola with equation

y = - x^{2} + 4 x + 3

英語のヒント

次に、方程式

y = - x^{2} + 4 x + 3

の放物線のx軸との交点を求める。


Let $y = 0$ . $y = 0$ とする。
This quadratic does not factor, so we use the Quadratic Formula. この二次式は因数分解できないので、解の公式を使う。
$a = −1$ , $b = 4$ , $c = 3$
Simplify. 簡単にする。
		The x intercepts are $(2 + \sqrt{7}, 0)$ and $(2 - \sqrt{7}, 0)$ . x軸との交点は $(2 + \sqrt{7}, 0)$ と $(2 - \sqrt{7}, 0)$ である。

We will use the decimal approximations of the x-intercepts, so that we can locate these points on the graph.

英語のヒント

グラフ上でこれらの点の位置を定められるよう、x軸との交点には小数による近似値を使う。

\begin{matrix} (2 + \sqrt{7}, 0) \approx (4.6, 0) & (2 - \sqrt{7}, 0) \approx (−0.6, 0) \end{matrix}

Do these results agree with our graphs? See Figure 10.6.

英語のヒント

これらの結果はグラフと一致するだろうか。図10.6を参照。

二つのグラフを横に並べた図。左はxy座標平面に上向きに開く放物線を描いたグラフである。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点は (−2, −1) で、曲線上に (−3, 0)、(−1, 0)、(0, 3) の3点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線が x＝−2 で頂点を通る。グラフの下には方程式 y＝x²＋4x＋3、その下には「y軸との交点 (0, 3)」、さらに下には「x軸との交点 (−1, 0) と (−3, 0)」とある。右はxy座標平面に下向きに開く放物線を描いたグラフである。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点は (2, 7) で、曲線上に (−0.6, 0)、(4.6, 0)、(0, 3) の3点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線が x＝2 で頂点を通る。グラフの下には方程式 y＝−x²＋4x＋3、その下には「y軸との交点 (0, 3)」、さらに下には「x軸との交点 (2＋√7, 0)≒(4.6, 0)、(2−√7, 0)≒(−0.6, 0)」とある。 — Figure 10.6図 10.6

Example 10.46例題 10.46

Find the intercepts of the parabola

y = x^{2} - 2 x - 8

英語のヒント

放物線

y = x^{2} - 2 x - 8

と座標軸との交点を求めよ。

Solution解答


To find the y-intercept, let $x = 0$ and solve for y. y軸との交点を求めるには、 $x = 0$ として y について解く。
		When $x = 0$ , then $y = −8$ . The y-intercept is the point $(0, −8)$ . $x = 0$ のとき $y = −8$ である。y軸との交点は点 $(0, −8)$ である。

To find the x-intercept, let $y = 0$ and solve for x. x軸との交点を求めるには、 $y = 0$ として x について解く。
Solve by factoring. 因数分解によって解く。

When

y = 0

, then

x = 4 or x = −2

. The x-intercepts are the points

(4, 0)

and

(−2, 0)

英語のヒント

y = 0

のとき

x = 4 または x = −2

である。x軸との交点は点

(4, 0)

と

(−2, 0)

である。

Try It (2)確認問題（2題）

In this chapter, we have been solving quadratic equations of the form

a x^{2} + b x + c = 0

. We solved for

x

and the results were the solutions to the equation.

英語のヒント

この章では、

a x^{2} + b x + c = 0

の形の二次方程式を解いてきた。

x

について解いて得られた結果が、方程式の解だった。

We are now looking at quadratic equations in two variables of the form

y = a x^{2} + b x + c

. The graphs of these equations are parabolas. The x-intercepts of the parabolas occur where

y = 0

英語のヒント

ここでは、

y = a x^{2} + b x + c

の形の2変数の二次方程式を考えている。これらの方程式のグラフは放物線である。放物線のx軸との交点では

y = 0

となる。

For example:

英語のヒント

例えば、次のとおりである。

\begin{matrix} Quadratic equation & Quadratic equation in two variables \\ y = x^{2} - 2 x - 15 \\ \begin{matrix} x^{2} - 2 x - 15 & = & 0 \\ (x - 5) (x + 3) & = & 0 \end{matrix} & let y = 0 \begin{matrix} 0 = x^{2} - 2 x - 15 \\ 0 = (x - 5) (x + 3) \end{matrix} \\ \begin{matrix} x - 5 & = & 0 & x + 3 & = & 0 \\ x & = & 5 & x & = & −3 \end{matrix} & \begin{matrix} x - 5 & = & 0 & x + 3 & = & 0 \\ x & = & 5 & x & = & −3 \end{matrix} \\ (5, 0) and (−3, 0) \\ x -intercepts \end{matrix}

\begin{matrix} 二次方程式 & 2変数の二次方程式 \\ y = x^{2} - 2 x - 15 \\ \begin{matrix} x^{2} - 2 x - 15 & = & 0 \\ (x - 5) (x + 3) & = & 0 \end{matrix} & 次のように置く： y = 0 \begin{matrix} 0 = x^{2} - 2 x - 15 \\ 0 = (x - 5) (x + 3) \end{matrix} \\ \begin{matrix} x - 5 & = & 0 & x + 3 & = & 0 \\ x & = & 5 & x & = & −3 \end{matrix} & \begin{matrix} x - 5 & = & 0 & x + 3 & = & 0 \\ x & = & 5 & x & = & −3 \end{matrix} \\ (5, 0) および (−3, 0) \\ x 軸との交点 \end{matrix}

The solutions of the quadratic equation are the

x

values of the x-intercepts.

英語のヒント

二次方程式の解は、x軸との交点の

x

の値である。

Earlier, we saw that quadratic equations have 2, 1, or 0 solutions. The graphs below show examples of parabolas for these three cases. Since the solutions of the equations give the x-intercepts of the graphs, the number of x-intercepts is the same as the number of solutions.

英語のヒント

先に、二次方程式の解の個数は2個、1個、または0個になることを見た。下のグラフは、この三つの場合の放物線の例である。方程式の解からグラフのx軸との交点が得られるので、x軸との交点の個数は解の個数と同じである。

Previously, we used the discriminant to determine the number of solutions of a quadratic equation of the form

a x^{2} + b x + c = 0

. Now, we can use the discriminant to tell us how many x-intercepts there are on the graph.

英語のヒント

これまでは、判別式を使って

a x^{2} + b x + c = 0

の形の二次方程式の解の個数を判定していた。今度は、判別式を使ってグラフのx軸との交点がいくつあるかを知ることができる。

三つのグラフを横に並べた図。左端はxy座標平面に上向きに開く放物線を描いたグラフで、頂点は右下の象限にある。グラフの下には不等式 b²−4ac＞0、その下には「解は二つ」、さらに下には「x軸との交点は二つ」とある。中央はxy座標平面に下向きに開く放物線を描いたグラフで、頂点はx軸上にある。グラフの下には等式 b²−4ac＝0、その下には「解は一つ」、さらに下には「x軸との交点は一つ」とある。右端はxy座標平面に上向きに開く放物線を描いたグラフで、頂点は左上の象限にある。グラフの下には不等式 b²−4ac＜0、その下には「実数解なし」、さらに下には「x軸との交点なし」とある。

Before you start solving the quadratic equation to find the values of the x-intercepts, you may want to evaluate the discriminant so you know how many solutions to expect.

英語のヒント

x軸との交点の値を求めるために二次方程式を解き始める前に、判別式の値を求めておくと、解がいくつあるはずかがわかる。

Example 10.47例題 10.47

Find the intercepts of the parabola

y = 5 x^{2} + x + 4

英語のヒント

放物線

y = 5 x^{2} + x + 4

と座標軸との交点を求めよ。

Solution解答


To find the y-intercept, let $x = 0$ and solve for y. y軸との交点を求めるには、 $x = 0$ として y について解く。		When $x = 0$ , then $y = 4$ . The y-intercept is the point $(0, 4)$ . $x = 0$ のとき $y = 4$ である。y軸との交点は点 $(0, 4)$ である。

To find the x-intercept, let $y = 0$ and solve for x. x軸との交点を求めるには、 $y = 0$ として x について解く。
Find the value of the discriminant to predict the number of solutions and so x-intercepts. 判別式の値を求め、解の個数、したがってx軸との交点の個数を予測する。		$\begin{matrix} \begin{matrix} b^{2} & - & 4 a c \\ 1^{2} & - & 4 \cdot 5 \cdot 4 \\ 1 & - & 80 \end{matrix} \\ −79 \end{matrix}$
Since the value of the discriminant is negative, there is no real solution to the equation. 判別式の値が負なので、方程式には実数解がない。		There are no x-intercepts. x軸との交点はない。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.48例題 10.48

Find the intercepts of the parabola

y = 4 x^{2} - 12 x + 9

英語のヒント

放物線

y = 4 x^{2} - 12 x + 9

と座標軸との交点を求めよ。

Solution解答


To find the y-intercept, let $x = 0$ and solve for y. y軸との交点を求めるには、 $x = 0$ として y について解く。
		When $x = 0$ , then $y = 9$ . The y-intercept is the point $(0, 9)$ . $x = 0$ のとき $y = 9$ である。y軸との交点は点 $(0, 9)$ である。

To find the x-intercept, let $y = 0$ and solve for x. x軸との交点を求めるには、 $y = 0$ として x について解く。
Find the value of the discriminant to predict the number of solutions and so x-intercepts. 判別式の値を求め、解の個数、したがってx軸との交点の個数を予測する。		$\begin{matrix} \begin{matrix} b^{2} & - & 4 a c \\ 2^{2} & - & 4 \cdot 4 \cdot 9 \\ 144 & - & 144 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}$
		Since the value of the discriminant is 0, there is only one real solution to the equation. Therefore, there is only one x-intercept. 判別式の値が0なので、方程式の実数解は一つだけである。したがって、x軸との交点も一つだけである。
Solve the equation by factoring the perfect square trinomial. 完全平方の三項式を因数分解して、方程式を解く。
Use the Zero Product Property. 積が0になる性質を使う。
Solve for x. xについて解く。
		When $y = 0$ , then $\frac{3}{2} = x .$ $y = 0$ のとき、 $\frac{3}{2} = x$ である。
		The x-intercept is the point $(\frac{3}{2}, 0) .$ x軸との交点は点 $(\frac{3}{2}, 0)$ である。

Try It (2)確認問題（2題）