第10章二次方程式

Solve Maximum and Minimum Applications最大・最小の応用問題を解く

Knowing that the vertex of a parabola is the lowest or highest point of the parabola gives us an easy way to determine the minimum or maximum value of a quadratic equation. The y-coordinate of the vertex is the minimum y-value of a parabola that opens upward. It is the maximum y-value of a parabola that opens downward. See Figure 10.7.

英語のヒント

放物線の頂点が最も低い点か最も高い点になるとわかれば、二次方程式の最小値や最大値を簡単に求められる。上向きに開く放物線では、頂点のy座標が y の最小値である。下向きに開く放物線では、それが y の最大値である。図10.7を参照。

二つのグラフを横に並べた図。左はxy座標平面に下向きに開く放物線を描いたグラフで、頂点は右上の象限にあり、「最大」と付けられている。右はxy座標平面に上向きに開く放物線を描いたグラフで、頂点は右下の象限にあり、「最小」と付けられている。 — Figure 10.7図 10.7

Example 10.53例題 10.53

Find the minimum value of the quadratic equation

y = x^{2} + 2 x - 8

英語のヒント

二次方程式

y = x^{2} + 2 x - 8

の最小値を求めよ。

Solution解答


Since a is positive, the parabola opens upward. a が正なので、放物線は上向きに開く。
The quadratic equation has a minimum. この二次方程式には最小値がある。
Find the axis of symmetry. 対称軸を求める。		The axis of symmetry is $x = −1$ . 対称軸は $x = −1$ である。
The vertex is on the line $x = −1 .$ 頂点は直線 $x = −1$ 上にある。
Find y when $x = −1 .$ $x = −1$ のときの y を求める。		The vertex is $(−1, −9)$ . 頂点は $(−1, −9)$ である。
Since the parabola has a minimum, the y-coordinate of the vertex is the minimum y-value of the quadratic equation. 放物線には最小値があるので、頂点のy座標が二次方程式の y の最小値である。
The minimum value of the quadratic is $−9$ and it occurs when $x = −1$ . 二次式の最小値は $−9$ で、 $x = −1$ のときにその値を取る。
Show the graph to verify the result. グラフを示して結果を確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

We have used the formula

英語のヒント

これまで、次の公式を使ってきた。

h = −16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}

to calculate the height in feet,

h

, of an object shot upwards into the air with initial velocity,

v_{0}

, after

t

seconds.

英語のヒント

これは、初速度

v_{0}

で空中へ上向きに打ち出された物体の

t

秒後の高さ

h

（フィート）を計算するための公式である。

This formula is a quadratic equation in the variable

t

, so its graph is a parabola. By solving for the coordinates of the vertex, we can find how long it will take the object to reach its maximum height. Then, we can calculate the maximum height.

英語のヒント

この公式は変数

t

の二次方程式なので、そのグラフは放物線である。頂点の座標を求めれば、物体が最高点に達するまでにどれだけ時間がかかるかがわかる。そして、その最高高度を計算できる。

Example 10.54例題 10.54

The quadratic equation

h = −16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}

models the height of a volleyball hit straight upwards with velocity 176 feet per second from a height of 4 feet.

英語のヒント

二次方程式

h = −16 t^{2} + v_{0} t + h_{0}

は、高さ4フィートから速度176フィート毎秒で真上に打ち上げたバレーボールの高さを表す。

ⓐ How many seconds will it take the volleyball to reach its maximum height?
英語のヒント
ⓐ バレーボールが最高点に達するまでに何秒かかるか。
ⓑ Find the maximum height of the volleyball.
英語のヒント
ⓑ バレーボールの最高高度を求めよ。

Solution解答

h = −16 t^{2} + 176 t + 4

Since a is negative, the parabola opens downward.

英語のヒント

a が負なので、放物線は下向きに開く。

The quadratic equation has a maximum.

英語のヒント

この二次方程式には最大値がある。

ⓐ
$\begin{matrix} Find the axis of symmetry. & \begin{matrix} t = - \frac{b}{2 a} \\ t = - \frac{176}{2 (−16)} \\ t = 5.5 \end{matrix} \\ The axis of symmetry is t = 5.5 . \\ The vertex is on the line t = 5.5 . & The maximum occurs when t = 5.5 seconds. \end{matrix}$
ⓐ $\begin{matrix} 対称軸を求める。 & \begin{matrix} t = - \frac{b}{2 a} \\ t = - \frac{176}{2 (−16)} \\ t = 5.5 \end{matrix} \\ 対称軸： t = 5.5 . \\ 頂点がある直線： t = 5.5 . & 最大となる時刻： t = 5.5 秒。 \end{matrix}$

ⓑ

Find h when $t = 5.5$ . $t = 5.5$ のときの h を求める。
Use a calculator to simplify. 電卓を使って簡単にする。
		The vertex is $(5.5, 488)$ . 頂点は $(5.5, 488)$ である。
Since the parabola has a maximum, the h-coordinate of the vertex is the maximum y-value of the quadratic equation. 放物線には最大値があるので、頂点のh座標が二次方程式の y の最大値である。		The maximum value of the quadratic is 488 feet and it occurs when $t = 5.5$ seconds. 二次式の最大値は488フィートで、 $t = 5.5$ 秒のときにその値を取る。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

The graph of every quadratic equation is a parabola.
英語のヒント
どの二次方程式のグラフも放物線である。
Parabola Orientation For the quadratic equation $y = a x^{2} + b x + c$ , if
英語のヒント
放物線の向き二次方程式 $y = a x^{2} + b x + c$ について、
- $a > 0$ , the parabola opens upward.
  英語のヒント
  $a > 0$ なら、放物線は上向きに開く。
- $a < 0$ , the parabola opens downward.
  英語のヒント
  $a < 0$ なら、放物線は下向きに開く。
Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola For a parabola with equation $y = a x^{2} + b x + c$ :
英語のヒント
放物線の対称軸と頂点方程式が $y = a x^{2} + b x + c$ の放物線について、
- The axis of symmetry of a parabola is the line $x = - \frac{b}{2 a}$ .
  英語のヒント
  放物線の対称軸は直線 $x = - \frac{b}{2 a}$ である。
- The vertex is on the axis of symmetry, so its x-coordinate is $- \frac{b}{2 a}$ .
  英語のヒント
  頂点は対称軸上にあるので、そのx座標は $- \frac{b}{2 a}$ である。
- To find the y-coordinate of the vertex we substitute $x = - \frac{b}{2 a}$ into the quadratic equation.
  英語のヒント
  頂点のy座標を求めるには、 $x = - \frac{b}{2 a}$ を二次方程式に代入する。
Find the Intercepts of a Parabola To find the intercepts of a parabola with equation $y = a x^{2} + b x + c$ :
$\begin{matrix} y -intercept & x -intercepts \\ Let x = 0 and solve for y . & Let y = 0 and solve for x . \end{matrix}$
英語のヒント
放物線と座標軸との交点を求める方程式 $y = a x^{2} + b x + c$ の放物線と座標軸との交点を求めるには、次のようにする。 $\begin{matrix} y 軸との交点 & x 軸との交点 \\ 次のように置く： x = 0 として、次の変数について解く： y . & 次のように置く： y = 0 として、次の変数について解く： x . \end{matrix}$
To Graph a Quadratic Equation in Two Variables
英語のヒント
2変数の二次方程式のグラフを描くには
1. Write the quadratic equation with $y$ on one side.
  英語のヒント
  $y$ を片側に置いた形で二次方程式を書く。
2. Determine whether the parabola opens upward or downward.
  英語のヒント
  放物線が上向きに開くか下向きに開くかを判定する。
3. Find the axis of symmetry.
  英語のヒント
  対称軸を求める。
4. Find the vertex.
  英語のヒント
  頂点を求める。
5. Find the y-intercept. Find the point symmetric to the y-intercept across the axis of symmetry.
  英語のヒント
  y軸との交点を求める。その交点に対称軸を挟んで対称な点を求める。
6. Find the x-intercepts.
  英語のヒント
  x軸との交点を求める。
7. Graph the parabola.
  英語のヒント
  放物線を描く。
Minimum or Maximum Values of a Quadratic Equation
英語のヒント
二次方程式の最小値または最大値
- The y-coordinate of the vertex of the graph of a quadratic equation is the
  英語のヒント
  二次方程式のグラフの頂点のy座標は、
- minimum value of the quadratic equation if the parabola opens upward.
  英語のヒント
  放物線が上向きに開く場合、二次方程式の最小値である。
- maximum value of the quadratic equation if the parabola opens downward.
  英語のヒント
  放物線が下向きに開く場合、二次方程式の最大値である。