第10章二次方程式

10.3 Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula10.3　解の公式を使って二次方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve quadratic equations using the quadratic formula
英語のヒント
解の公式を使って二次方程式を解く
Use the discriminant to predict the number of solutions of a quadratic equation
英語のヒント
判別式を使って二次方程式の解の個数を予測する
Identify the most appropriate method to use to solve a quadratic equation
英語のヒント
二次方程式を解くために最も適した方法を選ぶ

Before You Begin (3)準備問題（3題）

When we solved quadratic equations in the last section by completing the square, we took the same steps every time. By the end of the exercise set, you may have been wondering ‘isn’t there an easier way to do this?’ The answer is ‘yes.’ In this section, we will derive and use a formula to find the solution of a quadratic equation.

英語のヒント

前節で平方完成によって二次方程式を解いたとき、毎回同じ手順を踏んだ。練習問題の終わりには、「もっと簡単な方法はないのか」と思っていたかもしれない。答えは「ある」だ。この節では、二次方程式の解を求める公式を導き、使っていく。

We have already seen how to solve a formula for a specific variable ‘in general’ so that we would do the algebraic steps only once and then use the new formula to find the value of the specific variable. Now, we will go through the steps of completing the square in general to solve a quadratic equation for x. It may be helpful to look at one of the examples at the end of the last section where we solved an equation of the form

a x^{2} + b x + c = 0

as you read through the algebraic steps below, so you see them with numbers as well as ‘in general.’

英語のヒント

特定の変数について公式を「一般的に」解く方法は、すでに学んだ。こうすれば、式の変形は一度だけ行い、あとは新しい公式を使ってその変数の値を求められる。ここでは平方完成の手順を一般的に行い、二次方程式を x について解く。以下の式の変形を読むときは、前節の終わりで

a x^{2} + b x + c = 0

の形の方程式を解いた例を一つ見返すとよい。「一般的な」形だけでなく、数値を使った形でも同じ手順を見られる。

We start with the standard form of a quadratic equation and solve it for x by completing the square. 二次方程式の標準形から始め、平方完成によって x について解く。	$a x^{2} + b x + c = 0 a \neq 0$
Isolate the variable terms on one side. 変数を含む項を片側にまとめる。	$\begin{matrix} a x^{2} + b x & = & − c \end{matrix}$
Make leading coefficient 1, by dividing by a. a で割り、最高次の項の係数を1にする。	$\begin{matrix} \frac{a x^{2}}{a} + \frac{b}{a} x & = & - \frac{c}{a} \end{matrix}$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} x^{2} + \frac{b}{a} x & = & - \frac{c}{a} \end{matrix}$
To complete the square, find ${(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a})}^{2}$ and add it to both sides of the equation. ${(\frac{1}{2} \frac{b}{a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$ 平方完成するために ${(\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{a})}^{2}$ を求め、方程式の両辺に加える。 ${(\frac{1}{2} \frac{b}{a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}}$	$\begin{matrix} x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} & = & - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \end{matrix}$
The left side is a perfect square, factor it. 左辺は完全平方なので、因数分解する。	$\begin{matrix} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = & - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \end{matrix}$
Find the common denominator of the right side and write equivalent fractions with the common denominator. 右辺の共通分母を求め、その分母を持つ等しい分数に書き換える。	$\begin{matrix} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = & \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c \cdot 4 a}{a \cdot 4 a} \end{matrix}$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = & \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{4 a c}{4 a^{2}} \end{matrix}$
Combine to one fraction. 一つの分数にまとめる。	$\begin{matrix} {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} & = & \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \end{matrix}$
Use the square root property. 平方根の性質を使う。	$\begin{matrix} x + \frac{b}{2 a} & = & \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \end{matrix}$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} x + \frac{b}{2 a} & = & \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$
Add $- \frac{b}{2 a}$ to both sides of the equation. 方程式の両辺に $- \frac{b}{2 a}$ を加える。	$\begin{matrix} x & = & - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$
Combine the terms on the right side. 右辺の項をまとめる。	$\begin{matrix} x & = & \frac{− b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$

This last equation is the Quadratic Formula.

英語のヒント

この最後の式が解の公式である。

To use the Quadratic Formula, we substitute the values of

a, b, and c

into the expression on the right side of the formula. Then, we do all the math to simplify the expression. The result gives the solution(s) to the quadratic equation.

英語のヒント

解の公式を使うには、

a, b, および c

の値を公式の右辺の式に代入する。そして計算をすべて行い、式を簡単にする。その結果が二次方程式の解になる。

Example 10.28例題 10.28

How to Solve a Quadratic Equation Using the Quadratic Formula解の公式を使って二次方程式を解く方法

Solve

2 x^{2} + 9 x - 5 = 0

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

2 x^{2} + 9 x - 5 = 0

を解け。

Solution解答

二次方程式 2x²＋9x−5＝0 を解く手順を示す図。手順1は、二次方程式を標準形に書き、a、b、c の値を特定することである。この方程式はすでに標準形になっている。a の値は2、b の値は9、c の値は−5である。

手順2は解の公式を書くことである。そして a、b、c の値を代入する。公式 x＝(−b±√(b²−4ac))/(2a) の a に2、b に9、c に−5を代入する。公式は x＝(−9±√((−9)²−4×2×(−5)))/(2×2) になる。

手順3は公式を簡単にすることである。−9を2乗し、掛け算を行うと、(−9±√(81−(−40)))/4 になる。さらに (−9±√121)/4、そして (−9±11)/4 に簡単になる。(−9＋11)/4 は 2/4 で、約分すると 1/2 になる。(−9−11)/4 は −20/4 で、約分すると−5になる。

手順4は、それぞれの答えを元の方程式に代入して解を確かめることである。2x²＋9x−5＝0 の x を 1/2 に置き換えると、2×(1/2)²＋9×(1/2)−5 になる。簡単にすると 1/2＋9/2−5 となり、0になる。2x²＋9x−5＝0 の x を−5に置き換えると、2×(−5)²＋9×(−5)−5 になる。簡単にすると 50−45−5 となり、0になる。

Try It (2)確認問題（2題）

If you say the formula as you write it in each problem, you’ll have it memorized in no time. And remember, the Quadratic Formula is an equation. Be sure you start with ‘

x =

’.

英語のヒント

問題ごとに公式を書きながら声に出せば、すぐに暗記できるだろう。解の公式は等式であることも忘れないようにしよう。必ず「

x =

」から書き始める。

Example 10.29例題 10.29

Solve

x^{2} - 6 x + 5 = 0

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

x^{2} - 6 x + 5 = 0

を解け。

Solution解答


This equation is in standard form. この方程式は標準形である。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

When we solved quadratic equations by using the Square Root Property, we sometimes got answers that had radicals. That can happen, too, when using the Quadratic Formula. If we get a radical as a solution, the final answer must have the radical in its simplified form.

英語のヒント

平方根の性質を使って二次方程式を解いたとき、根号を含む答えが得られることがあった。解の公式を使う場合にも、同じことが起こりうる。根号を含む解が得られたら、最後の答えでは根号の式を簡単にしておかなければならない。

Example 10.30例題 10.30

Solve

4 y^{2} - 5 y - 3 = 0

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

4 y^{2} - 5 y - 3 = 0

を解け。

Solution解答

We can use the Quadratic Formula to solve for the variable in a quadratic equation, whether or not it is named ‘x’.

英語のヒント

二次方程式の変数の名前が「x」であってもなくても、解の公式を使ってその変数について解くことができる。


This equation is in standard form. この方程式は標準形である。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Check. We leave the check to you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.31例題 10.31

Solve

2 x^{2} + 10 x + 11 = 0

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

2 x^{2} + 10 x + 11 = 0

を解け。

Solution解答


This equation is in standard form. この方程式は標準形である。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Factor out the common factor in the numerator. 分子から共通因数をくくり出す。
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Check. We leave the check to you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

We cannot take the square root of a negative number. So, when we substitute

a

b

, and

c

into the Quadratic Formula, if the quantity inside the radical is negative, the quadratic equation has no real solution. We will see this in the next example.

英語のヒント

負の数の平方根を求めることはできない。そのため、

a

、

b

、

c

を解の公式に代入したとき、根号の中の量が負なら、その二次方程式には実数解がない。次の例でこれを見てみよう。

Example 10.32例題 10.32

Solve

3 p^{2} + 2 p + 9 = 0

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

3 p^{2} + 2 p + 9 = 0

を解け。

Solution解答

This equation is in standard form. この方程式は標準形である。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
We cannot take the square root of a negative number. 負の数の平方根を取ることはできない。		There is no real solution. 実数解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

The quadratic equations we have solved so far in this section were all written in standard form,

a x^{2} + b x + c = 0

. Sometimes, we will need to do some algebra to get the equation into standard form before we can use the Quadratic Formula.

英語のヒント

この節でこれまで解いてきた二次方程式は、すべて標準形

a x^{2} + b x + c = 0

で書かれていた。解の公式を使う前に、式を変形して方程式を標準形にする必要がある場合もある。

Example 10.33例題 10.33

Solve

x (x + 6) + 4 = 0

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

x (x + 6) + 4 = 0

を解け。

Solution解答


Distribute to get the equation in standard form. 分配法則を使い、方程式を標準形にする。
This equation is now in standard form. これで方程式は標準形になった。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify inside the radical. 根号の中を簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Factor out the common factor in the numerator. 分子から共通因数をくくり出す。
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Check. We leave the check to you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

When we solved linear equations, if an equation had too many fractions we ‘cleared the fractions’ by multiplying both sides of the equation by the LCD. This gave us an equivalent equation—without fractions—to solve. We can use the same strategy with quadratic equations.

英語のヒント

一次方程式を解いたとき、分数が多すぎる方程式では、両辺に最小公分母を掛けて「分数を取り除いた」。これにより、分数のない同値な方程式を解けばよくなった。二次方程式にも同じ方法を使うことができる。

Example 10.34例題 10.34

Solve

\frac{1}{2} u^{2} + \frac{2}{3} u = \frac{1}{3}

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

\frac{1}{2} u^{2} + \frac{2}{3} u = \frac{1}{3}

を解け。

Solution解答


Multiply both sides by the LCD, 6, to clear the fractions. 両辺に最小公分母の6を掛け、分数を取り除く。
Multiply. 掛ける。
Subtract 2 to get the equation in standard form. 2を引き、方程式を標準形にする。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Factor out the common factor in the numerator. 分子から共通因数をくくり出す。
Remove the common factors. 共通の因数を取り除く。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Check. We leave the check to you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Think about the equation

{(x - 3)}^{2} = 0

. We know from the Zero Products Principle that this equation has only one solution:

x = 3

英語のヒント

方程式

{(x - 3)}^{2} = 0

について考えよう。積が0になる原理から、この方程式の解は

x = 3

の一つだけだとわかる。

We will see in the next example how using the Quadratic Formula to solve an equation with a perfect square also gives just one solution.

英語のヒント

完全平方を含む方程式を解の公式で解いた場合にも解が一つだけになることを、次の例で見ていこう。

Example 10.35例題 10.35

Solve

4 x^{2} - 20 x = −25

by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

二次方程式の解の公式を使って

4 x^{2} - 20 x = −25

を解け。

Solution解答


Add 25 to get the equation in standard form. 25を加え、方程式を標準形にする。
Identify the a, b, c values. a、b、cの値を確認する。
Write the Quadratic Formula. 二次方程式の解の公式を書く。
Then substitute in the values of a, b, c. 次に、a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Simplify the fraction. 分数を約分する。
Check. We leave the check to you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Did you recognize that

4 x^{2} - 20 x + 25

is a perfect square?

英語のヒント

4 x^{2} - 20 x + 25

が完全平方であることに気づいただろうか。

Try It (2)確認問題（2題）

第10章二次方程式

10.3 Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula10.3 解の公式を使って二次方程式を解く

Learning Objectives学習目標

How to Solve a Quadratic Equation Using the Quadratic Formula解の公式を使って二次方程式を解く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

10.3 Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula10.3　解の公式を使って二次方程式を解く