第10章二次方程式

Solve Quadratic Equations of the Form x² + bx + c = 0 by completing the square平方完成によってx² + bx + c = 0の形の二次方程式を解く

In solving equations, we must always do the same thing to both sides of the equation. This is true, of course, when we solve a quadratic equation by completing the square, too. When we add a term to one side of the equation to make a perfect square trinomial, we must also add the same term to the other side of the equation.

英語のヒント

方程式を解くときは、常に両辺に同じことをしなければならない。平方完成で二次方程式を解く場合も同じである。一方の辺に項を足して完全平方の三項式を作るときは、もう一方の辺にも同じ項を足さなければならない。

For example, if we start with the equation

x^{2} + 6 x = 40

and we want to complete the square on the left, we will add nine to both sides of the equation.

英語のヒント

例えば、方程式

x^{2} + 6 x = 40

から始めて左辺を平方完成したい場合、方程式の両辺に9を足す。

図には方程式x²＋6x＝40がある。その下ではx²＋6x＋空欄＝40＋空欄と書き直され、さらに下ではx²＋6x＋9＝40＋9と書き直されている。

Then, we factor on the left and simplify on the right.

英語のヒント

次に左辺を因数分解し、右辺を簡単にする。

{(x + 3)}^{2} = 49

Now the equation is in the form to solve using the Square Root Property. Completing the square is a way to transform an equation into the form we need to be able to use the Square Root Property.

英語のヒント

これで方程式は、平方根の性質を使って解ける形になった。平方完成は、平方根の性質を使える形に方程式を変形する方法である。

Example 10.18例題 10.18

How To Solve a Quadratic Equation of the Form $x^{2} + b x + c = 0$ by Completing the Square平方完成によって $x^{2} + b x + c = 0$ の形の二次方程式を解く方法

Solve

x^{2} + 8 x = 48

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

x^{2} + 8 x = 48

を解け。

Solution解答

図は方程式x²＋8x＝48を解く手順を示している。手順1では変数の項を一方の辺に、定数項をもう一方にまとめる。この方程式ではすでに変数がすべて左辺にある。

手順2では平方完成するための数(b/2)²を求め、両辺に足す。xの係数が8なのでb＝8である。8の半分の4を平方して16を得る。両辺に16を足すとx²＋8x＋16＝48＋16となる。

手順3では完全平方の三項式を二項式の平方に因数分解する。左辺のx²＋8x＋16は完全平方の三項式で、因数分解すると(x＋4)²となる。右辺は48＋16＝64である。方程式は(x＋4)²＝64となった。

手順5では根号の式を簡単にし、得られる二つの方程式を解く。64の平方根は8である。x＋4＝8とx＋4＝−8という二つの方程式として書け、それぞれを解くとx＝4または−12となる。

手順6では解を確かめる。それぞれの答えを元の方程式に入れる。x＝4を代入すると4²＋8×4＝48となり、左辺を簡単にすると16＋32＝48である。x＝−12を代入すると(−12)²＋8×(−12)＝48となり、左辺を簡単にすると144−96＝48である。

Try It (2)確認問題（2題）

Solve a quadratic equation of the form $x^{2} + b x + c = 0$ by completing the square.平方完成によって $x^{2} + b x + c = 0$ の形の二次方程式を解く。

Isolate the variable terms on one side and the constant terms on the other.
英語のヒント
変数の項を一方の辺に、定数項をもう一方にまとめる。
Find ${(\frac{1}{2} \cdot b)}^{2}$ , the number to complete the square. Add it to both sides of the equation.
英語のヒント
平方完成するための数 ${(\frac{1}{2} \cdot b)}^{2}$ を求める。それを方程式の両辺に足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square.
英語のヒント
完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property.
英語のヒント
平方根の性質を使う。
Simplify the radical and then solve the two resulting equations.
英語のヒント
根号の式を簡単にし、得られる二つの方程式を解く。
Check the solutions.
英語のヒント
解を確認する。

Example 10.19例題 10.19

Solve

y^{2} - 6 y = 16

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

y^{2} - 6 y = 16

を解け。

Solution解答

The variable terms are on the left side. 変数を含む項は左辺にある。
Take half of $- 6$ and square it. $(\frac{1}{2} (− 6))^{2} = 9$ $- 6$ の半分を2乗する。 $(\frac{1}{2} (− 6))^{2} = 9$
Add 9 to both sides. 両辺に9を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Solve for y. yについて解く。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Solve the equations. 方程式を解く。
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.20例題 10.20

Solve

x^{2} + 4 x = −21

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

x^{2} + 4 x = −21

を解け。

Solution解答

The variable terms are on the left side. 変数を含む項は左辺にある。
Take half of $4$ and square it. $(\frac{1}{2} (4))^{2} = 4$ $4$ の半分を2乗する。 $(\frac{1}{2} (4))^{2} = 4$
Add 4 to both sides. 両辺に4を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
We cannot take the square root of a negative number. 負の数の平方根を取ることはできない。		There is no real solution. 実数解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

In the previous example, there was no real solution because

{(x + k)}^{2}

was equal to a negative number.

英語のヒント

前の例では、

{(x + k)}^{2}

が負の数に等しかったため、実数解はなかった。

Example 10.21例題 10.21

Solve

p^{2} - 18 p = −6

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

p^{2} - 18 p = −6

を解け。

Solution解答

The variable terms are on the left side. 変数を含む項は左辺にある。
Take half of $− 18$ and square it. $(\frac{1}{2} (− 18))^{2} = 81$ $− 18$ の半分を2乗する。 $(\frac{1}{2} (− 18))^{2} = 81$
Add 81 to both sides. 両辺に81を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Solve for p. pについて解く。
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。
Check. 確かめる。

Another way to check this would be to use a calculator. Evaluate

p^{2} - 18 p

for both of the solutions. The answer should be

−6

英語のヒント

別の確認方法は電卓を使うことである。二つの解それぞれについて

p^{2} - 18 p

の値を求める。答えは

−6

になるはずである。

Try It (2)確認問題（2題）

We will start the next example by isolating the variable terms on the left side of the equation.

英語のヒント

次の例では、まず変数の項を方程式の左辺にまとめる。

Example 10.22例題 10.22

Solve

x^{2} + 10 x + 4 = 15

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

x^{2} + 10 x + 4 = 15

を解け。

Solution解答

The variable terms are on the left side. 変数を含む項は左辺にある。
Subtract $4$ to get the constant terms on the right side. 定数項を右辺に集めるため、 $4$ を引く。
Take half of 10 and square it. $(\frac{1}{2} (10))^{2} = 25$ 10の半分を平方する。 $(\frac{1}{2} (10))^{2} = 25$
Add 25 to both sides. 両辺に25を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Solve for x. xについて解く。
Rewrite to show two equations. 二つの方程式として書き直す。
Solve the equations. 方程式を解く。
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

To solve the next equation, we must first collect all the variable terms to the left side of the equation. Then, we proceed as we did in the previous examples.

英語のヒント

次の方程式を解くには、まず変数の項をすべて左辺に集める。その後は前の例と同じように進める。

Example 10.23例題 10.23

Solve

n^{2} = 3 n + 11

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

n^{2} = 3 n + 11

を解け。

Solution解答


Subtract 3n to get the variable terms on the left side. 変数の項を左辺に集めるため、3nを引く。
Take half of $− 3$ and square it. $(\frac{1}{2} (− 3))^{2} = \frac{9}{4}$ $− 3$ の半分を2乗する。 $(\frac{1}{2} (− 3))^{2} = \frac{9}{4}$
Add $\frac{9}{4}$ to both sides. 両辺に $\frac{9}{4}$ を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Add the fractions on the right side. 右辺の分数を足す。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Solve for n. nについて解く。
Rewrite to show two equations. 二つの方程式として書き直す。
Check. We leave the check for you! 確かめる。確認は自分で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

Notice that the left side of the next equation is in factored form. But the right side is not zero, so we cannot use the Zero Product Property. Instead, we multiply the factors and then put the equation into the standard form to solve by completing the square.

英語のヒント

次の方程式の左辺が因数分解された形であることに注意する。しかし右辺が0でないので、積が0になる性質は使えない。そこで因子を掛けてから標準形にし、平方完成によって解く。

Example 10.24例題 10.24

Solve

(x - 3) (x + 5) = 9

by completing the square.

英語のヒント

平方完成によって

(x - 3) (x + 5) = 9

を解け。

Solution解答


We multiply binomials on the left. 左辺の二項式を掛ける。
Add 15 to get the variable terms on the left side. 変数の項を左辺に集めるため、15を足す。
Take half of 2 and square it. $(\frac{1}{2} (2))^{2} = 1$ 2の半分を平方する。 $(\frac{1}{2} (2))^{2} = 1$
Add 1 to both sides. 両辺に1を足す。
Factor the perfect square trinomial as a binomial square. 完全平方式である三項式を、二項式の2乗に因数分解する。
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。
Solve for x. xについて解く。
Rewite to show two solutions. 二つの解が分かるように書き直す。
Simplify. 簡単にする。
Check. We leave the check for you! 確かめる。確認は自分で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

第10章二次方程式

Solve Quadratic Equations of the Form x2 + bx + c = 0 by completing the square平方完成によってx2 + bx + c = 0の形の二次方程式を解く

How To Solve a Quadratic Equation of the Form x2+bx+c=0 by Completing the Square平方完成によってx2+bx+c=0の形の二次方程式を解く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solve Quadratic Equations of the Form x² + bx + c = 0 by completing the square平方完成によってx² + bx + c = 0の形の二次方程式を解く

How To Solve a Quadratic Equation of the Form $x^{2} + b x + c = 0$ by Completing the Square平方完成によって $x^{2} + b x + c = 0$ の形の二次方程式を解く方法