第10章二次方程式

10.1 Solve Quadratic Equations Using the Square Root Property10.1　平方根の性質を使って二次方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve quadratic equations of the form $a x^{2} = k$ using the Square Root Property
英語のヒント
平方根の性質を使って $a x^{2} = k$ の形の二次方程式を解く
Solve quadratic equations of the form $a {(x - h)}^{2} = k$ using the Square Root Property
英語のヒント
平方根の性質を使って $a {(x - h)}^{2} = k$ の形の二次方程式を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Quadratic equations are equations of the form

a x^{2} + b x + c = 0

, where

a \neq 0

. They differ from linear equations by including a term with the variable raised to the second power. We use different methods to solve quadratic equations than linear equations, because just adding, subtracting, multiplying, and dividing terms will not isolate the variable.

英語のヒント

二次方程式は

a x^{2} + b x + c = 0

の形の方程式で、

a \neq 0

である。変数を2乗した項を含む点で一次方程式と異なる。項を足す、引く、掛ける、割るだけでは変数を単独にできないため、一次方程式とは異なる方法で解く。

We have seen that some quadratic equations can be solved by factoring. In this chapter, we will use three other methods to solve quadratic equations.

英語のヒント

因数分解で解ける二次方程式があることはすでに見た。この章では、それ以外の三つの方法を使って二次方程式を解く。

Solve Quadratic Equations of the Form ax² = k Using the Square Root Property平方根の性質を使ってax² = kの形の二次方程式を解く

We have already solved some quadratic equations by factoring. Let’s review how we used factoring to solve the quadratic equation

x^{2} = 9

英語のヒント

すでにいくつかの二次方程式を因数分解で解いた。二次方程式

x^{2} = 9

を因数分解で解いた方法を復習しよう。

\begin{matrix} x^{2} & = & 9 \\ Put the equation in standard form. & x^{2} - 9 & = & 0 \\ Factor the left side. & (x - 3) (x + 3) & = & 0 \\ Use the Zero Product Property. & (x - 3) = 0, (x + 3) & = & 0 \\ Solve each equation. & x = 3, x & = & −3 \\ Combine the two solutions into \pm form. & x & = & \pm 3 \\ (The solution is read ‘ x is equal to positive or negative 3.’) \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} & = & 9 \\ 方程式を標準形にする。 & x^{2} - 9 & = & 0 \\ 左辺を因数分解する。 & (x - 3) (x + 3) & = & 0 \\ 積が0になる性質を使う。 & (x - 3) = 0, (x + 3) & = & 0 \\ それぞれの方程式を解く。 & x = 3, x & = & −3 \\ 二つの解をまとめて \pm の形にする。 & x & = & \pm 3 \\ （解は ‘ x は正または負の3に等しい」と読む。） \end{matrix}

We can easily use factoring to find the solutions of similar equations, like

x^{2} = 16

and

x^{2} = 25

, because 16 and 25 are perfect squares. But what happens when we have an equation like

x^{2} = 7

? Since 7 is not a perfect square, we cannot solve the equation by factoring.

英語のヒント

x^{2} = 16

や

x^{2} = 25

のような方程式は、16や25が平方数なので因数分解で簡単に解を求められる。しかし、

x^{2} = 7

のような方程式ではどうなるか。7は平方数ではないため、因数分解では解けない。

These equations are all of the form

x^{2} = k

.
We defined the square root of a number in this way:

英語のヒント

これらの方程式はすべて

x^{2} = k

の形である。数の平方根は次のように定義した。

If n^{2} = m, then n is a square root of m .

条件： n^{2} = m, ならば n は次の数の平方根： m

This leads to the Square Root Property.

英語のヒント

ここから平方根の性質が導かれる。

Notice that the Square Root Property gives two solutions to an equation of the form

x^{2} = k

: the principal square root of

k

and its opposite. We could also write the solution as

x = \pm \sqrt{k}

英語のヒント

平方根の性質によって、

x^{2} = k

の形の方程式には、

k

の主平方根とその符号を反対にした数という二つの解が得られることに注意する。解を

x = \pm \sqrt{k}

と書くこともできる。

Now, we will solve the equation

x^{2} = 9

again, this time using the Square Root Property.

英語のヒント

ここで方程式

x^{2} = 9

を、今度は平方根の性質を使ってもう一度解く。

\begin{matrix} x^{2} & = & 9 \\ Use the Square Root Property. & x & = & \pm \sqrt{9} \\ Simplify the radical. & x & = & \pm 3 \\ Rewrite to show the two solutions. & x = 3, x & = & −3 \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} & = & 9 \\ 平方根の性質を使う。 & x & = & \pm \sqrt{9} \\ 根号の式を簡単にする。 & x & = & \pm 3 \\ 二つの解を示す形に書き換える。 & x = 3, x & = & −3 \end{matrix}

What happens when the constant is not a perfect square? Let’s use the Square Root Property to solve the equation

x^{2} = 7

英語のヒント

定数が平方数でないときはどうなるか。平方根の性質を使って方程式

x^{2} = 7

を解こう。

\begin{matrix} \begin{matrix} Use the Square Root Property. \end{matrix} & \begin{matrix} x^{2} & = & 7 \\ x & = & \pm \sqrt{7} \end{matrix} \\ Rewrite to show two solutions. & x = \sqrt{7}, x = − \sqrt{7} \\ We cannot simplify \sqrt{7}, so we leave the answer as a radical. \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 平方根の性質を使う。 \end{matrix} & \begin{matrix} x^{2} & = & 7 \\ x & = & \pm \sqrt{7} \end{matrix} \\ 二つの解を示す形に書き換える。 & x = \sqrt{7}, x = − \sqrt{7} \\ 次は簡単にできない： \sqrt{7}, そのため、答えは根号を含む形のままにする。 \end{matrix}

Example 10.1例題 10.1

Solve:

x^{2} = 169

英語のヒント

解け：

x^{2} = 169

。

Solution解答

\begin{matrix} \begin{matrix} Use the Square Root Property. \\ Simplify the radical. \end{matrix} & \begin{matrix} x^{2} & = & 169 \\ x & = & \pm \sqrt{169} \\ x & = & \pm 13 \end{matrix} \\ Rewrite to show two solutions. & x = 13, x = −13 \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 平方根の性質を使う。 \\ 根号の式を簡単にする。 \end{matrix} & \begin{matrix} x^{2} & = & 169 \\ x & = & \pm \sqrt{169} \\ x & = & \pm 13 \end{matrix} \\ 二つの解を示す形に書き換える。 & x = 13, x = −13 \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.2例題 10.2

How to Solve a Quadratic Equation of the Form ${a x}^{2} = k$ Using the Square Root Property平方根の性質を使って ${a x}^{2} = k$ の形の二次方程式を解く方法

Solve:

x^{2} - 48 = 0

英語のヒント

解け：

x^{2} - 48 = 0

。

Solution解答

図は与えられた方程式x²−48＝0を示している。手順1では二次の項を単独にし、その係数を1にするため、両辺に48を足してx²を単独にする。

手順3では48を16と3の積に書いて√48を簡単にする。16の平方根は4なので、簡単にした解はx＝±4√3である。

手順4では、各解を元の方程式に代入して確かめる。x＝4√3では、元の方程式のxを4√3に置き換えて(4√3)²−48＝0を得る。左辺を簡単にすると16×3−48＝0、さらに0＝0となり、正しい等式である。x＝−4√3では、元のxを−4√3に置き換えて(−4√3)²−48＝0を得る。左辺を簡単にすると16×3−48＝0、さらに0＝0となり、これも正しい等式である。

Try It (2)確認問題（2題）

To use the Square Root Property, the coefficient of the variable term must equal 1. In the next example, we must divide both sides of the equation by 5 before using the Square Root Property.

英語のヒント

平方根の性質を使うには、変数を含む項の係数が1でなければならない。次の例では、平方根の性質を使う前に方程式の両辺を5で割る必要がある。

Example 10.3例題 10.3

Solve:

5 m^{2} = 80

英語のヒント

解け：

5 m^{2} = 80

。

Solution解答

The quadratic term is isolated. 二次の項は単独になっている。		$5 m^{2} = 80$
Divide by 5 to make its cofficient 1. 係数を1にするため5で割る。		$\frac{5 m^{2}}{5} = \frac{80}{5}$
Simplify. 簡単にする。		$m^{2} = 16$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。		$m = \pm \sqrt{16}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。		$m = \pm 4$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。		$m = 4, m = − 4$
Check the solutions. 解を確認する。

Try It (2)確認問題（2題）

The Square Root Property started by stating, ‘If

x^{2} = k

, and

k \geq 0

’. What will happen if

k < 0

? This will be the case in the next example.

英語のヒント

平方根の性質は「

x^{2} = k

かつ

k \geq 0

なら」という条件で始まった。

k < 0

ならどうなるか。次の例でこの場合を扱う。

Example 10.4例題 10.4

Solve:

q^{2} + 24 = 0

英語のヒント

解け：

q^{2} + 24 = 0

。

Solution解答

	$q^{2} + 24 = 0$
Isolate the quadratic term. 二次の項を単独にする。	$q^{2} = −24$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。	$q = \pm \sqrt{−24}$
The $\sqrt{−24}$ is not a real number. $\sqrt{−24}$ は実数ではない。	There is no real solution. 実数解はない。

Try It (2)確認問題（2題）

Remember, we first isolate the quadratic term and then make the coefficient equal to one.

英語のヒント

まず二次の項を単独にし、次に係数を1にすることを思い出そう。

Example 10.5例題 10.5

Solve:

\frac{2}{3} u^{2} + 5 = 17

英語のヒント

解け：

\frac{2}{3} u^{2} + 5 = 17

。

Solution解答

		$\frac{2}{3} u^{2} + 5 = 17$
Isolate the quadratic term. 二次の項を単独にする。		$\frac{2}{3} u^{2} = 12$
Multiply by $\frac{3}{2}$ to make the coefficient 1. 係数を1にするため $\frac{3}{2}$ を掛ける。		$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{2} = \frac{3}{2} \cdot 12$
Simplify. 簡単にする。		$u^{2} = 18$
Use the Square Root Property. 平方根の性質を使う。		$u = \pm \sqrt{18}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。		$u = \pm \sqrt{9} \sqrt{2}$
Simplify. 簡単にする。		$u = \pm 3 \sqrt{2}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。		$u = 3 \sqrt{2}, u = − 3 \sqrt{2}$
Check. 確かめる。

Try It (2)確認問題（2題）

The solutions to some equations may have fractions inside the radicals. When this happens, we must rationalize the denominator.

英語のヒント

方程式の解の中には、根号内に分数を含むものもある。その場合は分母を有理化しなければならない。

Example 10.6例題 10.6

Solve:

2 c^{2} - 4 = 45

英語のヒント

解け：

2 c^{2} - 4 = 45

。

Solution解答

Isolate the quadratic term. Divide by 2 to make the coefficient 1. Simplify. Use the Square Root Property. Simplify the radical. Rationalize the denominator. Simplify. 二次の項を単独にする。係数を1にするため2で割る。簡単にする。平方根の性質を使う。根号の式を簡単にする。分母を有理化する。簡単にする。	$\begin{matrix} 2 c^{2} - 4 & = & 45 \\ 2 c^{2} & = & 49 \\ \frac{2 c^{2}}{2} & = & \frac{49}{2} \\ c^{2} & = & \frac{49}{2} \\ c & = & \pm \sqrt{\frac{49}{2}} \\ c & = & \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{2}} \\ c & = & \pm \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \\ c & = & \pm \frac{7 \sqrt{2}}{2} \end{matrix}$
Rewrite to show two solutions. 2つの解がわかるように書き直す。	$c = \frac{7 \sqrt{2}}{2}, c = - \frac{7 \sqrt{2}}{2}$
Check. We leave the check for you. 確認する。確認は読者自身で行おう。

Try It (2)確認問題（2題）

第10章二次方程式

10.1 Solve Quadratic Equations Using the Square Root Property10.1 平方根の性質を使って二次方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Solve Quadratic Equations of the Form ax2 = k Using the Square Root Property平方根の性質を使ってax2 = kの形の二次方程式を解く

Solution解答

How to Solve a Quadratic Equation of the Form ax2=k Using the Square Root Property平方根の性質を使ってax2=kの形の二次方程式を解く方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

10.1 Solve Quadratic Equations Using the Square Root Property10.1　平方根の性質を使って二次方程式を解く

Solve Quadratic Equations of the Form ax² = k Using the Square Root Property平方根の性質を使ってax² = kの形の二次方程式を解く

How to Solve a Quadratic Equation of the Form ${a x}^{2} = k$ Using the Square Root Property平方根の性質を使って ${a x}^{2} = k$ の形の二次方程式を解く方法