第10章二次方程式

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 163–164練習問題 163–164

Recognize the Graph of a Quadratic Equation in Two Variables

英語のヒント

2変数の二次方程式のグラフを見分ける

In the following exercises, graph:

英語のヒント

以下の練習問題では、グラフを描け。

Exercise 163問題 163

y = x^{2} + 3

Solution解き方

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。放物線の頂点は (0, 3) で、点 (1, 4) を通る。

Exercise 164問題 164

y = − x^{2} + 1

Exercises 165–168練習問題 165–168

In the following exercises, determine if the parabola opens up or down.

英語のヒント

以下の練習問題では、放物線が上向きに開くか下向きに開くかを判定せよ。

Exercise 165問題 165

y = −2 x^{2} - 6 x - 7

Solution解き方

down

英語のヒント

下向き

Exercise 166問題 166

y = 6 x^{2} + 2 x + 3

Exercise 167問題 167

y = 4 x^{2} + x - 4

Solution解き方

英語のヒント

上向き

Exercise 168問題 168

y = −9 x^{2} - 24 x - 16

Exercises 169–172練習問題 169–172

Find the Axis of Symmetry and Vertex of a Parabola

英語のヒント

放物線の対称軸と頂点を求める

In the following exercises, find ⓐ the axis of symmetry and ⓑ the vertex.

英語のヒント

以下の練習問題では、ⓐ 対称軸、ⓑ 頂点を求めよ。

Exercise 169問題 169

y = x^{2} + 8 x - 1

Solution解き方

ⓐ

x = −4

ⓑ

(−4, −17)

Exercise 170問題 170

y = x^{2} + 10 x + 25

Exercise 171問題 171

y = − x^{2} + 2 x + 5

Solution解き方

ⓐ

x = 1

ⓑ

(1, 6)

Exercise 172問題 172

y = −2 x^{2} - 8 x - 3

Exercises 173–178練習問題 173–178

Find the Intercepts of a Parabola

英語のヒント

放物線と座標軸との交点を求める

In the following exercises, find the x- and y-intercepts.

英語のヒント

以下の練習問題では、x軸とy軸との交点を求めよ。

Exercise 173問題 173

y = x^{2} + 7 x + 6

Solution解き方

y : (0, 6); x : (−1, 0), (−6, 0)

Exercise 174問題 174

y = x^{2} + 10 x - 11

Exercise 175問題 175

y = − x^{2} + 8 x - 19

Solution解き方

y : (0, - 19); x : none

y : (0, - 19); x : なし

Exercise 176問題 176

y = x^{2} + 6 x + 13

Exercise 177問題 177

y = 4 x^{2} - 20 x + 25

Solution解き方

y : (0, 25); x : (\frac{5}{2}, 0)

Exercise 178問題 178

y = − x^{2} - 14 x - 49

Exercises 179–196練習問題 179–196

Graph Quadratic Equations in Two Variables

英語のヒント

2変数の二次方程式のグラフを描く

In the following exercises, graph by using intercepts, the vertex, and the axis of symmetry.

英語のヒント

以下の練習問題では、座標軸との交点、頂点、対称軸を使ってグラフを描け。

Exercise 179問題 179

y = x^{2} + 6 x + 5

Solution解き方

y : (0, 5); x : (−1, 0), (−5, 0);

axis:

x = −3; vertex : (−3, −4)

英語のヒント

y : (0, 5); x : (−1, 0), (−5, 0);

軸：

x = −3; 頂点 : (−3, −4)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (−3, −4) と、座標軸との交点 (−5, 0)、(−1, 0)、(0, 5) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝−3 で頂点を通っている。

Exercise 180問題 180

y = x^{2} + 4 x - 12

Exercise 181問題 181

y = x^{2} + 4 x + 3

Solution解き方

y : (0, 3); x : (−1, 0), (−3, 0);

axis:

x = −2; vertex: (−2, −1)

英語のヒント

y : (0, 3); x : (−1, 0), (−3, 0);

軸：

x = −2; 頂点： (−2, −1)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (−2, −1) と、座標軸との交点 (−1, 0)、(−3, 0)、(0, 3) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝−2 で頂点を通っている。

Exercise 182問題 182

y = x^{2} - 6 x + 8

Exercise 183問題 183

y = 9 x^{2} + 12 x + 4

Solution解き方

y : (0, 4) x : (- \frac{2}{3}, 0);

axis:

x = - \frac{2}{3}; vertex: (- \frac{2}{3}, 0)

英語のヒント

y : (0, 4) x : (- \frac{2}{3}, 0);

軸：

x = - \frac{2}{3}; 頂点： (- \frac{2}{3}, 0)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−5から5まである。頂点 (−2/3, 0) と、座標軸との交点 (0, 4) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝−2/3 で頂点を通っている。

Exercise 184問題 184

y = − x^{2} + 8 x - 16

Exercise 185問題 185

y = − x^{2} + 2 x - 7

Solution解き方

y : (0, −7); x : none;

axis:

x = 1; vertex : (1, −6)

英語のヒント

y : (0, −7); x : なし;

軸：

x = 1; 頂点 : (1, −6)

xy座標平面に下向きに開く放物線を描いた図。x軸は−10から10、y軸は−15から5まである。頂点 (1, −6) と、座標軸との交点 (0, −7) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝1 で頂点を通っている。

Exercise 186問題 186

y = 5 x^{2} + 2

Exercise 187問題 187

y = 2 x^{2} - 4 x + 1

Solution解き方

y : (0, 1); x : (1.7, 0), (0.3, 0);

axis:

x = 1; vertex : (1, −1)

英語のヒント

y : (0, 1); x : (1.7, 0), (0.3, 0);

軸：

x = 1; 頂点 : (1, −1)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (1, −1) と、座標軸との交点 (1.7, 0)、(0.3, 0)、(0, 1) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝1 で頂点を通っている。

Exercise 188問題 188

y = 3 x^{2} - 6 x - 1

Exercise 189問題 189

y = 2 x^{2} - 4 x + 2

Solution解き方

y : (0, 2) x : (1, 0);

axis:

x = 1; vertex: (1, 0)

英語のヒント

y : (0, 2) x : (1, 0);

軸：

x = 1; 頂点： (1, 0)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (1, 0) と、座標軸との交点 (0, 2) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝1 で頂点を通っている。

Exercise 190問題 190

y = −4 x^{2} - 6 x - 2

Exercise 191問題 191

y = − x^{2} - 4 x + 2

Solution解き方

y : (0, 2) x : (−4.4, 0), (0.4, 0);

axis:

x = −2; vertex: (−2, 6)

英語のヒント

y : (0, 2) x : (−4.4, 0), (0.4, 0);

軸：

x = −2; 頂点： (−2, 6)

xy座標平面に下向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (−2, 6) と、座標軸との交点 (−4.4, 0)、(0.4, 0)、(0, 2) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝−2 で頂点を通っている。

Exercise 192問題 192

y = x^{2} + 6 x + 8

Exercise 193問題 193

y = 5 x^{2} - 10 x + 8

Solution解き方

y : (0, 8); x : none;

axis:

x = 1; vertex : (1, 3)

英語のヒント

y : (0, 8); x : なし;

軸：

x = 1; 頂点 : (1, 3)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (1, 3) と、座標軸との交点 (0, 8) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝1 で頂点を通っている。

Exercise 194問題 194

y = −16 x^{2} + 24 x - 9

Exercise 195問題 195

y = 3 x^{2} + 18 x + 20

Solution解き方

y : (0, 20) x : (−4.5, 0), (−1.5, 0);

axis:

x = −3; vertex: (−3, −7)

英語のヒント

y : (0, 20) x : (−4.5, 0), (−1.5, 0);

軸：

x = −3; 頂点： (−3, −7)

xy座標平面に上向きに開く放物線を描いた図。x軸とy軸はどちらも−10から10まである。頂点 (−3, −7) と、座標軸との交点 (−4.5, 0)、(−1.5, 0) に点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝−3 で頂点を通っている。

Exercise 196問題 196

y = −2 x^{2} + 8 x - 10

Exercises 197–202練習問題 197–202

Solve Maximum and Minimum Applications

英語のヒント

最大・最小の応用問題を解く

In the following exercises, find the maximum or minimum value.

英語のヒント

以下の練習問題では、最大値または最小値を求めよ。

Exercise 197問題 197

y = 2 x^{2} + x - 1

Solution解き方

The minimum value is

- \frac{9}{8}

when

x = - \frac{1}{4}

英語のヒント

x = - \frac{1}{4}

のとき、最小値は

- \frac{9}{8}

である。

Exercise 198問題 198

y = −4 x^{2} + 12 x - 5

Exercise 199問題 199

y = x^{2} - 6 x + 15

Solution解き方

The minimum value is 6 when

x = 3

英語のヒント

x = 3

のとき、最小値は6である。

Exercise 200問題 200

y = − x^{2} + 4 x - 5

Exercise 201問題 201

y = −9 x^{2} + 16

Solution解き方

The maximum value is 16 when

x = 0

英語のヒント

x = 0

のとき、最大値は16である。

Exercise 202問題 202

y = 4 x^{2} - 49

Exercises 203–208練習問題 203–208

In the following exercises, solve. Round answers to the nearest tenth.

英語のヒント

以下の練習問題を解け。答えは小数第1位に四捨五入せよ。

Exercise 203問題 203

An arrow is shot vertically upward from a platform 45 feet high at a rate of 168 ft/sec. Use the quadratic equation

h = −16 t^{2} + 168 t + 45

to find how long it will take the arrow to reach its maximum height, and then find the maximum height.

英語のヒント

高さ45フィートの台から、矢を鉛直上向きに168フィート毎秒で放つ。二次方程式

h = −16 t^{2} + 168 t + 45

を使い、矢が最高点に達するまでの時間を求め、その最高高度を求めよ。

Solution解き方

In 5.3 sec the arrow will reach maximum height of 486 ft.

英語のヒント

5.3秒後に、矢は最高高度486フィートに達する。

Exercise 204問題 204

A stone is thrown vertically upward from a platform that is 20 feet high at a rate of 160 ft/sec. Use the quadratic equation

h = −16 t^{2} + 160 t + 20

to find how long it will take the stone to reach its maximum height, and then find the maximum height.

英語のヒント

高さ20フィートの台から、石を鉛直上向きに160フィート毎秒で投げる。二次方程式

h = −16 t^{2} + 160 t + 20

を使い、石が最高点に達するまでの時間を求め、その最高高度を求めよ。

Exercise 205問題 205

A computer store owner estimates that by charging

x

dollars each for a certain computer, he can sell

40 - x

computers each week. The quadratic equation

R = − x^{2} + 40 x

is used to find the revenue,

R

, received when the selling price of a computer is

x

. Find the selling price that will give him the maximum revenue, and then find the amount of the maximum revenue.

英語のヒント

コンピューター店の店主は、あるコンピューターを1台

x

ドルで販売すると、1週間に

40 - x

台売れると見積もっている。二次方程式

R = − x^{2} + 40 x

は、コンピューターの販売価格が

x

のときに得られる売上高

R

を求めるために使われる。売上高を最大にする販売価格を求め、その最大売上高を求めよ。

Solution解き方

Charging $20 for each computer will give the maximum revenue of $400.

英語のヒント

コンピューター1台を20ドルで販売すると、最大売上高400ドルが得られる。

Exercise 206問題 206

A retailer who sells backpacks estimates that, by selling them for

x

dollars each, he will be able to sell

100 - x

backpacks a month. The quadratic equation

R = − x^{2} + 100 x

is used to find the

R

received when the selling price of a backpack is

x

. Find the selling price that will give him the maximum revenue, and then find the amount of the maximum revenue.

英語のヒント

リュックサックを販売する小売業者は、1個

x

ドルで売ると、1か月に

100 - x

個売れると見積もっている。二次方程式

R = − x^{2} + 100 x

は、リュックサックの販売価格が

x

のときに得られる

R

を求めるために使われる。売上高を最大にする販売価格を求め、その最大売上高を求めよ。

Exercise 207問題 207

A rancher is going to fence three sides of a corral next to a river. He needs to maximize the corral area using 240 feet of fencing. The quadratic equation

A = x (240 - 2 x)

gives the area of the corral,

A

, for the length,

x,

of the corral along the river. Find the length of the corral along the river that will give the maximum area, and then find the maximum area of the corral.

英語のヒント

牧場主が川のそばにある囲いの3辺に柵を設けようとしている。240フィートの柵を使い、囲いの面積を最大にする必要がある。二次方程式

A = x (240 - 2 x)

は、川沿いの囲いの長さ

x

に対する囲いの面積

A

を表す。面積を最大にする川沿いの長さを求め、囲いの最大面積を求めよ。

Solution解き方

The length of the side along the river of the corral is 60 feet and the maximum area is 7,200 sq ft.

英語のヒント

囲いの川沿いの辺の長さは60フィートで、最大面積は7200平方フィートである。

Exercise 208問題 208

A veterinarian is enclosing a rectangular outdoor running area against his building for the dogs he cares for. He needs to maximize the area using 100 feet of fencing. The quadratic equation

A = x (100 - 2 x)

gives the area,

A

, of the dog run for the length,

x

, of the building that will border the dog run. Find the length of the building that should border the dog run to give the maximum area, and then find the maximum area of the dog run.

英語のヒント

獣医師が、世話をしている犬のために、建物に接した長方形の屋外運動場を囲もうとしている。100フィートの柵を使い、面積を最大にする必要がある。二次方程式

A = x (100 - 2 x)

は、犬の運動場に接する建物の長さ

x

に対する運動場の面積

A

を表す。面積を最大にするには建物のどれだけの長さを運動場に接させればよいかを求め、その最大面積を求めよ。

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 209–210練習問題 209–210

Exercise 209問題 209

In the previous set of exercises, you worked with the quadratic equation

R = − x^{2} + 40 x

that modeled the revenue received from selling computers at a price of

x

dollars. You found the selling price that would give the maximum revenue and calculated the maximum revenue. Now you will look at more characteristics of this model.
ⓐ Graph the equation

R = − x^{2} + 40 x

. ⓑ Find the values of the x-intercepts.

英語のヒント

前の練習問題では、コンピューターを

x

ドルで販売したときの売上高を表す二次方程式

R = − x^{2} + 40 x

を扱った。売上高を最大にする販売価格を求め、最大売上高を計算した。今度は、このモデルのほかの特徴を調べる。ⓐ 方程式

R = − x^{2} + 40 x

のグラフを描け。ⓑ x軸との交点の値を求めよ。

Solution解き方

ⓐ
ⓑ $(0, 0), (40, 0)$

Exercise 210問題 210

In the previous set of exercises, you worked with the quadratic equation

R = − x^{2} + 100 x

that modeled the revenue received from selling backpacks at a price of

x

dollars. You found the selling price that would give the maximum revenue and calculated the maximum revenue. Now you will look at more characteristics of this model.
ⓐ Graph the equation

R = − x^{2} + 100 x

. ⓑ Find the values of the x-intercepts.

英語のヒント

前の練習問題では、リュックサックを

x

ドルで販売したときの売上高を表す二次方程式

R = − x^{2} + 100 x

を扱った。売上高を最大にする販売価格を求め、最大売上高を計算した。今度は、このモデルのほかの特徴を調べる。ⓐ 方程式

R = − x^{2} + 100 x

のグラフを描け。ⓑ x軸との交点の値を求めよ。