第10章二次方程式

Key Concepts重要な概念

Quadratic Formula The solutions to a quadratic equation of the form $a x^{2} + b x + c = 0,$ $a \neq 0$ are given by the formula:
英語のヒント
解の公式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）の形の二次方程式の解は、次の公式で与えられる。

$x = \frac{− b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
Solve a Quadratic Equation Using the Quadratic Formula
To solve a quadratic equation using the Quadratic Formula.
英語のヒント
解の公式を使って二次方程式を解く解の公式を使って二次方程式を解くには、次のようにする。
1. Write the quadratic formula in standard form. Identify the $a, b, c$ values.
  英語のヒント
  解の公式を標準形に書く。 $a, b, c$ の値を特定する。
2. Write the quadratic formula. Then substitute in the values of $a, b, c .$
  英語のヒント
  解の公式を書く。そして $a, b, c$ の値を代入する。
3. Simplify.
  英語のヒント
  簡単にする。
4. Check the solutions.
  英語のヒント
  解を確認する。
Using the Discriminant, $b^{2} - 4 a c$ , to Determine the Number of Solutions of a Quadratic Equation
For a quadratic equation of the form $a x^{2} + b x + c = 0,$ $a \neq 0,$
英語のヒント
判別式 $b^{2} - 4 a c$ を使って二次方程式の解の個数を判定する $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）の形の二次方程式について、
- if $b^{2} - 4 a c > 0$ , the equation has 2 solutions.
  英語のヒント
  $b^{2} - 4 a c > 0$ なら、方程式の解は2個ある。
- if $b^{2} - 4 a c = 0$ , the equation has 1 solution.
  英語のヒント
  $b^{2} - 4 a c = 0$ なら、方程式の解は1個ある。
- if $b^{2} - 4 a c < 0$ , the equation has no real solutions.
  英語のヒント
  $b^{2} - 4 a c < 0$ なら、方程式には実数解がない。
To identify the most appropriate method to solve a quadratic equation:
英語のヒント
二次方程式を解くために最も適した方法を選ぶには、次のようにする。
1. Try Factoring first. If the quadratic factors easily this method is very quick.
  英語のヒント
  まず因数分解を試す。二次式を簡単に因数分解できる場合、この方法はとても速い。
2. Try the Square Root Property next. If the equation fits the form $a x^{2} = k$ or $a {(x - h)}^{2} = k$ , it can easily be solved by using the Square Root Property.
  英語のヒント
  次に平方根の性質を試す。方程式が $a x^{2} = k$ または $a {(x - h)}^{2} = k$ の形なら、平方根の性質を使って簡単に解ける。
3. Use the Quadratic Formula. Any other quadratic equation is best solved by using the Quadratic Formula.
  英語のヒント
  解の公式を使う。それ以外の二次方程式は、解の公式を使うのが最もよい。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 99–130練習問題 99–130

Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula

英語のヒント

解の公式を使って二次方程式を解く

In the following exercises, solve by using the Quadratic Formula.

英語のヒント

以下の練習問題では、解の公式を使って解け。

Exercise 99問題 99

4 m^{2} + m - 3 = 0

Solution解き方

m = −1, m = \frac{3}{4}

Exercise 100問題 100

4 n^{2} - 9 n + 5 = 0

Exercise 101問題 101

2 p^{2} - 7 p + 3 = 0

Solution解き方

p = \frac{1}{2}, p = 3

Exercise 102問題 102

3 q^{2} + 8 q - 3 = 0

Exercise 103問題 103

p^{2} + 7 p + 12 = 0

Solution解き方

p = −4, p = −3

Exercise 104問題 104

q^{2} + 3 q - 18 = 0

Exercise 105問題 105

r^{2} - 8 r - 33 = 0

Solution解き方

r = −3, r = 11

Exercise 106問題 106

t^{2} + 13 t + 40 = 0

Exercise 107問題 107

3 u^{2} + 7 u - 2 = 0

Solution解き方

u = \frac{−7 \pm \sqrt{73}}{6}

Exercise 108問題 108

6 z^{2} - 9 z + 1 = 0

Exercise 109問題 109

2 a^{2} - 6 a + 3 = 0

Solution解き方

a = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}

Exercise 110問題 110

5 b^{2} + 2 b - 4 = 0

Exercise 111問題 111

2 x^{2} + 3 x + 9 = 0

Solution解き方

no real solution

英語のヒント

実数解なし

Exercise 112問題 112

6 y^{2} - 5 y + 2 = 0

Exercise 113問題 113

v (v + 5) - 10 = 0

Solution解き方

v = \frac{−5 \pm \sqrt{65}}{2}

Exercise 114問題 114

3 w (w - 2) - 8 = 0

Exercise 115問題 115

\frac{1}{3} m^{2} + \frac{1}{12} m = \frac{1}{4}

Solution解き方

m = −1, m = \frac{3}{4}

Exercise 116問題 116

\frac{1}{3} n^{2} + n = - \frac{1}{2}

Exercise 117問題 117

16 c^{2} + 24 c + 9 = 0

Solution解き方

c = - \frac{3}{4}

Exercise 118問題 118

25 d^{2} - 60 d + 36 = 0

Exercise 119問題 119

5 m^{2} + 2 m - 7 = 0

Solution解き方

m = - \frac{7}{5}, m = 1

Exercise 120問題 120

8 n^{2} - 3 n + 3 = 0

Exercise 121問題 121

p^{2} - 6 p - 27 = 0

Solution解き方

p = −3, p = 9

Exercise 122問題 122

25 q^{2} + 30 q + 9 = 0

Exercise 123問題 123

4 r^{2} + 3 r - 5 = 0

Solution解き方

r = \frac{−3 \pm \sqrt{89}}{8}

Exercise 124問題 124

3 t (t - 2) = 2

Exercise 125問題 125

2 a^{2} + 12 a + 5 = 0

Solution解き方

a = \frac{−6 \pm \sqrt{26}}{2}

Exercise 126問題 126

4 d^{2} - 7 d + 2 = 0

Exercise 127問題 127

\frac{3}{4} b^{2} + \frac{1}{2} b = \frac{3}{8}

Solution解き方

b = \frac{−2 \pm \sqrt{22}}{6}

Exercise 128問題 128

\frac{1}{9} c^{2} + \frac{2}{3} c = 3

Exercise 129問題 129

2 x^{2} + 12 x - 3 = 0

Solution解き方

x = \frac{−6 \pm \sqrt{42}}{4}

Exercise 130問題 130

16 y^{2} + 8 y + 1 = 0

Exercises 131–134練習問題 131–134

Use the Discriminant to Predict the Number of Solutions of a Quadratic Equation

英語のヒント

判別式を使って二次方程式の解の個数を予測する

In the following exercises, determine the number of solutions to each quadratic equation.

英語のヒント

以下の練習問題では、それぞれの二次方程式の解の個数を判定せよ。

Exercise 131問題 131

ⓐ $4 x^{2} - 5 x + 16 = 0$
ⓑ $36 y^{2} + 36 y + 9 = 0$
ⓒ $6 m^{2} + 3 m - 5 = 0$
ⓓ $18 n^{2} - 7 n + 3 = 0$

Solution解き方

ⓐ no real solutions ⓑ 1
ⓒ 2 ⓓ no real solutions

英語のヒント

ⓐ 実数解なし ⓑ 1 ⓒ 2 ⓓ 実数解なし

Exercise 132問題 132

ⓐ $9 v^{2} - 15 v + 25 = 0$
ⓑ $100 w^{2} + 60 w + 9 = 0$
ⓒ $5 c^{2} + 7 c - 10 = 0$
ⓓ $15 d^{2} - 4 d + 8 = 0$

Exercise 133問題 133

ⓐ $r^{2} + 12 r + 36 = 0$
ⓑ $8 t^{2} - 11 t + 5 = 0$
ⓒ $4 u^{2} - 12 u + 9 = 0$
ⓓ $3 v^{2} - 5 v - 1 = 0$

Solution解き方

ⓐ 1 ⓑ no real solutions
ⓒ 1 ⓓ 2

英語のヒント

ⓐ 1 ⓑ 実数解なし ⓒ 1 ⓓ 2

Exercise 134問題 134

ⓐ $25 p^{2} + 10 p + 1 = 0$
ⓑ $7 q^{2} - 3 q - 6 = 0$
ⓒ $7 y^{2} + 2 y + 8 = 0$
ⓓ $25 z^{2} - 60 z + 36 = 0$

Exercises 135–138練習問題 135–138

Identify the Most Appropriate Method to Use to Solve a Quadratic Equation

英語のヒント

二次方程式を解くために最も適した方法を選ぶ

In the following exercises, identify the most appropriate method (Factoring, Square Root, or Quadratic Formula) to use to solve each quadratic equation. Do not solve.

英語のヒント

以下の練習問題では、それぞれの二次方程式を解くために最も適した方法（因数分解、平方根、解の公式）を選べ。方程式を解く必要はない。

Exercise 135問題 135

ⓐ

x^{2} - 5 x - 24 = 0

ⓑ

{(y + 5)}^{2} = 12

ⓒ

14 m^{2} + 3 m = 11

Solution解き方

ⓐ factor ⓑ square root
ⓒ Quadratic Formula

英語のヒント

ⓐ 因数分解 ⓑ 平方根 ⓒ 解の公式

Exercise 136問題 136

ⓐ

{(8 v + 3)}^{2} = 81

ⓑ

w^{2} - 9 w - 22 = 0

ⓒ

4 n^{2} - 10 = 6

Exercise 137問題 137

ⓐ

6 a^{2} + 14 = 20

ⓑ

{(x - \frac{1}{4})}^{2} = \frac{5}{16}

ⓒ

y^{2} - 2 y = 8

Solution解き方

ⓐ square root ⓑ square root
ⓒ factor

英語のヒント

ⓐ 平方根 ⓑ 平方根 ⓒ 因数分解

Exercise 138問題 138

ⓐ

8 b^{2} + 15 b = 4

ⓑ

\frac{5}{9} v^{2} - \frac{2}{3} v = 1

ⓒ

{(w + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{2}{9}

Everyday Math日常生活の数学

Exercises 139–140練習問題 139–140

Exercise 139問題 139

A flare is fired straight up from a ship at sea. Solve the equation

16 (t^{2} - 13 t + 40) = 0

for

t

, the number of seconds it will take for the flare to be at an altitude of 640 feet.

英語のヒント

海上の船から照明弾を真上に発射する。方程式

16 (t^{2} - 13 t + 40) = 0

を

t

について解き、照明弾が高度640フィートに達するまでの秒数を求めよ。

Solution解き方

5 seconds, 8 seconds

英語のヒント

5秒、8秒

Exercise 140問題 140

An architect is designing a hotel lobby. She wants to have a triangular window looking out to an atrium, with the width of the window 6 feet more than the height. Due to energy restrictions, the area of the window must be 140 square feet. Solve the equation

\frac{1}{2} h^{2} + 3 h = 140

for

h

, the height of the window.

英語のヒント

建築家がホテルのロビーを設計している。吹き抜けの空間に面した三角形の窓を設け、窓の幅を高さより6フィート長くしたいと考えている。エネルギー上の制約により、窓の面積は140平方フィートでなければならない。方程式

\frac{1}{2} h^{2} + 3 h = 140

を

h

について解き、窓の高さを求めよ。

Writing Exercises記述問題

Exercises 141–142練習問題 141–142

Exercise 141問題 141

Solve the equation

x^{2} + 10 x = 200

英語のヒント

方程式

x^{2} + 10 x = 200

Solution解き方

ⓐ

−20, 10

ⓑ

−20, 10

英語のヒント

ⓐ

−20, 10

ⓑ

−20, 10

Exercise 142問題 142

Solve the equation

12 y^{2} + 23 y = 24

英語のヒント

方程式

12 y^{2} + 23 y = 24

Self Check自己チェック

ⓐ After completing the exercises, use this checklist to evaluate your mastery of the objectives of this section.

英語のヒント

ⓐ 練習問題を終えたら、このチェックリストを使って、この節の学習目標をどれだけ達成できたかを評価する。

4行4列の表。最初の行は見出し行で、各列に名前を付けている。第1列は「私にできること」、第2列は「自信を持ってできる」、第3列は「少し助けがあればできる」、最後の列は「まだ理解できない」である。「私にできること」の列の次の行には「解の公式を使って二次方程式を解く」、その次の行には「判別式を使って二次方程式の解の個数を予測する」、最後の行には「二次方程式を解くために最も適した方法を選ぶ」と書かれている。残りの列は空欄である。

ⓑ What does this checklist tell you about your mastery of this section? What steps will you take to improve?

英語のヒント

ⓑ このチェックリストから、この節をどれだけ習得できたと分かるか。さらに身に付けるために、どのような手順で取り組むか。

discriminant

判別式

In the Quadratic Formula,

x = \frac{− b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

the quantity

b^{2} - 4 a c

is called the discriminant.

英語のヒント

解の公式

x = \frac{− b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

の中の量

b^{2} - 4 a c

を判別式と呼ぶ。