第10章二次方程式

Use the Discriminant to Predict the Number of Solutions of a Quadratic Equation判別式を使って二次方程式の解の個数を予測する

When we solved the quadratic equations in the previous examples, sometimes we got two solutions, sometimes one solution, sometimes no real solutions. Is there a way to predict the number of solutions to a quadratic equation without actually solving the equation?

英語のヒント

これまでの例で二次方程式を解いたとき、解が二つの場合も、一つの場合も、実数解がない場合もあった。方程式を実際に解かずに、二次方程式の解の個数を予測する方法はあるだろうか。

Yes, the quantity inside the radical of the Quadratic Formula makes it easy for us to determine the number of solutions. This quantity is called the discriminant.

英語のヒント

ある。解の公式の根号の中にある量を使うと、解の個数を簡単に判定できる。この量を判別式と呼ぶ。

Let’s look at the discriminant of the equations in Example 10.28, Example 10.32, and Example 10.35, and the number of solutions to those quadratic equations.

英語のヒント

例10.28、例10.32、例10.35の方程式の判別式と、それぞれの二次方程式の解の個数を見てみよう。

	Quadratic Equation (in standard form) 二次方程式（標準形）	Discriminant $b^{2} - 4 a c$ 判別式 $b^{2} - 4 a c$	Sign of the Discriminant 判別式の符号	Number of real solutions 実数解の個数
Example 10.28 例10.28	$2 x^{2} + 9 x - 5 = 0$	$9^{2} - 4 \cdot 2 (−5) = 121$	+	2
Example 10.35 例10.35	$4 x^{2} - 20 x + 25 = 0$	${(−20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 0$	0	1
Example 10.32 例10.32	$3 p^{2} + 2 p + 9 = 0$	$2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 9 = −104$	−	0

When the discriminant is positive

(x = \frac{− b \pm \sqrt{+}}{2 a})

the quadratic equation has two solutions.

英語のヒント

判別式が正のとき

(x = \frac{− b \pm \sqrt{+}}{2 a})

、二次方程式の解は二つある。

When the discriminant is zero

(x = \frac{− b \pm \sqrt{0}}{2 a})

the quadratic equation has one solution.

英語のヒント

判別式が0のとき

(x = \frac{− b \pm \sqrt{0}}{2 a})

、二次方程式の解は一つある。

When the discriminant is negative

(x = \frac{− b \pm \sqrt{-}}{2 a})

the quadratic equation has no real solutions.

英語のヒント

判別式が負のとき

(x = \frac{− b \pm \sqrt{-}}{2 a})

、二次方程式には実数解がない。

Example 10.36例題 10.36

Determine the number of solutions to each quadratic equation:

英語のヒント

それぞれの二次方程式の解の個数を判定せよ。

ⓐ

2 v^{2} - 3 v + 6 = 0

ⓑ

3 x^{2} + 7 x - 9 = 0

ⓒ

5 n^{2} + n + 4 = 0

ⓓ

9 y^{2} - 6 y + 1 = 0

Solution解答

To determine the number of solutions of each quadratic equation, we will look at its discriminant.

英語のヒント

それぞれの二次方程式の解の個数を判定するために、判別式を調べる。

ⓐ

	$\begin{matrix} 2 v^{2} - 3 v + 6 & = & 0 \end{matrix}$
The equation is in standard form, identify a, b, c. 方程式は標準形なので、a、b、cを確認する。	$\begin{matrix} a = 2, b = −3, c & = & 6 \end{matrix}$
Write the discriminant. 判別式を書く。	$b^{2} - 4 a c$
Substitute in the values of a, b, c. a、b、cの値を代入する。	${(3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} 9 - 48 \\ −39 \end{matrix}$
Because the discriminant is negative, there are no real solutions to the equation. 判別式が負なので、方程式には実数解がない。

ⓑ

	$3 x^{2} + 7 x - 9 = 0$
The equation is in standard form, identify a, b, c. 方程式は標準形なので、a、b、cを確認する。	$a = 3, b = 7, c = −9$
Write the discriminant. 判別式を書く。	$b^{2} - 4 a c$
Substitute in the values of a, b, c. a、b、cの値を代入する。	${(7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (−9)$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} 49 + 108 \\ 157 \end{matrix}$
Because the discriminant is positive, there are two solutions to the equation. 判別式が正なので、方程式の解は二つある。

ⓒ

	$\begin{matrix} 5 n^{2} + n + 4 & = & 0 \end{matrix}$
The equation is in standard form, identify a, b, c. 方程式は標準形なので、a、b、cを確認する。	$\begin{matrix} a = 5, b = 1, c & = & 4 \end{matrix}$
Write the discriminant. 判別式を書く。	$b^{2} - 4 a c$
Substitute in the values of a, b, c. a、b、cの値を代入する。	${(1)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 4$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} 1 - 80 \\ −79 \end{matrix}$
Because the discriminant is negative, there are no real solutions to the equation. 判別式が負なので、方程式には実数解がない。

ⓓ

	$\begin{matrix} 9 y^{2} - 6 y + 1 & = & 0 \end{matrix}$
The equation is in standard form, identify a, b, c. 方程式は標準形なので、a、b、cを確認する。	$\begin{matrix} a = 9, b = −6, c & = & 1 \end{matrix}$
Write the discriminant. 判別式を書く。	$b^{2} - 4 a c$
Substitute in the values of a, b, c. a、b、cの値を代入する。	${(−6)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 1$
Simplify. 簡単にする。	$\begin{matrix} 36 - 36 \\ 0 \end{matrix}$
Because the discriminant is 0, there is one solution to the equation. 判別式が0なので、方程式の解は一つある。

Try It (2)確認問題（2題）

Identify the Most Appropriate Method to Use to Solve a Quadratic Equation二次方程式を解くために最も適した方法を選ぶ

We have used four methods to solve quadratic equations:

英語のヒント

これまで二次方程式を解くために四つの方法を使ってきた。

Factoring
英語のヒント
因数分解
Square Root Property
英語のヒント
平方根の性質
Completing the Square
英語のヒント
平方完成
Quadratic Formula
英語のヒント
解の公式

You can solve any quadratic equation by using the Quadratic Formula, but that is not always the easiest method to use.

英語のヒント

解の公式を使えばどの二次方程式も解けるが、それがいつも最も簡単な方法であるとは限らない。

Identify the most appropriate method to solve a Quadratic Equation.二次方程式を解くために最も適した方法を選ぶ。

Try Factoring first. If the quadratic factors easily, this method is very quick.
英語のヒント
まず因数分解を試す。二次式を簡単に因数分解できる場合、この方法はとても速い。
Try the Square Root Property next. If the equation fits the form $a x^{2} = k$ or $a {(x - h)}^{2} = k$ , it can easily be solved by using the Square Root Property.
英語のヒント
次に平方根の性質を試す。方程式が $a x^{2} = k$ または $a {(x - h)}^{2} = k$ の形なら、平方根の性質を使って簡単に解ける。
Use the Quadratic Formula. Any quadratic equation can be solved by using the Quadratic Formula.
英語のヒント
解の公式を使う。どの二次方程式も解の公式を使って解くことができる。

What about the method of completing the square? Most people find that method cumbersome and prefer not to use it. We needed to include it in this chapter because we completed the square in general to derive the Quadratic Formula. You will also use the process of completing the square in other areas of algebra.

英語のヒント

平方完成という方法はどうだろうか。多くの人はこの方法を煩雑に感じ、できれば使いたくないと思う。この章で平方完成を取り上げる必要があったのは、解の公式を導くために一般的な形で平方完成をしたからである。平方完成の手順は、代数のほかの分野でも使うことになる。

Example 10.37例題 10.37

Identify the most appropriate method to use to solve each quadratic equation:

英語のヒント

それぞれの二次方程式を解くために最も適した方法を選べ。

ⓐ

5 z^{2} = 17

ⓑ

4 x^{2} - 12 x + 9 = 0

ⓒ

8 u^{2} + 6 u = 11

Solution解答

ⓐ

5 z^{2} = 17

Since the equation is in the

a x^{2} = k

, the most appropriate method is to use the Square Root Property.

英語のヒント

方程式が

a x^{2} = k

の形なので、最も適した方法は平方根の性質を使うことである。

ⓑ

4 x^{2} - 12 x + 9 = 0

We recognize that the left side of the equation is a perfect square trinomial, and so Factoring will be the most appropriate method.

英語のヒント

方程式の左辺が完全平方の三項式だとわかるので、因数分解が最も適した方法である。

ⓒ

8 u^{2} + 6 u = 11

Put the equation in standard form.

8 u^{2} + 6 u - 11 = 0

英語のヒント

方程式を標準形にする。

8 u^{2} + 6 u - 11 = 0

While our first thought may be to try Factoring, thinking about all the possibilities for trial and error leads us to choose the Quadratic Formula as the most appropriate method

英語のヒント

最初は因数分解を試そうと思うかもしれないが、試行錯誤で調べる組み合わせをすべて考えると、解の公式が最も適した方法だと判断できる。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材