第10章二次方程式

Graph Quadratic Equations in Two Variables2変数の二次方程式のグラフを描く

Now, we have all the pieces we need in order to graph a quadratic equation in two variables. We just need to put them together. In the next example, we will see how to do this.

英語のヒント

これで、2変数の二次方程式のグラフを描くために必要な要素がすべてそろった。あとはそれらを組み合わせればよい。次の例でその方法を見よう。

Example 10.49例題 10.49

How To Graph a Quadratic Equation in Two Variables2変数の二次方程式のグラフを描く方法

Graph

y = x^{2} - 6 x + 8

英語のヒント

y = x^{2} - 6 x + 8

のグラフをかけ。

Solution解答

二次方程式 y＝x²−6x＋8 のグラフを描く手順を示す図。手順1は、y を片側に置いた形で二次方程式を書くことである。この方程式では、すでに y が片側にある。a の値は1、b の値は−6、c の値は8である。

手順2は、放物線が上向きに開くか下向きに開くかを判定することである。a が正なので、放物線は上向きに開く。

手順3は対称軸を求めることである。対称軸は直線 x＝−b/(2a) である。b と a の値を代入すると、公式は x＝−(−6)/(2×1) となり、簡単にすると x＝3 になる。対称軸は直線 x＝3 である。

手順4は頂点を求めることである。頂点は対称軸上にある。x＝3 を方程式に代入し、y について解く。方程式は y＝x²−6x＋8 である。x を3に置き換えると y＝3²−6×3＋8 となり、簡単にすると y＝−1 になる。頂点は (3, −1) である。

手順5は、y軸との交点と、その点に対称軸を挟んで対称な点を求めることである。x＝0 を方程式に代入する。方程式は y＝x²−6x＋8 である。x を0に置き換えると y＝0²−6×0＋8 となり、簡単にすると y＝8 になる。y軸との交点は (0, 8) である。対称軸を使い、y軸との交点に対称な点を求める。y軸との交点は対称軸 x＝3 の左に3単位離れている。対称軸の右に3単位離れた点では x＝6 である。y軸との交点に対称な点は (6, 8) である。

手順6は、x軸との交点を求めることである。y＝0 を方程式に代入すると、0＝x²−6x＋8 になる。この二次方程式は因数分解で解け、0＝(x−2)(x−4) になる。それぞれの方程式を解くと x＝2、x＝4 が得られる。x軸との交点は (2, 0) と (4, 0) である。

手順7は放物線を描くことである。頂点、座標軸との交点、y軸との交点に対称な点を打つ。この5点を結んで放物線の概形を描く。グラフはxy座標平面上で上向きに開く放物線である。x軸は−2から10、y軸は−3から10まである。頂点は (3, −1) で、曲線上に (0, 8)、(6, 8)、(2, 0)、(4, 0) の4点が打たれている。対称軸を表す垂直な破線もあり、x＝3 で頂点を通っている。

Try It (2)確認問題（2題）

Graph a quadratic equation in two variables.2変数の二次方程式のグラフを描く。

Write the quadratic equation with $y$ on one side.
英語のヒント
$y$ を片側に置いた形で二次方程式を書く。
Determine whether the parabola opens upward or downward.
英語のヒント
放物線が上向きに開くか下向きに開くかを判定する。
Find the axis of symmetry.
英語のヒント
対称軸を求める。
Find the vertex.
英語のヒント
頂点を求める。
Find the y-intercept. Find the point symmetric to the y-intercept across the axis of symmetry.
英語のヒント
y軸との交点を求める。その交点に対称軸を挟んで対称な点を求める。
Find the x-intercepts.
英語のヒント
x軸との交点を求める。
Graph the parabola.
英語のヒント
放物線を描く。

We were able to find the x-intercepts in the last example by factoring. We find the x-intercepts in the next example by factoring, too.

英語のヒント

前の例では、因数分解によってx軸との交点を求められた。次の例でも、因数分解によってx軸との交点を求める。

Example 10.50例題 10.50

Graph

y = − x^{2} + 6 x - 9

英語のヒント

y = − x^{2} + 6 x - 9

のグラフをかけ。

Solution解答

The equation y has on one side. 方程式では y が片側にある。
Since a is $- 1$ , the parabola opens downward. To find the axis of symmetry, find $x = - \frac{b}{2 a}$ . a が $- 1$ なので、放物線は下向きに開く。対称軸を求めるために、 $x = - \frac{b}{2 a}$ を求める。		The axis of symmetry is $x = 3 .$ The vertex is on the line $x = 3 .$ 対称軸は $x = 3$ である。頂点は直線 $x = 3$ 上にある。
Find y when $x = 3 .$ $x = 3$ のときの y を求める。		The vertex is $(3, 0) .$ 頂点は $(3, 0)$ である。
The y-intercept occurs when $x = 0 .$ Substitute $x = 0 .$ Simplify. The point $(0, −9)$ is three units to the left of the line of symmetry. The point three units to the right of the line of symmetry is $(6, −9) .$ Point symmetric to the y-intercept is $(6, −9)$ y軸との交点では $x = 0$ となる。 $x = 0$ を代入する。簡単にする。点 $(0, −9)$ は対称軸の左に3単位離れている。対称軸の右に3単位離れた点は $(6, −9)$ である。y軸との交点に対称な点は $(6, −9)$ である。		The y-intercept is $(0, −9) .$ y軸との交点は $(0, −9)$ である。
The x-intercept occurs when $y = 0 .$ x軸との交点では $y = 0$ となる。
Substitute $y = 0 .$ $y = 0$ を代入する。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Factor the trinomial. 三項式を因数分解する。
Solve for x. xについて解く。
Connect the points to graph the parabola. 点を結び、放物線を描く。

Try It (2)確認問題（2題）

For the graph of

y = - x^{2} + 6 x - 9

, the vertex and the x-intercept were the same point. Remember how the discriminant determines the number of solutions of a quadratic equation? The discriminant of the equation

0 = − x^{2} + 6 x - 9

is 0, so there is only one solution. That means there is only one x-intercept, and it is the vertex of the parabola.

英語のヒント

y = - x^{2} + 6 x - 9

のグラフでは、頂点とx軸との交点が同じ点だった。判別式が二次方程式の解の個数をどのように決めるかを覚えているだろうか。方程式

0 = − x^{2} + 6 x - 9

の判別式は0なので、解は一つだけである。つまり、x軸との交点も一つだけで、それが放物線の頂点なのである。

How many x-intercepts would you expect to see on the graph of

y = x^{2} + 4 x + 5

英語のヒント

y = x^{2} + 4 x + 5

のグラフには、x軸との交点がいくつあると予想するか。

Example 10.51例題 10.51

Graph

y = x^{2} + 4 x + 5

英語のヒント

y = x^{2} + 4 x + 5

のグラフをかけ。

Solution解答

The equation has y on one side. 方程式では y が片側にある。
Since a is 1, the parabola opens upward. a が1なので、放物線は上向きに開く。
To find the axis of symmetry, find $x = - \frac{b}{2 a} .$ 対称軸を求めるために、 $x = - \frac{b}{2 a}$ を求める。		The axis of symmetry is $x = −2 .$ 対称軸は $x = −2$ である。
The vertex is on the line $x = −2 .$ 頂点は直線 $x = −2$ 上にある。
Find y when $x = −2 .$ $x = −2$ のときの y を求める。		The vertex is $(−2, 1) .$ 頂点は $(−2, 1)$ である。
The y-intercept occurs when $x = 0 .$ Substitute $x = 0 .$ Simplify. The point $(0, 5)$ is two units to the right of the line of symmetry. The point two units to the left of the line of symmetry is $(−4, 5) .$ y軸との交点では $x = 0$ となる。 $x = 0$ を代入する。簡単にする。点 $(0, 5)$ は対称軸の右に2単位離れている。対称軸の左に2単位離れた点は $(−4, 5)$ である。		The y-intercept is $(0, 5) .$ y軸との交点は $(0, 5)$ である。 Point symmetric to the y- intercept is $(−4, 5)$ . y軸との交点に対称な点は $(−4, 5)$ である。
The x- intercept occurs when $y = 0 .$ x軸との交点では $y = 0$ となる。
Substitute $y = 0 .$ Test the discriminant. $y = 0$ を代入する。判別式を調べる。
		$b^{2} - 4 a c$ $4^{2} - 4 \cdot 15$ $16 - 20$ $−4$
Since the value of the discriminant is negative, there is no solution and so no x- intercept. Connect the points to graph the parabola. You may want to choose two more points for greater accuracy. 判別式の値が負なので解はなく、x軸との交点もない。点を結び、放物線を描く。より正確に描くには、さらに2点選ぶとよい。

Try It (2)確認問題（2題）

Finding the y-intercept by substituting

x = 0

into the equation is easy, isn’t it? But we needed to use the Quadratic Formula to find the x-intercepts in Example 10.51. We will use the Quadratic Formula again in the next example.

英語のヒント

x = 0

を方程式に代入してy軸との交点を求めるのは簡単だろう。だが例10.51でx軸との交点を求めるには、解の公式を使う必要があった。次の例でも再び解の公式を使う。

Example 10.52例題 10.52

Graph

y = 2 x^{2} - 4 x - 3

英語のヒント

y = 2 x^{2} - 4 x - 3

のグラフをかけ。

Solution解答


The equation y has one side. Since a is 2, the parabola opens upward. 方程式では y が片側にある。a が2なので、放物線は上向きに開く。
To find the axis of symmetry, find $x = - \frac{b}{2 a}$ . 対称軸を求めるために、 $x = - \frac{b}{2 a}$ を求める。		The axis of symmetry is $x = 1$ . 対称軸は $x = 1$ である。
The vertex on the line $x = 1 .$ 頂点は直線 $x = 1$ 上にある。
Find y when $x = 1$ . $x = 1$ のときの y を求める。		The vertex is $(1, − 5)$ . 頂点は $(1, − 5)$ である。
The y-intercept occurs when $x = 0 .$ y軸との交点では $x = 0$ となる。
Substitute $x = 0 .$ $x = 0$ を代入する。
Simplify. 簡単にする。		The y-intercept is $(0, −3)$ . y軸との交点は $(0, −3)$ である。
The point $(0, −3)$ is one unit to the left of the line of symmetry. The point one unit to the right of the line of symmetry is $(2, −3)$ 点 $(0, −3)$ は対称軸の左に1単位離れている。対称軸の右に1単位離れた点は $(2, −3)$ である。		Point symmetric to the y-intercept is $(2, −3) .$ y軸との交点に対称な点は $(2, −3)$ である。
The x-intercept occurs when $y = 0$ . x軸との交点では $y = 0$ となる。
Substitute $y = 0$ . $y = 0$ を代入する。
Use the Quadratic Formula. 解の公式を使う。
Substitute in the values of a, b, c. a、b、cの値を代入する。
Simplify. 簡単にする。
Simplify inside the radical. 根号の中を簡単にする。
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。
Factor the GCF. 最大公約因子をくくり出す。
Remove common factors. 共通の因数を取り除く。
Write as two equations. 二つの方程式として書く。
Approximate the values. 近似値を求める。
		The approximate values of the x-intercepts are $(2.5, 0)$ and $(−0.6, 0)$ . x軸との交点の近似値は $(2.5, 0)$ と $(−0.6, 0)$ である。
Graph the parabola using the points found. 求めた点を使って放物線を描く。

Try It (2)確認問題（2題）