第10章二次方程式

10.2 Solve Quadratic Equations by Completing the Square10.2　平方完成によって二次方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Complete the square of a binomial expression
英語のヒント
二項式を平方完成する
Solve quadratic equations of the form $x^{2} + b x + c = 0$ by completing the square
英語のヒント
平方完成によって $x^{2} + b x + c = 0$ の形の二次方程式を解く
Solve quadratic equations of the form $a x^{2} + b x + c = 0$ by completing the square
英語のヒント
平方完成によって $a x^{2} + b x + c = 0$ の形の二次方程式を解く

Before You Begin (3)準備問題（3題）

So far, we have solved quadratic equations by factoring and using the Square Root Property. In this section, we will solve quadratic equations by a process called ‘completing the square.’

英語のヒント

ここまでは、因数分解と平方根の性質で二次方程式を解いてきた。この節では「平方完成」という方法で二次方程式を解く。

Complete The Square of a Binomial Expression二項式を平方完成する

In the last section, we were able to use the Square Root Property to solve the equation

{(y - 7)}^{2} = 12

because the left side was a perfect square.

英語のヒント

前の節では、方程式

{(y - 7)}^{2} = 12

の左辺が完全平方だったため、平方根の性質を使って解けた。

\begin{matrix} {(y - 7)}^{2} & = & 12 \\ y - 7 & = & \pm \sqrt{12} \\ y - 7 & = & \pm 2 \sqrt{3} \\ y & = & 7 \pm 2 \sqrt{3} \end{matrix}

We also solved an equation in which the left side was a perfect square trinomial, but we had to rewrite it the form

{(x - k)}^{2}

in order to use the square root property.

英語のヒント

左辺が完全平方の三項式である方程式も解いたが、平方根の性質を使うには

{(x - k)}^{2}

の形に書き直す必要があった。

\begin{matrix} x^{2} - 10 x + 25 & = & 18 \\ {(x - 5)}^{2} & = & 18 \end{matrix}

What happens if the variable is not part of a perfect square? Can we use algebra to make a perfect square?

英語のヒント

変数が完全平方の一部でない場合はどうなるか。代数を使って完全平方を作れるだろうか。

Let’s study the binomial square pattern we have used many times. We will look at two examples.

英語のヒント

何度も使ってきた二項式の平方の公式を調べよう。二つの例を見る。

\begin{matrix} \begin{matrix} {(x + 9)}^{2} \\ (x + 9) (x + 9) \\ x^{2} + 9 x + 9 x + 81 \\ x^{2} + 18 x + 81 \end{matrix} & \begin{matrix} {(y - 7)}^{2} \\ (y - 7) (y - 7) \\ y^{2} - 7 y - 7 y + 49 \\ y^{2} - 14 y + 49 \end{matrix} \end{matrix}

We can use this pattern to “make” a perfect square.

英語のヒント

この公式を使って完全平方を「作る」ことができる。

We will start with the expression

x^{2} + 6 x

. Since there is a plus sign between the two terms, we will use the

{(a + b)}^{2}

pattern.

英語のヒント

式

x^{2} + 6 x

から始める。二つの項の間に加号があるので、

{(a + b)}^{2}

の公式を使う。

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

Notice that the first term of

x^{2} + 6 x

is a square,

x^{2}

英語のヒント

x^{2} + 6 x

の初項が平方の

x^{2}

であることに注意する。

We now know

a = x

英語のヒント

これで

a = x

と分かる。

What number can we add to

x^{2} + 6 x

to make a perfect square trinomial?

英語のヒント

x^{2} + 6 x

に何を足せば完全平方の三項式になるだろうか。

The middle term of the Binomial Squares Pattern,

2 a b

, is twice the product of the two terms of the binomial. This means twice the product of

x

and some number is

6 x

. So, two times some number must be six. The number we need is

\frac{1}{2} \cdot 6 = 3 .

The second term in the binomial,

b,

must be 3.

英語のヒント

二項式の平方の公式の中央の項

2 a b

は、二項式の2項の積の2倍である。これは

x

とある数の積の2倍が

6 x

だという意味である。したがって、その数の2倍は6でなければならない。必要な数は

\frac{1}{2} \cdot 6 = 3

二項式の第2項

b

は3でなければならない。

We now know

b = 3

英語のヒント

これで

b = 3

と分かる。

Now, we just square the second term of the binomial to get the last term of the perfect square trinomial, so we square three to get the last term, nine.

英語のヒント

あとは二項式の第2項を平方すれば、完全平方の三項式の末項が得られる。3を平方して末項の9を得る。

We can now factor to

英語のヒント

これで次のように因数分解できる。

So, we found that adding nine to

x^{2} + 6 x

‘completes the square,’ and we write it as

{(x + 3)}^{2}

英語のヒント

したがって、

x^{2} + 6 x

に9を足すと「平方完成」でき、

{(x + 3)}^{2}

と書けることが分かった。

Example 10.14例題 10.14

Complete the square to make a perfect square trinomial. Then, write the result as a binomial square.

英語のヒント

平方完成して完全平方の三項式を作れ。その後、結果を二項式の平方として書け。

x^{2} + 14 x

Solution解答

The coefficient of x is 14. xの係数は14である。
$\begin{matrix} Find {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot 14)}^{2} \\ {(7)}^{2} \\ 49 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 求める値： {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot 14)}^{2} \\ {(7)}^{2} \\ 49 \end{matrix}$
Add 49 to the binomial to complete the square. 二項式に49を足して平方完成する。	$x^{2} + 14 x + 49$
Rewrite as a binomial square. 二項式の2乗に書き直す。	${(x + 7)}^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.15例題 10.15

Complete the square to make a perfect square trinomial. Then, write the result as a binomial squared.

m^{2} - 26 m

英語のヒント

平方完成して完全平方の三項式を作れ。その後、結果を二項式の平方として書け。

m^{2} - 26 m

Solution解答

The coefficient of m is −26. mの係数は−26である。
$\begin{matrix} Find {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot (− 26))}^{2} \\ {(− 13)}^{2} \\ 169 \end{matrix}$ $\begin{matrix} 求める値： {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot (− 26))}^{2} \\ {(− 13)}^{2} \\ 169 \end{matrix}$
Add 169 to the binomial to complete the square. 二項式に169を足して平方完成する。	$m^{2} - 26 m + 169$
Rewrite as a binomial square. 二項式の2乗に書き直す。	${(m - 13)}^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.16例題 10.16

Complete the square to make a perfect square trinomial. Then, write the result as a binomial squared.

英語のヒント

平方完成して完全平方の三項式を作れ。その後、結果を二項式の平方として書け。

u^{2} - 9 u

Solution解答

The coefficient of u is −9. uの係数は−9である。
$\begin{matrix} Find {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot (− 9))}^{2} \\ {(- \frac{9}{2})}^{2} \\ \frac{81}{4} \end{matrix}$ $\begin{matrix} 求める値： {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot (− 9))}^{2} \\ {(- \frac{9}{2})}^{2} \\ \frac{81}{4} \end{matrix}$
Add $\frac{81}{4}$ to the binomial to complete the square. 二項式に $\frac{81}{4}$ を足して平方完成する。	$u^{2} - 9 u + \frac{81}{4}$
Rewrite as a binomial square. 二項式の2乗に書き直す。	${(u - \frac{9}{2})}^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 10.17例題 10.17

Complete the square to make a perfect square trinomial. Then, write the result as a binomial squared.

英語のヒント

平方完成して完全平方の三項式を作れ。その後、結果を二項式の平方として書け。

p^{2} + \frac{1}{2} p

Solution解答

The coefficient of p is $\frac{1}{2}$ . pの係数は $\frac{1}{2}$ である。
$\begin{matrix} Find {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} \\ {(\frac{1}{4})}^{2} \\ \frac{1}{16} \end{matrix}$ $\begin{matrix} 求める値： {(\frac{1}{2} b)}^{2} . \\ {(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{2} \\ {(\frac{1}{4})}^{2} \\ \frac{1}{16} \end{matrix}$
Add $\frac{1}{16}$ to the binomial to complete the square. 二項式に $\frac{1}{16}$ を足して平方完成する。	$p^{2} + \frac{1}{2} p + \frac{1}{16}$
Rewrite as a binomial square. 二項式の2乗に書き直す。	${(p + \frac{1}{4})}^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

第10章二次方程式

10.2 Solve Quadratic Equations by Completing the Square10.2 平方完成によって二次方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Complete The Square of a Binomial Expression二項式を平方完成する

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

10.2 Solve Quadratic Equations by Completing the Square10.2　平方完成によって二次方程式を解く