第1章基礎

Simplify Expressions Using the Distributive Property分配法則を使って式を簡単にする

Suppose that three friends are going to the movies. They each need $9.25—that’s 9 dollars and 1 quarter—to pay for their tickets. How much money do they need all together?

英語のヒント

友人3人が映画に行くとしよう。チケット代は一人9.25ドル、つまり9ドルと25セント硬貨1枚である。全員でいくら必要だろうか。

You can think about the dollars separately from the quarters. They need 3 times $9 so $27, and 3 times 1 quarter, so 75 cents. In total, they need $27.75. If you think about doing the math in this way, you are using the distributive property.

英語のヒント

ドルと25セントを分けて考えられる。9ドルの3倍で27ドル、25セントの3倍で75セント、合計27.75ドルが必要である。この計算方法では、分配法則を使っている。

Back to our friends at the movies, we could find the total amount of money they need like this:

英語のヒント

映画に行く友人の例に戻ると、必要な金額の合計は次のように求められる。

\begin{matrix} 3 (9.25) \\ \begin{matrix} 3 (9 & + & 0.25) \\ 3 (9) & + & 3 (0.25) \\ 27 & + & 0.75 \end{matrix} \\ 27.75 \end{matrix}

In algebra, we use the distributive property to remove parentheses as we simplify expressions.

英語のヒント

代数では、式を簡単にするとき、分配法則を使って括弧を外す。

For example, if we are asked to simplify the expression

3 (x + 4),

the order of operations says to work in the parentheses first. But we cannot add x and 4, since they are not like terms. So we use the distributive property, as shown in Example 1.132.

英語のヒント

たとえば

3 (x + 4)

を簡単にする場合、演算の順序では括弧内を先に計算する。しかしxと4は同類項でないので、足せない。そこで例題1.132のように分配法則を使う。

Example 1.132例題 1.132

Simplify:

3 (x + 4) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

3 (x + 4)

Solution解答

Table 1.52表 1.52
	$3 (x + 4)$
Distribute. 分配法則を使う。	$3 \cdot x + 3 \cdot 4$
Multiply. 掛ける。	$3 x + 12$

Try It (2)確認問題（2題）

Some students find it helpful to draw in arrows to remind them how to use the distributive property. Then the first step in Example 1.132 would look like this:

英語のヒント

矢印を描くと、分配法則の使い方を思い出しやすいという学生もいる。その場合、例題1.132の最初の段階は、次のようになる。

Example 1.133例題 1.133

Simplify:

8 (\frac{3}{8} x + \frac{1}{4}) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

8 (\frac{3}{8} x + \frac{1}{4})

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Multiply. 掛ける。

Try It (2)確認問題（2題）

Using the distributive property as shown in Example 1.134 will be very useful when we solve money applications in later chapters.

英語のヒント

例題1.134のような分配法則の使い方は、後の章で金額の応用問題を解くときに非常に役立つ。

Example 1.134例題 1.134

Simplify:

100 (0.3 + 0.25 q) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

100 (0.3 + 0.25 q)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Multiply. 掛ける。

Try It (2)確認問題（2題）

When we distribute a negative number, we need to be extra careful to get the signs correct!

英語のヒント

負の数を分配するときは、符号を間違えないように特に注意しよう。

Example 1.135例題 1.135

Simplify:

−2 (4 y + 1) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

−2 (4 y + 1)

Solution解答


Distribute. 分配法則を使う。
Multiply. 掛ける。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.136例題 1.136

Simplify:

−11 (4 - 3 a) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

−11 (4 - 3 a)

Solution解答

Distribute. 分配法則を使う。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。

Notice that you could also write the result as

33 a - 44 .

Do you know why?

英語のヒント

結果は

33 a - 44

とも書ける。なぜか分かるだろうか。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.137 will show how to use the distributive property to find the opposite of an expression.

英語のヒント

例題1.137では、分配法則を使って、式の符号を逆にする方法を示す。

Example 1.137例題 1.137

Simplify:

− (y + 5) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

− (y + 5)

Solution解答

Table 1.53表 1.53
	$(y + 5)$
Multiplying by −1 results in the opposite. −1を掛けると符号が反対になる。	$−1 (y + 5)$
Distribute. 分配法則を使う。	$−1 \cdot y + (−1) \cdot 5$
Simplify. 簡単にする。	$− y + (−5)$
	$− y - 5$

Try It (2)確認問題（2題）

There will be times when we’ll need to use the distributive property as part of the order of operations. Start by looking at the parentheses. If the expression inside the parentheses cannot be simplified, the next step would be multiply using the distributive property, which removes the parentheses. The next two examples will illustrate this.

英語のヒント

演算の順序の一部として、分配法則を使うこともある。まず括弧の中を見よう。内部の式を簡単にできなければ、次は分配法則で掛け算して括弧を外す。次の二つの例で示す。

Example 1.138例題 1.138

Simplify:

8 - 2 (x + 3) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

8 - 2 (x + 3)

Be sure to follow the order of operations. Multiplication comes before subtraction, so we will distribute the 2 first and then subtract.

英語のヒント

演算の順序を必ず守る。乗法は減法より先なので、まず2を分配してから引く。

Solution解答

Table 1.54表 1.54
	$8 - 2 (x + 3)$
Distribute. 分配法則を使う。	$8 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3$
Multiply. 掛ける。	$8 - 2 x - 6$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$−2 x + 2$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.139例題 1.139

Simplify:

4 (x - 8) - (x + 3) .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

4 (x - 8) - (x + 3)

Solution解答

Table 1.55表 1.55
	$4 (x - 8) - (x + 3)$
Distribute. 分配法則を使う。	$4 x - 32 - x - 3$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$3 x - 35$

Try It (2)確認問題（2題）

All the properties of real numbers we have used in this chapter are summarized in Table 1.56.

英語のヒント

この章で使った実数の性質を、すべて表1.56にまとめる。

Table 1.56表 1.56
Commutative Property 交換法則
of addition If $a, b$ are real numbers, then of multiplication If $a, b$ are real numbers, then 加法： $a, b$ が実数なら、乗法： $a, b$ が実数なら、	$a + b = b + a$ $a \cdot b = b \cdot a$
Associative Property 結合法則
of addition If $a, b, c$ are real numbers, then of multiplication If $a, b, c$ are real numbers, then 加法： $a, b, c$ が実数なら、乗法： $a, b, c$ が実数なら、	$(a + b) + c = a + (b + c)$ $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Distributive Property 分配法則
If $a, b, c$ are real numbers, then $a, b, c$ が実数なら、	$a (b + c) = a b + a c$
Identity Property 単位元の性質
of addition For any real number $a :$ 0 is the additive identity of multiplication For any real number $a :$ $1$ is the multiplicative identity 加法：任意の実数 $a :$ について、0は加法の単位元である。乗法：任意の実数 $a :$ について、 $1$ は乗法の単位元である。	$\begin{matrix} a + 0 = a \\ 0 + a = a \end{matrix}$ $\begin{matrix} a \cdot 1 = a \\ 1 \cdot a = a \end{matrix}$
Inverse Property 逆元の性質
of addition For any real number $a,$ $− a$ is the additive inverse of $a$ of multiplication For any real number $a, a \neq 0$ $\frac{1}{a}$ is the multiplicative inverse of $a .$ 加法：任意の実数 $a$ について、 $− a$ は $a$ の加法の逆元である。乗法：任意の実数 $a, a \neq 0$ について、 $\frac{1}{a}$ は $a$ の乗法の逆元である。	$a + (− a) = 0$ $a \cdot \frac{1}{a} = 1$
Properties of Zero 0の性質
For any real number a, For any real number $a, a \neq 0$ For any real number $a, a \neq 0$ 任意の実数aについて、任意の実数 $a, a \neq 0$ について、任意の実数 $a, a \neq 0$ について、	$\begin{matrix} a \cdot 0 = 0 \\ 0 \cdot a = 0 \end{matrix}$ $\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$ is undefined $\begin{matrix} a \cdot 0 = 0 \\ 0 \cdot a = 0 \end{matrix}$ $\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$ は定義されない。

Key Concepts重要な概念

Commutative Property of
英語のヒント
交換法則
- Addition: If $a, b$ are real numbers, then $a + b = b + a .$
  英語のヒント
  加法： $a, b$ が実数なら、 $a + b = b + a$ 。
- Multiplication: If $a, b$ are real numbers, then $a \cdot b = b \cdot a .$ When adding or multiplying, changing the order gives the same result.
  英語のヒント
  乗法： $a, b$ が実数なら、 $a \cdot b = b \cdot a$ 。足し算や掛け算では、順序を変えても結果は同じである。
Associative Property of
英語のヒント
結合法則
- Addition: If $a, b, c$ are real numbers, then $(a + b) + c = a + (b + c) .$
  英語のヒント
  加法： $a, b, c$ が実数なら、 $(a + b) + c = a + (b + c)$ 。
- Multiplication: If $a, b, c$ are real numbers, then $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) .$
  When adding or multiplying, changing the grouping gives the same result.
  英語のヒント
  乗法： $a, b, c$ が実数なら、 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ 。足し算や掛け算では、まとめ方を変えても結果は同じである。
Distributive Property: If $a, b, c$ are real numbers, then
英語のヒント
分配法則： $a, b, c$ が実数なら、
- $a (b + c) = a b + a c$
- $(b + c) a = b a + c a$
- $a (b - c) = a b - a c$
- $(b - c) a = b a - c a$
Identity Property
英語のヒント
単位元の性質
- of Addition: For any real number $a : a + 0 = a 0 + a = a$
  0 is the additive identity
  英語のヒント
  加法：任意の実数 $a : a + 0 = a 0 + a = a$ 。0は加法の単位元である。
- of Multiplication: For any real number $a : a \cdot 1 = a 1 \cdot a = a$
  $1$ is the multiplicative identity
  英語のヒント
  乗法：任意の実数 $a : a \cdot 1 = a 1 \cdot a = a$ 。 $1$ は乗法の単位元である。
Inverse Property
英語のヒント
逆元の性質
- of Addition: For any real number $a, a + (− a) = 0 .$ A number and its opposite add to zero. $− a$ is the additive inverse of $a .$
  英語のヒント
  加法：任意の実数 $a, a + (− a) = 0$ 。ある数と、その符号を逆にした数を足すとゼロになる。 $− a$ は $a$ の加法の逆元である。
- of Multiplication: For any real number $a, (a \neq 0) a \cdot \frac{1}{a} = 1 .$ A number and its reciprocal multiply to one. $\frac{1}{a}$ is the multiplicative inverse of $a .$
  英語のヒント
  乗法：任意の実数 $a, (a \neq 0) a \cdot \frac{1}{a} = 1$ 。ある数とその逆数を掛けると1になる。 $\frac{1}{a}$ は $a$ の乗法の逆元である。
Properties of Zero
英語のヒント
0の性質
- For any real number $a,$
  $a \cdot 0 = 0 0 \cdot a = 0$ – The product of any real number and 0 is 0.
  英語のヒント
  任意の実数 $a$ について、 $a \cdot 0 = 0 0 \cdot a = 0$ 。どんな実数と0の積も0になる。
- $\frac{0}{a} = 0$ for $a \neq 0$ – Zero divided by any real number except zero is zero.
  英語のヒント
  $a \neq 0$ なら $\frac{0}{a} = 0$ 。ゼロをゼロ以外の実数で割ると、ゼロになる。
- $\frac{a}{0}$ is undefined – Division by zero is undefined.
  英語のヒント
  $\frac{a}{0}$ は定義されない。ゼロによる除法は定義されない。