第2章一次方程式と不等式を解く

2.2 Solve Equations using the Division and Multiplication Properties of Equality2.2　等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Solve equations using the Division and Multiplication Properties of Equality
英語のヒント
等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く
Solve equations that require simplification
英語のヒント
式の整理が必要な方程式を解く
Translate to an equation and solve
英語のヒント
方程式に直して解く
Translate and solve applications
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応用問題を方程式に表して解く

Before You Begin (2)準備問題（2題）

Solve Equations Using the Division and Multiplication Properties of Equality等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く

You may have noticed that all of the equations we have solved so far have been of the form

x + a = b

x - a = b

. We were able to isolate the variable by adding or subtracting the constant term on the side of the equation with the variable. Now we will see how to solve equations that have a variable multiplied by a constant and so will require division to isolate the variable.

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ここまで解いた方程式は、すべて

x + a = b

または

x - a = b

の形だったことに気付いただろうか。変数のある側で定数項を足したり引いたりすることで、変数だけにできた。ここからは、変数に定数が掛かっており、変数だけにするために割り算が必要な方程式の解き方を見ていく。

Let’s look at our puzzle again with the envelopes and counters in Figure 2.5.

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図2.5の封筒とおはじきのパズルを、もう一度見てみよう。

作業台を左右に分けた図。左側の中身と右側の中身は等しい。左側には、個数は分からないが同じ数のおはじきが入った封筒が2枚ある。右側にはおはじき6個がある。 — Figure 2.5図 2.5
The illustration shows a model of an equation with one variable multiplied by a constant. On the left side of the workspace are two instances of the unknown (envelope), while on the right side of the workspace are six counters.
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変数1つに定数を掛けた方程式のモデル。作業台の左側には未知のもの（封筒）が2つあり、右側にはおはじき6個がある。

In the illustration there are two identical envelopes that contain the same number of counters. Remember, the left side of the workspace must equal the right side, but the counters on the left side are “hidden” in the envelopes. So how many counters are in each envelope?

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図には同じ封筒が2枚あり、同じ数のおはじきが入っている。作業台の左側と右側は等しくなければならないが、左側のおはじきは封筒の中に「隠れている」。それぞれの封筒に、おはじきはいくつ入っているだろうか。

How do we determine the number? We have to separate the counters on the right side into two groups of the same size to correspond with the two envelopes on the left side. The 6 counters divided into 2 equal groups gives 3 counters in each group (since

6 \div 2 = 3

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どうやって個数を求めるのだろうか。左側の封筒2枚に対応させるため、右側のおはじきを同じ数の2組に分ける。6個を同じ数の2組に分けると、1組は3個になる（

6 \div 2 = 3

だからである）。

What equation models the situation shown in Figure 2.6? There are two envelopes, and each contains

x

counters. Together, the two envelopes must contain a total of 6 counters.

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図2.6の状況をモデル化する方程式は何だろうか。封筒は2枚あり、それぞれに

x

個のおはじきが入っている。2枚の封筒には、合わせて6個入っているはずである。

作業台を左右に分けた図。左側の中身と右側の中身は等しい。左側には、個数は分からないが同じ数のおはじきが入った封筒が2枚ある。右側にはおはじき6個がある。図の下には、おはじきで表した方程式「2x＝6」がある。 — Figure 2.6図 2.6
The illustration shows a model of the equation $2 x = 6$ .
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方程式 $2 x = 6$ のモデル。


If we divide both sides of the equation by 2, as we did with the envelopes and counters, 封筒とおはじきで行ったように、方程式の両辺を2で割ると、
we get: 次のようになる：

We found that each envelope contains 3 counters. Does this check? We know

2 \cdot 3 = 6

, so it works! Three counters in each of two envelopes does equal six!

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封筒1枚にはおはじき3個が入っていると分かった。これは正しいだろうか。

2 \cdot 3 = 6

なので、正しい。封筒2枚に3個ずつ入っていれば、確かに6個になる。

This example leads to the Division Property of Equality.

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この例から、等式の除法の性質が得られる。

Additional Resources追加教材

The goal in solving an equation is to ‘undo’ the operation on the variable. In the next example, the variable is multiplied by 5, so we will divide both sides by 5 to ‘undo’ the multiplication.

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方程式を解く目標は、変数に対する操作を元に戻すことである。次の例では変数に5が掛かっているので、両辺を5で割って乗法を元に戻す。

Example 2.13例題 2.13

Solve:

5 x = −27 .

英語のヒント

次の方程式を解く：

5 x = −27

Solution解答

To isolate $x$ , “undo” the multiplication by 5. $x$ だけにするため、5を掛ける操作を元に戻す。
Divide to ‘undo’ the multiplication. 割って、乗法を元に戻す。
Simplify. 簡単にする。
Check: 確認：
Substitute $- \frac{27}{5}$ for $x .$ $x$ に $- \frac{27}{5}$ を代入する。

		Since this is a true statement, $x = - \frac{27}{5}$ is the solution to $5 x = −27$ . これは正しい等式なので、 $x = - \frac{27}{5}$ が $5 x = −27$ の解である。

Try It (2)確認問題（2題）

Consider the equation

\frac{x}{4} = 3

. We want to know what number divided by 4 gives 3. So to “undo” the division, we will need to multiply by 4. The Multiplication Property of Equality will allow us to do this. This property says that if we start with two equal quantities and multiply both by the same number, the results are equal.

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方程式

\frac{x}{4} = 3

を考えよう。4で割ると3になる数を知りたい。そこで、除法を元に戻すために4を掛ける必要がある。等式の乗法の性質によって、この操作ができる。この性質によると、等しい2つの量に同じ数を掛けた結果も等しい。

Example 2.14例題 2.14

Solve:

\frac{y}{−7} = −14 .

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次の方程式を解く：

\frac{y}{−7} = −14

Solution解答

Here

y

is divided by

−7

. We must multiply by

−7

to isolate

y

英語のヒント

ここでは

y

を

−7

で割っている。

y

だけにするには、

−7

を掛けなければならない。


Multiply both sides by $−7$ . 両辺に $−7$ を掛ける。
Multiply. 掛ける。
Simplify. 簡単にする。
Check: $\frac{y}{−7} = −14$ 確認： $\frac{y}{−7} = −14$
Substitute $y = 98$ . $y = 98$ を代入する。
Divide. 割る。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.15例題 2.15

Solve:

− n = 9 .

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次の方程式を解く：

− n = 9

Solution解答


Remember $− n$ is equivalent to $−1 n$ . $− n$ は $−1 n$ と同じであることを思い出そう。
Divide both sides by $−1$ . 両辺を $−1$ で割る。
Divide. 割る。
Notice that there are two other ways to solve $− n = 9$ . We can also solve this equation by multiplying both sides by $−1$ and also by taking the opposite of both sides. $− n = 9$ には、ほかにも2つの解き方がある。両辺に $−1$ を掛けても、両辺の符号を逆にしても、この方程式を解ける。
Check: 確認：
Substitute $n = −9$ . $n = −9$ を代入する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 2.16例題 2.16

Solve:

\frac{3}{4} x = 12 .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{3}{4} x = 12

Solution解答

Since the product of a number and its reciprocal is 1, our strategy will be to isolate

x

by multiplying by the reciprocal of

\frac{3}{4}

英語のヒント

ある数とその逆数の積は1なので、

\frac{3}{4}

の逆数を掛けて

x

だけにする方針をとる。


Multiply by the reciprocal of $\frac{3}{4}$ . $\frac{3}{4}$ の逆数を掛ける。
Reciprocals multiply to 1. 互いに逆数の数を掛けると1になる。
Multiply. 掛ける。
Notice that we could have divided both sides of the equation $\frac{3}{4} x = 12$ by $\frac{3}{4}$ to isolate $x$ . While this would work, most people would find multiplying by the reciprocal easier. 方程式 $\frac{3}{4} x = 12$ の両辺を $\frac{3}{4}$ で割って、 $x$ だけにすることもできる。この方法でも解けるが、逆数を掛けるほうが簡単だと感じる人が多いだろう。
Check: 確認：
Substitute $x = 16$ . $x = 16$ を代入する。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, all the variable terms are on the right side of the equation. As always, our goal in solving the equation is to isolate the variable.

英語のヒント

次の例題では、変数の項がすべて右辺にある。方程式を解くときの目標は、いつもどおり変数だけにすることである。

Example 2.17例題 2.17

Solve:

\frac{8}{15} = - \frac{4}{5} x .

英語のヒント

次の方程式を解く：

\frac{8}{15} = - \frac{4}{5} x

Solution解答


Multiply by the reciprocal of $- \frac{4}{5}$ . $- \frac{4}{5}$ の逆数を掛ける。
Reciprocals multiply to 1. 互いに逆数の数を掛けると1になる。
Multiply. 掛ける。
Check: 確認：
Let $x = - \frac{2}{3}$ . $x = - \frac{2}{3}$ とおく。

Try It (2)確認問題（2題）

第2章一次方程式と不等式を解く

2.2 Solve Equations using the Division and Multiplication Properties of Equality2.2 等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く

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Solve Equations Using the Division and Multiplication Properties of Equality等式の除法と乗法の性質を使って方程式を解く

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

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