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第2章一次方程式と不等式を解く

2.3 Solve Equations with Variables and Constants on Both Sides2.3　両辺に変数と定数がある方程式を解く

Learning Objectives学習目標

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Solve an equation with constants on both sides
    英語のヒント
    両辺に定数がある方程式を解く
  • Solve an equation with variables on both sides
    英語のヒント
    両辺に変数がある方程式を解く
  • Solve an equation with variables and constants on both sides
    英語のヒント
    両辺に変数と定数がある方程式を解く
Before You Begin (1)準備問題（1題）

Solve Equations with Constants on Both Sides両辺に定数のある方程式を解く

In all the equations we have solved so far, all the variable terms were on only one side of the equation with the constants on the other side. This does not happen all the time—so now we will learn to solve equations in which the variable terms, or constant terms, or both are on both sides of the equation.
英語のヒント
ここまで解いた方程式では、変数の項はすべて一方の辺だけにあり、定数はもう一方の辺にあった。常にそうなるとは限らない。ここからは、変数の項、定数項、またはその両方が両辺にある方程式の解き方を学ぶ。
Our strategy will involve choosing one side of the equation to be the “variable side”, and the other side of the equation to be the “constant side.” Then, we will use the Subtraction and Addition Properties of Equality to get all the variable terms together on one side of the equation and the constant terms together on the other side.
英語のヒント
一方の辺を「変数の辺」、もう一方を「定数の辺」と決める方針をとる。次に、等式の減法と加法の性質を使って、変数の項をすべて一方の辺に、定数項をすべてもう一方の辺にまとめる。
By doing this, we will transform the equation that began with variables and constants on both sides into the form ax=b. We already know how to solve equations of this form by using the Division or Multiplication Properties of Equality.
英語のヒント
こうして、変数と定数が両辺にあった方程式を、ax=bの形に変形する。この形の方程式なら、等式の除法や乗法の性質で解く方法をすでに知っている。
Example 2.27例題 2.27
Solve: 7x+8=−13.
英語のヒント
次の方程式を解く：7x+8=−13

Solution解答

In this equation, the variable is found only on the left side. It makes sense to call the left side the “variable” side. Therefore, the right side will be the “constant” side. We will write the labels above the equation to help us remember what goes where.
英語のヒント
この方程式では変数が左辺だけにあるので、左辺を「変数の辺」とするのが自然である。したがって、右辺が「定数の辺」になる。何をどちらにまとめるかを忘れないよう、方程式の上にラベルを書いておく。
方程式7x＋8＝−13の図。左辺には赤い文字で「変数」、右辺には赤い文字で「定数」とラベルが付いている。
Since the left side is the “x”, or variable side, the 8 is out of place. We must “undo” adding 8 by subtracting 8, and to keep the equality we must subtract 8 from both sides.
英語のヒント
左辺は「x」、つまり変数の辺なので、8はふさわしくない場所にある。8を引いて加法を元に戻す必要があり、等式を保つため、両辺から8を引かなければならない。
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Use the Subtraction Property of Equality.
等式の減法の性質を使う。
.
Simplify.
簡単にする。
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Now all the variables are on the left and the constant on the right.
The equation looks like those you learned to solve earlier.
これで変数はすべて左辺に、定数は右辺にある。方程式は、すでに解き方を学んだ形になった。
Use the Division Property of Equality.
等式の除法の性質を使う。
.
Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
.
Let x=−3.
x=−3とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 2.28例題 2.28
Solve: 8y−9=31.
英語のヒント
次の方程式を解く：8y−9=31
Solution解答

Solution解答

Notice, the variable is only on the left side of the equation, so we will call this side the “variable” side, and the right side will be the “constant” side. Since the left side is the “variable” side, the 9 is out of place. It is subtracted from the 8y, so to “undo” subtraction, add 9 to both sides. Remember, whatever you do to the left, you must do to the right.
英語のヒント
変数は左辺だけにあるので、こちらを「変数の辺」、右辺を「定数の辺」とする。左辺は変数の辺なので、9はふさわしくない場所にある。8yから9を引いているので、減法を元に戻すため、両辺に9を足す。左辺に行う操作は右辺にも行うことを忘れないようにする。
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Add 9 to both sides.
両辺に9を足す。
.
Simplify.
簡単にする。
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The variables are now on one side and the constants on the other.
We continue from here as we did earlier.
変数は一方の辺に、定数はもう一方の辺にまとまった。ここからは前と同じように進める。
Divide both sides by 8.
両辺を8で割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
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Let y=5.
y=5とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）

Solve Equations with Variables on Both Sides両辺に変数のある方程式を解く

What if there are variables on both sides of the equation? For equations like this, begin as we did above—choose a “variable” side and a “constant” side, and then use the subtraction and addition properties of equality to collect all variables on one side and all constants on the other side.
英語のヒント
変数が両辺にある場合はどうだろうか。このような方程式でも、まず先ほどと同じように「変数の辺」と「定数の辺」を決める。次に、等式の減法と加法の性質を使って、変数をすべて一方の辺に、定数をすべてもう一方の辺にまとめる。
Example 2.29例題 2.29
Solve: 9x=8x−6.
英語のヒント
次の方程式を解く：9x=8x−6

Solution解答

Here the variable is on both sides, but the constants only appear on the right side, so let’s make the right side the “constant” side. Then the left side will be the “variable” side.
英語のヒント
ここでは変数は両辺にあるが、定数は右辺だけにある。そこで右辺を「定数の辺」、左辺を「変数の辺」としよう。
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We don’t want any x’s on the right, so subtract the 8x from both sides.
右辺にxを残したくないので、両辺から8xを引く。
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Simplify.
簡単にする。
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We succeeded in getting the variables on one side and the constants on the other, and have obtained the solution.
変数を一方の辺に、定数をもう一方の辺にまとめることができ、解が得られた。
Check:
確認：
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Let x=−6.
x=−6とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 2.30例題 2.30
Solve: 5y−9=8y.
英語のヒント
次の方程式を解く：5y−9=8y

Solution解答

The only constant is on the left and the y’s are on both sides. Let’s leave the constant on the left and get the variables to the right.
英語のヒント
定数は左辺だけにあり、yは両辺にある。定数を左辺に残して、変数を右辺にまとめよう。
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Subtract 5y from both sides.
両辺から5yを引く。
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Simplify.
簡単にする。
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We have the y’s on the right and the
constants on the left. Divide both sides by 3.
yは右辺に、定数は左辺にまとまった。両辺を3で割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Check:
確認：
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Let y=−3.
y=−3とおく。
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Try It (2)確認問題（2題）
Example 2.31例題 2.31
Solve: 12x=−x+26.
英語のヒント
次の方程式を解く：12x=−x+26

Solution解答

The only constant is on the right, so let the left side be the “variable” side.
英語のヒント
定数は右辺だけにあるので、左辺を「変数の辺」とする。
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Remove the −x from the right side by adding x to both sides.
両辺にxを足して、右辺から−xをなくす。
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Simplify.
簡単にする。
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All the x’s are on the left and the constants are on the right. Divide both sides by 13.
xはすべて左辺に、定数は右辺にある。両辺を13で割る。
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Simplify.
簡単にする。
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Try It (2)確認問題（2題）