第1章基礎

Identify and Combine Like Terms同類項を見分けてまとめる

Algebraic expressions are made up of terms. A term is a constant, or the product of a constant and one or more variables.

英語のヒント

代数式は項からできている。項とは、定数、または定数と一つ以上の変数の積である。

Examples of terms are

7, y, 5 x^{2}, 9 a, and b^{5} .

英語のヒント

項の例として、

7, y, 5 x^{2}, 9 a, と b^{5}

がある。

The constant that multiplies the variable is called the coefficient.

英語のヒント

変数に掛けられている定数を係数という。

Think of the coefficient as the number in front of the variable. The coefficient of the term 3x is 3. When we write x, the coefficient is 1, since

x = 1 \cdot x .

英語のヒント

係数は、変数の前にある数だと考えよう。項3xの係数は3である。xとだけ書いたときは、

x = 1 \cdot x

なので係数は1である。

Example 1.21例題 1.21

Identify the coefficient of each term: ⓐ 14y ⓑ

15 x^{2}

英語のヒント

各項の係数を答えよ。ⓐ 14y　ⓑ

15 x^{2}

　ⓒ a

Solution解答

ⓐ The coefficient of 14y is 14.

ⓑ The coefficient of

15 x^{2}

is 15.

ⓒ The coefficient of a is 1 since

a = 1 a .

英語のヒント

ⓐ 14yの係数は14。ⓑ

15 x^{2}

の係数は15。ⓒ

a = 1 a

なので、aの係数は1。

Try It (2)確認問題（2題）

Some terms share common traits. Look at the following 6 terms. Which ones seem to have traits in common?

英語のヒント

共通の特徴を持つ項がある。次の六つの項を見よう。どれとどれに共通点がありそうだろうか。

\begin{matrix} 5 x & 7 & n^{2} & 4 & 3 x & 9 n^{2} \end{matrix}

The 7 and the 4 are both constant terms.

英語のヒント

7と4は、どちらも定数項である。

The 5x and the 3x are both terms with x.

英語のヒント

5xと3xは、どちらもxを含む項である。

The

n^{2}

and the

9 n^{2}

are both terms with

n^{2} .

英語のヒント

n^{2}

と

9 n^{2}

は、どちらも

n^{2}

を含む項である。

When two terms are constants or have the same variable and exponent, we say they are like terms.

英語のヒント

二つの項がともに定数であるか、変数と指数が同じとき、それらを同類項という。

7 and 4 are like terms.
英語のヒント
7と4は同類項である。
5x and 3x are like terms.
英語のヒント
5xと3xは同類項である。
$x^{2}$ and $9 x^{2}$ are like terms.
英語のヒント
$x^{2}$ と $9 x^{2}$ は同類項である。

Example 1.22例題 1.22

Identify the like terms:

y^{3},

7 x^{2},

14, 23,

4 y^{3},

9x,

5 x^{2} .

英語のヒント

同類項を見つけよ。

y^{3}

7 x^{2}

　14、23、

4 y^{3}

　9x、

5 x^{2}

Solution解答

y^{3}

and

4 y^{3}

are like terms because both have

y^{3};

the variable and the exponent match.

英語のヒント

y^{3}

と

4 y^{3}

にはどちらも

y^{3};

があり、変数と指数が一致するので、同類項である。

7 x^{2}

and

5 x^{2}

are like terms because both have

x^{2};

the variable and the exponent match.

英語のヒント

7 x^{2}

と

5 x^{2}

にはどちらも

x^{2};

があり、変数と指数が一致するので、同類項である。

14 and 23 are like terms because both are constants.

英語のヒント

14と23はどちらも定数なので、同類項である。

There is no other term like 9x.

英語のヒント

9xと同類の項はほかにない。

Try It (2)確認問題（2題）

Adding or subtracting terms forms an expression. In the expression

2 x^{2} + 3 x + 8,

from Example 1.20, the three terms are

2 x^{2}, 3 x,

and 8.

英語のヒント

項を足したり引いたりして式ができる。例題1.20の式

2 x^{2} + 3 x + 8

には、

2 x^{2}, 3 x

と8という三つの項がある。

Example 1.23例題 1.23

Identify the terms in each expression.

英語のヒント

各式の項を答えよ。

ⓐ $9 x^{2} + 7 x + 12$
ⓑ $8 x + 3 y$

Solution解答

ⓐ The terms of $9 x^{2} + 7 x + 12$ are $9 x^{2},$ 7x, and 12.

英語のヒント
ⓐ $9 x^{2} + 7 x + 12$ の項は、 $9 x^{2}$ 、7x、12である。
ⓑ The terms of $8 x + 3 y$ are 8x and 3y.
英語のヒント
ⓑ $8 x + 3 y$ の項は、8xと3yである。

Try It (2)確認問題（2題）

If there are like terms in an expression, you can simplify the expression by combining the like terms. What do you think

4 x + 7 x + x

would simplify to? If you thought 12x, you would be right!

英語のヒント

式に同類項があれば、それらをまとめて式を簡単にできる。

4 x + 7 x + x

を簡単にするとどうなるだろうか。12xと考えたなら正解である。

\begin{matrix} 4 x + 7 x + x \\ x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x + x \\ 12 x \end{matrix}

Add the coefficients and keep the same variable. It doesn’t matter what x is—if you have 4 of something and add 7 more of the same thing and then add 1 more, the result is 12 of them. For example, 4 oranges plus 7 oranges plus 1 orange is 12 oranges. We will discuss the mathematical properties behind this later.

英語のヒント

係数を足し、変数はそのままにする。xが何であっても、ある物が4個あり、同じ物を7個加え、さらに1個加えれば、12個になる。たとえば、オレンジ4個に7個と1個を足せば、オレンジ12個になる。この背後にある数学の性質は後で扱う。

Simplify:

4 x + 7 x + x .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

4 x + 7 x + x

Add the coefficients. 12x

英語のヒント

係数を足す。12x

Example 1.24例題 1.24

How To Combine Like Terms同類項をまとめる方法

Simplify:

2 x^{2} + 3 x + 7 + x^{2} + 4 x + 5 .

英語のヒント

次の式を簡単にする：

2 x^{2} + 3 x + 7 + x^{2} + 4 x + 5

Solution解答

左側に3段階の説明、右側に四つの代数式が並ぶ。最初の説明は「手順1．同類項を見つける」。右には2x²＋3x＋7＋x²＋4x＋5という式がある。その下の同じ式では、同類項を示すため、2x²とx²が赤、3xと4xが青、7と5が緑で書かれている。

左側の次の説明は「手順2．同類項が隣り合うように式を並べ替える」。右側は元の項を並べ替えた式で、2x²＋x²が赤、3x＋4xが青、7＋5が緑で書かれている。

Try It (2)確認問題（2題）

Translate an English Phrase to an Algebraic Expression英語の句を代数式に直す

In the last section, we listed many operation symbols that are used in algebra, then we translated expressions and equations into English phrases and sentences. Now we’ll reverse the process. We’ll translate English phrases into algebraic expressions. The symbols and variables we’ve talked about will help us do that. Table 1.4 summarizes them.

英語のヒント

前の項目では、代数で使う多くの演算記号を挙げ、式や等式を英語の句や文に直した。今度は逆に、英語の句を代数式に直す。これまでに扱った記号や変数が役立つ。表1.4にまとめを示す。

Table 1.4表 1.4
Operation 演算	Phrase 句	Expression 式
Addition 加法	a plus b the sum of $a$ and b $a$ increased by b b more than $a$ the total of $a$ and b b added to $a$ aにbを加える $a$ とbの和 $a$ をbだけ増やす $a$ よりb多い $a$ とbの合計 $a$ にbを加えたもの	$a + b$
Subtraction 減法	$a$ minus b the difference of $a$ and b $a$ decreased by b b less than $a$ b subtracted from $a$ $a$ からbを引く $a$ とbの差 $a$ をbだけ減らす $a$ よりb少ない $a$ からbを引いたもの	$a - b$
Multiplication 乗法	$a$ times b the product of $a$ and b twice $a$ $a$ にbを掛ける $a$ とbの積 $a$ の2倍	$a \cdot b, a b, a (b), (a) (b)$ 2a
Division 割り算	$a$ divided by b the quotient of $a$ and b the ratio of $a$ and b b divided into $a$ $a$ をbで割る $a$ をbで割った商 $a$ とbの比bで $a$ を割る	$a \div b, a / b, \frac{a}{b}, b a$

Look closely at these phrases using the four operations:

英語のヒント

四則演算を使う次の表現を、よく見よう。

四つの句、the sum of a and b（aとbの和）、the difference of a and b（aとbの差）、the product of a and b（aとbの積）、the quotient of a and b（aをbで割った商）が示され、それぞれofとandが赤で書かれている。

Each phrase tells us to operate on two numbers. Look for the words of and and to find the numbers.

英語のヒント

それぞれの句は、二つの数に演算を行うことを示す。ofとandを探して、その二つの数を見つけよう。

Example 1.25例題 1.25

Translate each English phrase into an algebraic expression: ⓐ the difference of

17 x

and

5

ⓑ the quotient of

10 x^{2}

and

7 .

英語のヒント

各句を代数式に直せ。ⓐ

17 x

と

5

の差　ⓑ

10 x^{2}

を

7

で割った商

Solution解答

ⓐ The key word is difference, which tells us the operation is subtraction. Look for the words of and and to find the numbers to subtract.
英語のヒント
ⓐ キーワードはdifference（差）であり、演算が引き算であることを示す。ofとandという語を探して、引き算に使う数を見つける。
ⓑ The key word is “quotient,” which tells us the operation is division.
英語のヒント
ⓑ キーワードはquotient（商）であり、演算が割り算であることを示す。

上段にthe quotient of 10x squared and 7とあり、ofとandが赤で書かれている。その下に10x²を7で割るという説明、さらに下に10x²、除号、v7と示されている。

This can also be written

10 x^{2} / 7 or \frac{10 x^{2}}{7} .

英語のヒント

これは

10 x^{2} / 7 または \frac{10 x^{2}}{7}

とも書ける。

Try It (2)確認問題（2題）

How old will you be in eight years? What age is eight more years than your age now? Did you add 8 to your present age? Eight “more than” means 8 added to your present age. How old were you seven years ago? This is 7 years less than your age now. You subtract 7 from your present age. Seven “less than” means 7 subtracted from your present age.

英語のヒント

8年後、あなたは何歳になるだろうか。今より8歳上というのは何歳だろうか。今の年齢に8を足しただろうか。eight more thanは、今の年齢に8を加えるという意味である。7年前、あなたは何歳だっただろうか。これは今の年齢より7歳少ない。今の年齢から7を引く。seven less thanは、今の年齢から7を引くという意味である。

Example 1.26例題 1.26

Translate the English phrase into an algebraic expression: ⓐ Seventeen more than y ⓑ Nine less than

9 x^{2} .

英語のヒント

各句を代数式に直せ。ⓐ yより17多い　ⓑ

9 x^{2}

より9少ない

Solution解答

ⓐ The key words are more than. They tell us the operation is addition. More than means “added to.”
英語のヒント
ⓐ キーワードはmore thanであり、足し算を示す。more thanはadded to（～に加えた）という意味である。

$\begin{matrix} Seventeen more than y \\ Seventeen added to y \\ y + 17 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 17だけ大きい数： y \\ 17を加える数： y \\ y + 17 \end{matrix}$
ⓑ The key words are less than. They tell us to subtract. Less than means “subtracted from.”
英語のヒント
ⓑ キーワードはless thanであり、引き算を示す。less thanはsubtracted from（～から引いた）という意味である。

$\begin{matrix} Nine less than 9 x^{2} \\ Nine subtracted from 9 x^{2} \\ 9 x^{2} - 9 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 9だけ小さい数： 9 x^{2} \\ 9を引く元の数： 9 x^{2} \\ 9 x^{2} - 9 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.27例題 1.27

Translate the English phrase into an algebraic expression: ⓐ five times the sum of m and n ⓑ the sum of five times m and n.

英語のヒント

各句を代数式に直せ。ⓐ mとnの和の5倍　ⓑ mの5倍とnの和

Solution解答

There are two operation words—times tells us to multiply and sum tells us to add.

英語のヒント

演算を示す語が二つある。timesは掛け算、sumは足し算を表す。

ⓐ Because we are multiplying 5 times the sum we need parentheses around the sum of m and n, $(m + n) .$ This forces us to determine the sum first. (Remember the order of operations.)
英語のヒント
ⓐ 和を5倍するので、mとnの和を $(m + n)$ のように括弧で囲む必要がある。これにより、和を先に求めることになる。（演算の順序を思い出そう。）

$\begin{matrix} five times the sum of m and n \\ 5 (m + n) \end{matrix}$
$\begin{matrix} 5倍する和の項： m と n \\ 5 (m + n) \end{matrix}$
ⓑ To take a sum, we look for the words “of” and “and” to see what is being added. Here we are taking the sum of five times m and n.
英語のヒント
ⓑ 和を求めるときは、ofとandを探し、何を足すのかを確かめる。ここでは、mの5倍とnの和を求める。

$\begin{matrix} the sum of five times m and n \\ 5 m + n \end{matrix}$
$\begin{matrix} 和： 5倍する数： m と n \\ 5 m + n \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Later in this course, we’ll apply our skills in algebra to solving applications. The first step will be to translate an English phrase to an algebraic expression. We’ll see how to do this in the next two examples.

英語のヒント

この先、身に付けた代数の技能を応用問題に使う。最初の手順は、英語の句を代数式に直すことである。次の二つの例で、その方法を見ていこう。

Example 1.28例題 1.28

The length of a rectangle is 6 less than the width. Let w represent the width of the rectangle. Write an expression for the length of the rectangle.

英語のヒント

長方形の縦の長さは、横の長さより6短い。横の長さをwとして、縦の長さを表す式を書け。

Solution解答

Write a phrase about the length of the rectangle. 長方形の縦の長さを言葉で書く。	6 less than the width 横の長さより6短い
Substitute $w$ for "the width." 「横の長さ」を $w$ に置き換える。	6 less than $w$ $w$ より6小さい
Rewrite "less than" as "subtracted from." less thanをsubtracted from（～から引いた）と言い換える。	6 subtracted from $w$ $w$ から6を引く
Translate the phrase into algebra. 言葉の表現を代数式に直す。	$w - 6$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 1.29例題 1.29

June has dimes and quarters in her purse. The number of dimes is three less than four times the number of quarters. Let q represent the number of quarters. Write an expression for the number of dimes.

英語のヒント

ジューンの財布には10セント硬貨と25セント硬貨がある。10セント硬貨の枚数は、25セント硬貨の枚数の4倍より3枚少ない。25セント硬貨の枚数をqとして、10セント硬貨の枚数を表す式を書け。

Solution解答

Write a phrase about the number of dimes. 10セント硬貨の枚数についての言葉の表現を書く。	three less than four times the number of quarters 25セント硬貨の枚数の4倍より3枚少ない
Substitute $q$ for the number of quarters. 25セント硬貨の枚数を $q$ に置き換える。	3 less than 4 times $q$ $q$ の4倍より3小さい
Translate "4 times $q$ ." 「 $q$ の4倍」を式に直す。	3 less than $4 q$ $4 q$ より3小さい
Translate the phase into algebra. 言葉を代数式に直す。	$4 q - 3$

Try It (2)確認問題（2題）