プリンキピア

第6章多項式

6.3 Multiply Polynomials6.3　多項式の乗法

Learning Objectives学習目標

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By the end of this section, you will be able to:
英語のヒント
この節を終えると、次のことができるようになる。
  • Multiply a polynomial by a monomial
    英語のヒント
    多項式に単項式を掛ける
  • Multiply a binomial by a binomial
    英語のヒント
    二項式どうしを掛ける
  • Multiply a trinomial by a binomial
    英語のヒント
    三項式に二項式を掛ける
Before You Begin (2)準備問題（2題）

Multiply a Polynomial by a Monomial多項式に単項式を掛ける

We have used the Distributive Property to simplify expressions like 2(x−3). You multiplied both terms in the parentheses, xand3, by 2, to get 2x−6. With this chapter’s new vocabulary, you can say you were multiplying a binomial, x−3, by a monomial, 2.
英語のヒント
2(x−3)のような式を簡単にするために、分配法則を使ってきた。括弧内の両方の項xと3に2を掛け、2x−6を得た。この章で学んだ用語を使えば、二項式x−3に単項式2を掛けたことになる。
Multiplying a binomial by a monomial is nothing new for you! Here’s an example:
英語のヒント
二項式に単項式を掛けることは、初めてのことではない。例を見てみよう。
Example 6.28例題 6.28
Multiply: 4(x+3).
英語のヒント
次の乗法を計算する：4(x+3)

Solution解答
4(x＋3)。4からxと3に2本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
4×x＋4×3。
Simplify.
簡単にする。
4x＋12。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.29例題 6.29
Multiply: y(y−2).
英語のヒント
次の乗法を計算する：y(y−2)

Solution解答
y(y−2)。括弧外のyから、括弧内のyと−2に2本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
y×y−y×2。
Simplify.
簡単にする。
y²−2y。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.30例題 6.30
Multiply: 7x(2x+y).
英語のヒント
次の乗法を計算する：7x(2x+y)

Solution解答
7x(2x＋y)。7xから2xとyに2本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
7x×2x＋7x×y。
Simplify.
簡単にする。
14x²＋7xy。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.31例題 6.31
Multiply: −2y(4y2+3y−5).
英語のヒント
次の乗法を計算する：−2y(4y2+3y−5)

Solution解答
−2y(4y²＋3y−5)。−2yから4y²、3y、−5に3本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
−2y×4y²＋(−2y)×3y−(−2y)×5。
Simplify.
簡単にする。
−8y³−6y²＋10y。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.32例題 6.32
Multiply: 2x3(x2−8x+1).
英語のヒント
次の乗法を計算する：2x3(x2−8x+1)
Solution解答

Solution解答
2x³(x²−8x＋1)。2x³からx²、−8x、1に3本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
2x³×x²＋2x³×(−8x)＋2x³×1。
Simplify.
簡単にする。
2x⁵−16x⁴＋2x³。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.33例題 6.33
Multiply: (x+3)p.
英語のヒント
次の乗法を計算する：(x+3)p

Solution解答

The monomial is the second factor.
単項式が2番目の因数になっている。
(x＋3)p。pからxと3に2本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
x×p＋3×p。
Simplify.
簡単にする。
xp＋3p。
Try It (2)確認問題（2題）

Multiply a Binomial by a Binomial二項式どうしを掛ける

Just like there are different ways to represent multiplication of numbers, there are several methods that can be used to multiply a binomial times a binomial. We will start by using the Distributive Property.
英語のヒント
数の掛け算にいろいろな表し方があるのと同じように、二項式どうしの掛け算にも、いくつかの方法がある。まず分配法則を使う方法から始めよう。

Multiply a Binomial by a Binomial Using the Distributive Property分配法則を使って二項式どうしを掛ける

Look at Example 6.33, where we multiplied a binomial by a monomial.
英語のヒント
二項式に単項式を掛けた例題6.33を見よう。
(x＋3)p。pからxと3に2本の矢印が伸びている。
We distributed the p to get:
pを分配して、次を得た。
xp＋3p。
What if we have (x + 7) instead of p?
pの代わりに(x＋7)だったらどうなるか。
(x＋3)(x＋7)。(x＋7)から最初の二項式のxと3に2本の矢印が伸びている。
Distribute (x + 7).
(x＋7)を分配する。
二つの積の和、x(x＋7)＋3(x＋7)。
Distribute again.
もう一度、分配法則を使う。
x²＋7x＋3x＋21。
Combine like terms.
同類項をまとめる。
x²＋10x＋21。
Notice that before combining like terms, you had four terms. You multiplied the two terms of the first binomial by the two terms of the second binomial—four multiplications.
英語のヒント
同類項をまとめる前には、項が四つあったことに注目しよう。最初の二項式の二つの項を、2番目の二項式の二つの項に掛けたので、掛け算は4回である。
Example 6.34例題 6.34
Multiply: (y+5)(y+8).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(y+5)(y+8)
Solution解答
(y＋5)(y＋8)。(y＋8)から最初の二項式のyと5に2本の矢印が伸びている。
Distribute (y + 8).
(y＋8)を分配する。
二つの積の和、y(y＋8)＋5(y＋8)。
Distribute again
もう一度分配する。
y²＋8y＋5y＋40。
Combine like terms.
同類項をまとめる。
y²＋13y＋40。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.35例題 6.35
Multiply: (2y+5)(3y+4).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(2y+5)(3y+4)
Solution解答
(2y＋5)(3y＋4)。(3y＋4)から最初の二項式の2yと5に2本の矢印が伸びている。
Distribute (3y + 4).
(3y＋4)を分配する。
二つの積の和、2y(3y＋4)＋5(3y＋4)。
Distribute again
もう一度分配する。
6y²＋8y＋15y＋20。
Combine like terms.
同類項をまとめる。
6y²＋23y＋20。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.36例題 6.36
Multiply: (4y+3)(2y−5).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(4y+3)(2y−5)
Solution解答
(4y＋3)(2y−5)。(2y−5)から最初の二項式の4yと3に2本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
二つの積の和、4y(2y−5)＋3(2y−5)。
Distribute again.
もう一度、分配法則を使う。
8y²−20y＋6y−15。
Combine like terms.
同類項をまとめる。
18y²−14y−15。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.37例題 6.37
Multiply: (x-2)(x−y).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(x-2)(x−y)
Solution解答
(x−2)(x−y)。(x−y)から最初の二項式のxと2に2本の矢印が伸びている。
Distribute.
分配法則を使う。
二つの積の差、x(x−7)−2(x−y)。
Distribute again.
もう一度、分配法則を使う。
x²−xy−2x＋2y。
There are no like terms to combine.
まとめられる同類項はない。
Try It (2)確認問題（2題）

Multiply a Binomial by a Binomial Using the FOIL MethodFOIL法を使って二項式どうしを掛ける

Remember that when you multiply a binomial by a binomial you get four terms. Sometimes you can combine like terms to get a trinomial, but sometimes, like in Example 6.37, there are no like terms to combine.
英語のヒント
二項式どうしを掛けると、四つの項が得られる。同類項をまとめて三項式にできる場合もあれば、例題6.37のように、まとめられる同類項がない場合もある。
Let’s look at the last example again and pay particular attention to how we got the four terms.
英語のヒント
最後の例をもう一度見て、四つの項をどのように得たのかに注目しよう。
(x−2)(x−y)x2−xy−2x+2y
Where did the first term, x2, come from?
英語のヒント
最初の項x2は、どこから来たのだろうか。
FOIL法で(x−2)(x−y)を計算する図。左列が説明、右列が式である。 1行目は「x²は、二項式の最初の項xとxの積」。xどうしを結ぶ矢印があり、「First（最初）」と示す。2行目は「−xyは、外側の二つの項xと−yの積」。xから−yへの矢印があり、「Outer（外側）」と示す。 3行目は「−2xは、内側の二つの項−2とxの積」。−2からxへの矢印があり、「Inner（内側）」と示す。4行目は「＋2yは、最後の二つの項−2と−yの積」。−2から−yへの矢印があり、「Last（最後）」と示す。
We abbreviate “First, Outer, Inner, Last” as FOIL. The letters stand for ‘First, Outer, Inner, Last’. The word FOIL is easy to remember and ensures we find all four products.
英語のヒント
「First、Outer、Inner、Last」を略してFOILという。各文字は「最初、外側、内側、最後」を表す。FOILは覚えやすく、四つの積を漏らさず求められる。
(x−2)(x−y)x2−xy−2x+2yFOIL
Let’s look at (x+3)(x+7).
英語のヒント
(x+3)(x+7)を見てみよう。
Distibutive Property
分配法則
FOIL
FOIL法
(x＋3)(x＋7)。
(x＋3)と(x＋y)の積。最初の二項式のxから、(x＋7)のxと7へ、3からもxと7へ、計4本の矢印が伸びている。
二つの積の和、x(x＋7)＋3(x＋7)。
x²＋7x＋3x＋21。各項の下にF、O、I、Lが順にある。
x²＋7x＋3x＋21。各項の下にF、O、I、Lが順にある。
x²＋10x＋21。
x²＋10x＋21。
Notice how the terms in third line fit the FOIL pattern.
英語のヒント
3行目の各項が、どのようにFOILの順序に対応しているか注目しよう。
Now we will do an example where we use the FOIL pattern to multiply two binomials.
英語のヒント
次に、FOILの順序を使って二項式どうしを掛ける例を見よう。
Example 6.38例題 6.38
How to Multiply a Binomial by a Binomial using the FOIL MethodFOIL法で二項式どうしを掛ける手順
Multiply using the FOIL method: (x+5)(x+9).
英語のヒント
FOIL法を使って掛ける：(x+5)(x+9)
Solution解答
5行3列の手順表。左列に手順、中央と右列に式がある。1行目は「手順1．最初の項どうしを掛ける」。中央に(x＋5)(x＋9)があり、xどうしを結ぶ矢印がある。右列はx²＋空欄＋空欄＋空欄で、下にF、O、I、Lが並ぶ。
2行目は「手順2．外側の項どうしを掛ける」。中央の(x＋5)(x＋9)にxから9への矢印がある。右列はx²＋9x＋空欄＋空欄で、下にF、O、I、Lが並ぶ。
3行目は「手順3．内側の項どうしを掛ける」。中央の(x＋5)(x＋9)に5からxへの矢印がある。右列はx²＋9x＋5x＋空欄で、下にF、O、I、Lが並ぶ。
4行目は「手順4．最後の項どうしを掛ける」。中央の(x＋5)(x＋9)に5から9への矢印がある。右列はx²＋9x＋6x＋45で、下にF、O、I、Lが並ぶ。
最後の行は「手順5．まとめられる同類項があればまとめる」。中央は空欄で、右列に最終的な式x²＋15x＋45がある。
Try It (2)確認問題（2題）
We summarize the steps of the FOIL method below. The FOIL method only applies to multiplying binomials, not other polynomials!
英語のヒント
FOIL法の手順を以下にまとめる。FOIL法が使えるのは二項式どうしの掛け算だけで、ほかの多項式には使えない。
When you multiply by the FOIL method, drawing the lines will help your brain focus on the pattern and make it easier to apply.
英語のヒント
FOIL法で掛け算をするときには、線を描くと順序に集中でき、適用しやすくなる。
Example 6.39例題 6.39
Multiply: (y−7)(y+4).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(y−7)(y+4)
Solution解答
3列の図。左列が手順、中央と右列が式である。(y−7)(y＋4)を計算する。最初の項どうしを掛け、yからyへ矢印を引く。右列はy²＋空欄＋空欄＋空欄で、下にF、O、I、Lが並ぶ。 次に外側を掛け、yから4へ矢印を引くとy²＋4y＋空欄＋空欄になる。内側を掛け、−7からyへ矢印を引くとy²＋4y−7y＋空欄になる。最後の項を掛け、−7から4へ矢印を引くとy²＋4y−7y−28となる。各項の下にFOILの文字がある。最後に同類項をまとめ、y²−3y−28を得る。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.40例題 6.40
Multiply: (4x+3)(2x−5).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(4x+3)(2x−5)
Solution解答
Solution解答
(4x＋3)(2x−5)の計算を示す3列の図。最初の項4xと2xを掛け、8x²＋空欄＋空欄＋空欄となる。下にF、O、I、Lが並ぶ。外側の4xと−5を掛け、8x²−20x＋空欄＋空欄となる。 内側の3と2xを掛け、8x²−20x＋6x＋空欄となる。最後の3と−5を掛け、8x²−20x＋6x−15となる。同類項をまとめた結果は8x²−14x−15。右列の元の式には、4xから2xと−5へ、3から2xと−5へ、4本の矢印がある。
Try It (2)確認問題（2題）
The final products in the last four examples were trinomials because we could combine the two middle terms. This is not always the case.
英語のヒント
直前の四つの例では、中央の二つの項をまとめられたため、最終的な積が三項式になった。しかし、いつもそうなるとは限らない。
Example 6.41例題 6.41
Multiply: (3x−y)(2x−5).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(3x−y)(2x−5)
Solution解答
(3x−y)(2x−5)。
最初の二項式の3xから、2番目の2xと−5へ、yからも2xと−5へ、4本の矢印が伸びている。
Multiply the First.
最初の項どうしを掛ける。
6x²＋空欄＋空欄＋空欄。6x²の下にFがある。
Multiply the Outer.
外側の項どうしを掛ける。
6x²−15x＋空欄＋空欄。15xの下にOがある。
Multiply the Inner.
内側の項どうしを掛ける。
6x²−15x−2xy＋空欄。−2xyの下にIがある。
Multiply the Last.
最後の項どうしを掛ける。
6x²−15x−2xy＋5y。5yの下にLがある。
Combine like terms—there are none.
同類項をまとめる――今回は同類項がない。
6x²−15x−2xy＋5y。
Try It (2)確認問題（2題）
Be careful of the exponents in the next example.
英語のヒント
次の例では、指数に注意しよう。
Example 6.42例題 6.42
Multiply: (n2+4)(n−1).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(n2+4)(n−1)
Solution解答
(n²＋4)(n−1)。
(n²＋4)(n−1)。n²からnと−1へ、4からnと−1へ、4本の矢印が伸びている。
Multiply the First.
最初の項どうしを掛ける。
n³＋空欄＋空欄＋空欄。n³の下にFがある。
Multiply the Outer.
外側の項どうしを掛ける。
n³−n²＋空欄＋空欄。−n²の下にOがある。
Multiply the Inner.
内側の項どうしを掛ける。
n³−n²＋4n＋空欄。4nの下にIがある。
Multiply the Last.
最後の項どうしを掛ける。
n³−n²＋4n−4。−4の下にLがある。
Combine like terms—there are none.
同類項をまとめる――今回は同類項がない。
n³−n²＋4n−4。
Try It (2)確認問題（2題）
Example 6.43例題 6.43
Multiply: (3pq+5)(6pq−11).
英語のヒント
次の乗法を計算する：(3pq+5)(6pq−11)
Solution解答
Solution解答
(3pq＋5)(6pq−11)。
Multiply the First.
最初の項どうしを掛ける。
18p²q²＋空欄＋空欄＋空欄。18p²q²の下にFがある。
(3pq＋5)(6pq−11)。3pqから6pqと−11へ、5から6pqと−11へ、4本の矢印が伸びている。
Multiply the Outer.
外側の項どうしを掛ける。
18p²q²−33pq＋空欄＋空欄。−33pqの下にOがある。
Multiply the Inner.
内側の項どうしを掛ける。
18p²q²−33pq＋30pq＋空欄。30pqの下にIがある。
Multiply the Last.
最後の項どうしを掛ける。
18p²q²−33pq＋30pq−55。−55の下にLがある。
Combine like terms—there are none.
同類項をまとめる――今回は同類項がない。
18p²q²−33pq＋30pq−55。
Try It (2)確認問題（2題）