第1章基礎

1.4 Multiply and Divide Integers1.4　整数を掛ける・割る

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Multiply integers
英語のヒント
整数を掛ける
Divide integers
英語のヒント
整数を割る
Simplify expressions with integers
英語のヒント
整数を含む式を簡単にする
Evaluate variable expressions with integers
英語のヒント
整数を使って変数を含む式の値を求める
Translate English phrases to algebraic expressions
英語のヒント
英語の句を代数式に直す
Use integers in applications
英語のヒント
応用問題で整数を使う

Before You Begin学習の準備

Multiply Integers整数を掛ける

Since multiplication is mathematical shorthand for repeated addition, our model can easily be applied to show multiplication of integers. Let’s look at this concrete model to see what patterns we notice. We will use the same examples that we used for addition and subtraction. Here, we will use the model just to help us discover the pattern.

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掛け算は繰り返しの足し算を簡潔に表したものなので、コマのモデルを整数の乗法にも簡単に使える。この具体的なモデルを見て、どのような規則が見つかるか考えよう。加法と減法で使ったものと同じ例を使う。ここでは、規則を発見する助けとしてモデルを使う。

We remember that

a \cdot b

means add a, b times.

英語のヒント

a \cdot b

は、aをb回足すことを意味する。

左右に二つの図がある。左の上には5×3、その下に「5を3回足す」とある。青いコマが1行5個ずつ3行に並び、下に「正15個」、さらに5×3＝15とある。右の上には−5(3)、その下に「−5を3回足す」とある。赤いコマが1行5個ずつ3行に並び、下に「負15個」、さらに−5×3＝−15とある。

The next two examples are more interesting.

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次の二つの例は、さらに興味深い。

What does it mean to multiply 5 by

−3 ?

It means subtract 5, 3 times. Looking at subtraction as “taking away,” it means to take away 5, 3 times. But there is nothing to take away, so we start by adding neutral pairs on the workspace. Then we take away 5 three times.

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5に

−3

を掛けるとは、どういう意味だろうか。5を3回引くという意味である。引き算を「取り去る」と考えると、5を3回取り去ることになる。しかし、取り去る物がないので、まず打ち消し合う組を作業面に置き、そこから5を3回取り去る。

二列に分かれた図。左上には5×(−3)とあり、5を3回取り去ることを示す。赤い負のコマ5個の組が三つあり、それぞれの下に同数の青い正のコマがある。取り去った後に赤いコマ15個、つまり負15個が残り、下に5×(−3)＝−15とある。右上には−5×(−3)とあり、−5を3回取り去ることを示す。青い正のコマ5個の組が三つあり、それぞれの下に同数の赤い負のコマがある。取り去った後に青いコマ15個、つまり正15個が残り、下に−5×(−3)＝15とある。

In summary:

英語のヒント

まとめると、次のようになる。

\begin{matrix} 5 \cdot 3 & = & 15 & −5 (3) & = & −15 \\ 5 (−3) & = & −15 & (−5) (−3) & = & 15 \end{matrix}

Notice that for multiplication of two signed numbers, when the:

英語のヒント

符号付きの二つの数の乗法では、次のことが分かる。

signs are the same, the product is positive.
英語のヒント
符号が同じなら、積は正である。
signs are different, the product is negative.
英語のヒント
符号が異なるなら、積は負である。

We’ll put this all together in the chart below.

英語のヒント

これらを下の表にまとめる。

Multiplication of Signed Numbers符号付きの数の掛け算

For multiplication of two signed numbers:

英語のヒント

符号付きの二つの数の乗法：

Same signs 同じ符号	Product 積	Example 例
Two positives Two negatives 正の数2つ　負の数2つ	Positive Positive 正　正	$\begin{matrix} 7 \cdot 4 & = & 28 \\ −8 (−6) & = & 48 \end{matrix}$

Different signs 異なる符号	Product 積	Example 例
Positive · negative Negative · positive 正・負負・正	Negative Negative 負　負	$\begin{matrix} 7 (−9) & = & −63 \\ −5 \cdot 10 & = & −50 \end{matrix}$

Example 1.46例題 1.46

Multiply: ⓐ

−9 \cdot 3

ⓑ

−2 (−5)

ⓒ

4 (−8)

ⓓ

7 \cdot 6 .

英語のヒント

掛け算せよ。ⓐ

−9 \cdot 3

　ⓑ

−2 (−5)

　ⓒ

4 (−8)

　ⓓ

7 \cdot 6

Solution解答

Table 1.7表 1.7
ⓐ Multiply, noting that the signs are different so the product is negative. ⓐ 掛ける。符号が異なるので、積は負になる。	$\begin{matrix} −9 \cdot 3 \\ −27 \end{matrix}$
ⓑ Multiply, noting that the signs are the same so the product is positive. ⓑ 掛ける。符号が同じなので、積は正になる。	$\begin{matrix} −2 (−5) \\ 10 \end{matrix}$
ⓒ Multiply, with different signs. ⓒ 異なる符号の数を掛ける。	$\begin{matrix} 4 (−8) \\ −32 \end{matrix}$
ⓓ Multiply, with same signs. ⓓ 同じ符号の数を掛ける。	$\begin{matrix} 7 \cdot 6 \\ 42 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

When we multiply a number by 1, the result is the same number. What happens when we multiply a number by

−1 ?

Let’s multiply a positive number and then a negative number by

−1

to see what we get.

英語のヒント

ある数に1を掛けると、元と同じ数になる。では、

−1

を掛けるとどうなるだろうか。正の数と負の数に、それぞれ

−1

を掛けて確かめよう。

\begin{matrix} −1 \cdot 4 & −1 (−3) \\ Multiply. & −4 & 3 \\ −4 is the opposite of 4 . & 3 is the opposite of −3 . \end{matrix}

\begin{matrix} −1 \cdot 4 & −1 (−3) \\ 掛ける。 & −4 & 3 \\ −4 は次の数の符号を逆にした数： 4 . & 3 は次の数の符号を逆にした数： −3 . \end{matrix}

Each time we multiply a number by

−1,

we get its opposite!

英語のヒント

ある数に

−1

を掛けると、必ずその数の符号を逆にした数になる。

Example 1.47例題 1.47

Multiply: ⓐ

−1 \cdot 7

ⓑ

−1 (−11) .

英語のヒント

掛け算せよ。ⓐ

−1 \cdot 7

　ⓑ

−1 (−11)

Solution解答

Table 1.8表 1.8
ⓐ Multiply, noting that the signs are different so the product is negative. ⓐ 掛ける。符号が異なるので、積は負になる。	$\begin{matrix} −1 \cdot 7 \\ −7 \\ −7 is the opposite of 7 . \end{matrix}$ $\begin{matrix} −1 \cdot 7 \\ −7 \\ −7 は次の数の符号を逆にした数： 7 . \end{matrix}$
ⓑ Multiply, noting that the signs are the same so the product is positive. ⓑ 掛ける。符号が同じなので、積は正になる。	$\begin{matrix} −1 (−11) \\ 11 \\ 11 is the opposite of −11 . \end{matrix}$ $\begin{matrix} −1 (−11) \\ 11 \\ 11 は次の数の符号を逆にした数： −11 . \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

Divide Integers整数を割る

What about division? Division is the inverse operation of multiplication. So,

15 \div 3 = 5

because

5 \cdot 3 = 15 .

In words, this expression says that 15 can be divided into three groups of five each because adding five three times gives 15. Look at some examples of multiplying integers, to figure out the rules for dividing integers.

英語のヒント

割り算はどうだろうか。除法は乗法の逆の演算である。

5 \cdot 3 = 15

なので、

15 \div 3 = 5

となる。言葉でいえば、5を3回足すと15になるので、15は5個ずつの組三つに分けられる。整数の乗法の例を使って、整数の除法の規則を考えよう。

\begin{matrix} 5 \cdot 3 & = & 15 so 15 \div 3 & = & 5 & −5 (3) & = & −15 so −15 \div 3 & = & −5 \\ (−5) (−3) & = & 15 so 15 \div (−3) & = & −5 & 5 (−3) & = & −15 so −15 \div (−3) & = & 5 \end{matrix}

\begin{matrix} 5 \cdot 3 & = & 15 したがって 15 \div 3 & = & 5 & −5 (3) & = & −15 したがって −15 \div 3 & = & −5 \\ (−5) (−3) & = & 15 したがって 15 \div (−3) & = & −5 & 5 (−3) & = & −15 したがって −15 \div (−3) & = & 5 \end{matrix}

Division follows the same rules as multiplication!

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除法も、乗法と同じ規則に従う。

For division of two signed numbers, when the:

英語のヒント

符号付きの二つの数の除法では、次のようになる。

signs are the same, the quotient is positive.
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符号が同じなら、商は正である。
signs are different, the quotient is negative.
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符号が異なるなら、商は負である。

And remember that we can always check the answer of a division problem by multiplying.

英語のヒント

割り算の答えは、掛け算でいつでも確認できることも思い出そう。

Multiplication and Division of Signed Numbers符号付きの数の乗法と除法

For multiplication and division of two signed numbers:

英語のヒント

符号付きの二つの数の乗法と除法：

If the signs are the same, the result is positive.
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符号が同じなら、結果は正になる。
If the signs are different, the result is negative.
英語のヒント
符号が異なるなら、結果は負になる。

Same signs 同じ符号	Result 結果
Two positives Two negatives 正の数2つ　負の数2つ	Positive Positive 正　正
If the signs are the same, the result is positive. 符号が同じなら、結果は正になる。

Different signs 異なる符号	Result 結果
Positive and negative Negative and positive 正と負負と正	Negative Negative 負　負
If the signs are different, the result is negative. 符号が異なるなら、結果は負になる。

Example 1.48例題 1.48

Divide: ⓐ

−27 \div 3

ⓑ

−100 \div (−4) .

英語のヒント

割り算せよ。ⓐ

−27 \div 3

　ⓑ

−100 \div (−4)

Solution解答

Table 1.9表 1.9
ⓐ Divide. With different signs, the quotient is negative. ⓐ 割る。符号が異なるので、商は負になる。	$\begin{matrix} - 27 \div 3 \\ −9 \end{matrix}$
ⓑ Divide. With signs that are the same, the quotient is positive. ⓑ 割る。符号が同じなので、商は正になる。	$\begin{matrix} - 100 \div (−4) \\ 25 \end{matrix}$

Try It (2)確認問題（2題）

第1章基礎

1.4 Multiply and Divide Integers1.4 整数を掛ける・割る

Learning Objectives学習目標

Multiply Integers整数を掛ける

Solution解答

Solution解答

Divide Integers整数を割る

Solution解答

1.4 Multiply and Divide Integers1.4　整数を掛ける・割る