プリンキピア

第17章音

Resonance共鳴

Resonance occurs in many different systems, including strings, air columns, and atoms. As we discussed in earlier chapters, resonance is the driven or forced oscillation of a system at its natural frequency. At resonance, energy is transferred rapidly to the oscillating system, and the amplitude of its oscillations grows until the system can no longer be described by Hooke’s law. An example of this is the distorted sound intentionally produced in certain types of rock music.
英語のヒント
共鳴は、弦、気柱、原子など、さまざまな系で起こる。前の章で論じたように、共鳴とは系の固有振動数で駆動される強制振動である。共鳴時には振動する系へ急速にエネルギーが伝わり、フックの法則では記述できなくなるまで振幅が増大する。一部のロック音楽で意図的に作られる、ひずんだ音がその例である。
Wind instruments use resonance in air columns to amplify tones made by lips or vibrating reeds. Other instruments also use air resonance in clever ways to amplify sound. Figure 17.27 shows a violin and a guitar, both of which have sounding boxes but with different shapes, resulting in different overtone structures. The vibrating string creates a sound that resonates in the sounding box, greatly amplifying the sound and creating overtones that give the instrument its characteristic timbre. The more complex the shape of the sounding box, the greater its ability to resonate over a wide range of frequencies. The marimba, like the one shown in Figure 17.28, uses pots or gourds below the wooden slats to amplify their tones. The resonance of the pot can be adjusted by adding water.
英語のヒント
管楽器は、唇や振動するリードが作った音を、気柱の共鳴で増幅する。ほかの楽器も、空気の共鳴を巧みに使って音を増幅する。図17.27に示すバイオリンとギターは、どちらも共鳴箱をもつが、形が異なるため倍音の構成も異なる。振動する弦が作る音は共鳴箱で共鳴し、大きく増幅されるとともに、その楽器に固有の音色を与える倍音が生じる。共鳴箱の形が複雑なほど、広い周波数範囲にわたって共鳴する能力は高くなる。図17.28のようなマリンバは、木の音板の下に壺やひょうたんを置き、その音を増幅する。壺の共鳴は、水を加えて調整できる。
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Figure 17.27図 17.27
String instruments such as (a) violins and (b) guitars use resonance in their sounding boxes to amplify and enrich the sound created by their vibrating strings. The bridge and supports couple the string vibrations to the sounding boxes and air within. (credit a: modification of work by Feliciano Guimarães; credit b: modification of work by Steve Snodgrass)
英語のヒント
(a) バイオリンや(b) ギターなどの弦楽器は、共鳴箱の共鳴を利用し、振動する弦が生む音を増幅して豊かにする。駒と支持部が、弦の振動を共鳴箱と内部の空気へ伝える。（a：Feliciano Guimarãesの作品を改変。b：Steve Snodgrassの作品を改変。）
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Figure 17.28図 17.28
This marimba uses gourds as resonance chambers to amplify its sound. (credit: “APC Events”/Flickr)
英語のヒント
このマリンバはひょうたんを共鳴室として使い、音を増幅する。（出典：「APC Events」/Flickr。）
We have emphasized sound applications in our discussions of resonance and standing waves, but these ideas apply to any system that has wave characteristics. Vibrating strings, for example, are actually resonating and have fundamentals and overtones similar to those for air columns. More subtle are the resonances in atoms due to the wave character of their electrons. Their orbitals can be viewed as standing waves, which have a fundamental (ground state) and overtones (excited states). It is fascinating that wave characteristics apply to such a wide range of physical systems.
英語のヒント
共鳴と定常波の説明では音への応用を中心に扱ったが、これらの考え方は波の性質をもつどの系にも当てはまる。たとえば振動する弦は実際に共鳴しており、気柱と同様の基本音と倍音をもつ。さらに捉えにくいのは、電子の波としての性質によって原子内で起こる共鳴である。電子の軌道は定常波として見ることができ、基本の状態（基底状態）と倍音に当たる状態（励起状態）をもつ。波の性質がこれほど広範な物理系に当てはまることは、興味深い。

Summaryまとめ

  • Some musical instruments can be modeled as pipes that have symmetrical boundary conditions: open at both ends or closed at both ends. Other musical instruments can be modeled as pipes that have anti-symmetrical boundary conditions: closed at one end and open at the other.
    英語のヒント
    一部の楽器は、両端が開くか両端が閉じるという対称な境界条件をもつ管としてモデル化できる。ほかの楽器は、一端が閉じ、他端が開くという反対称な境界条件をもつ管としてモデル化できる。
  • Some instruments, such as the pipe organ, have several tubes with different lengths. Instruments such as the flute vary the length of the tube by closing the holes along the tube. The trombone varies the length of the tube using a sliding bar.
    英語のヒント
    パイプオルガンなどの楽器は、長さの異なる管を複数もつ。フルートなどは管に沿った穴を閉じることで管長を変える。トロンボーンはスライドを使って管長を変える。
  • String instruments produce sound using a vibrating string with nodes at each end. The air around the string oscillates at the frequency of the string. The relationship for the frequencies for the string is the same as for the symmetrical boundary conditions of the pipe, with the length of the pipe replaced by the length of the string and the velocity replaced by v=FTμ.
    英語のヒント
    弦楽器は、両端に節をもつ弦を振動させて音を出す。弦の周囲の空気は、弦と同じ振動数で振動する。弦の振動数の関係式は、対称な境界条件をもつ管の式で、管長を弦の長さに、速度をv=FTμに置き換えたものと同じである。

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 73–76練習問題 73–76
Exercise 73問題 73
How does an unamplified guitar produce sounds so much more intense than those of a plucked string held taut by a simple stick?
英語のヒント
電気的に増幅していないギターでも、単なる棒にぴんと張った弦をはじいた場合より、はるかに強い音を出せるのはなぜか。
Exercise 74問題 74
Consider three pipes of the same length (L). Pipe A is open at both ends, pipe B is closed at both ends, and pipe C has one open end and one closed end. If the velocity of sound is the same in each of the three tubes, in which of the tubes could the lowest fundamental frequency be produced? In which of the tubes could the highest fundamental frequency be produced?
英語のヒント
同じ長さLの3本の管を考える。管Aは両端が開き、管Bは両端が閉じ、管Cは一端が開き、他端が閉じている。3本の管の音速が等しい場合、最も低い基本振動数を出せるのはどの管か。最も高い基本振動数を出せるのはどの管か。
Solution解き方
When resonating at the fundamental frequency, the wavelength for pipe C is 4L, and for pipes A and B is 2L. The frequency is equal to f=v/λ. Pipe C has the lowest frequency and pipes A and B have equal frequencies, higher than the one in pipe C.
英語のヒント
基本振動数で共鳴するとき、波長は管Cで4L、管Aと管Bで2Lである。振動数はf=v/λに等しい。管Cの振動数が最も低く、管Aと管Bの振動数は互いに等しく、管Cより高い。
Exercise 75問題 75
Pipe A has a length L and is open at both ends. Pipe B has a length L/2 and has one open end and one closed end. Assume the speed of sound to be the same in both tubes. Which of the harmonics in each tube would be equal?
英語のヒント
管Aは長さLで両端が開いている。管Bは長さL/2で一端が開き、他端が閉じている。両管の音速が同じとする。それぞれの管のどの高調波の振動数が等しくなるか。
Exercise 76問題 76
A string is tied between two lab posts a distance L apart. The tension in the string and the linear mass density is such that the speed of a wave on the string is v=343m/s. A tube with symmetric boundary conditions has a length L and the speed of sound in the tube is v=343m/s. What could be said about the frequencies of the harmonics in the string and the tube? What if the velocity in the string were v=686m/s?
英語のヒント
距離Lだけ離れた実験用の2本の支柱に弦を張る。弦の張力と線密度は、弦を伝わる波の速さがv=343m/sとなる値である。対称な境界条件をもつ管の長さもLで、管内の音速はv=343m/sである。弦と管の高調波の振動数について何がいえるか。弦の波の速さがv=686m/sの場合はどうか。
Solution解き方
Since the boundary conditions are both symmetric, the frequencies arefn=nv2L. Since the speed is the same in each, the frequencies are the same. If the wave speed were doubled in the string, the frequencies in the string would be twice the frequencies in the tube.
英語のヒント
境界条件はいずれも対称なので、振動数はfn=nv2Lである。両者で速さが等しいため、振動数も等しくなる。弦の波の速さが2倍になれば、弦の振動数は管の振動数の2倍になる。