第17章音

Summaryまとめ

The Mach number is the velocity of a source divided by the speed of sound, $M = \frac{v_{s}}{v} .$
英語のヒント
マッハ数は音源の速度を音速で割った値、 $M = \frac{v_{s}}{v}$ である。
When a sound source moves faster than the speed of sound, a shock wave is produced as the sound waves interfere.
英語のヒント
音源が音速を超えて動くと、音波が干渉して衝撃波が生じる。
A sonic boom is the intense sound that occurs as the shock wave moves along the ground.
英語のヒント
ソニックブームは、衝撃波が地上を進むときに起こる強烈な音である。
The angle the shock wave produces can be found as $sin θ = \frac{v}{v_{s}} = \frac{1}{M} .$
英語のヒント
衝撃波が作る角度は、 $sin θ = \frac{v}{v_{s}} = \frac{1}{M}$ から求められる。
A bow wake is produced when an object moves faster than the speed of a mechanical wave in the medium, such as a boat moving through the water.
英語のヒント
水面を進む船のように、物体が媒質内の力学的な波の速さを超えて動くと、船首波が生じる。

Key Equations重要な式

Pressure of a sound wave 音波の圧力	$Δ P = Δ P_{max} sin (k x \mp ω t + ϕ)$
Displacement of the oscillating molecules of a sound wave 英語のヒント音波で振動する分子の変位	$s (x, t) = s_{max} cos (k x \mp ω t + ϕ)$
Velocity of a wave 波の速度	$v = f λ$
Speed of sound in a fluid 流体中の音速	$v = \sqrt{\frac{B}{ρ}}$
Speed of sound in a solid 固体中の音速	$v = \sqrt{\frac{Y}{ρ}}$
Speed of sound in an ideal gas 英語のヒント理想気体中の音速	$v = \sqrt{\frac{γ R T}{M}}$
Speed of sound in air as a function of temperature 英語のヒント温度の関数としての空気中の音速	$v = 331 \frac{m}{s} \sqrt{\frac{T_{K}}{273 K}} = 331 \frac{m}{s} \sqrt{1 + \frac{T_{C}}{273 ° C}}$
Decrease in intensity as a spherical wave expands 英語のヒント球面波の拡大に伴う強度の減少	$I_{2} = I_{1} {(\frac{r_{1}}{r_{2}})}^{2}$
Intensity averaged over a period 英語のヒント 1周期で平均した強度	$I = \frac{〈 P 〉}{A}$
Intensity of sound 音の強度	$I = \frac{{(Δ p_{max})}^{2}}{2 ρ v}$
Sound intensity level 音の強度レベル	$β (d B) = 10 {log}_{10} (\frac{I}{I_{0}})$
Resonant wavelengths of a tube closed at one end 英語のヒント一端を閉じた管の共鳴波長	$λ_{n} = \frac{4}{n} L, n = 1, 3, 5,…$
Resonant frequencies of a tube closed at one end 英語のヒント一端を閉じた管の共鳴振動数	$f_{n} = n \frac{v}{4 L}, n = 1, 3, 5,…$
Resonant wavelengths of a tube open at both ends 英語のヒント両端を開いた管の共鳴波長	$λ_{n} = \frac{2}{n} L, n = 1, 2, 3,…$
Resonant frequencies of a tube open at both ends 英語のヒント両端を開いた管の共鳴振動数	$f_{n} = n \frac{v}{2 L}, n = 1, 2, 3,…$
Beat frequency produced by two waves that differ in frequency 英語のヒント振動数の異なる二つの波が作るうなりの振動数	$f_{beat} = \| f_{2} - f_{1} \|$ $f_{うなり} = \| f_{2} - f_{1} \|$
Observed frequency for a stationary observer and a moving source 英語のヒント静止した観測者と動く音源の場合の観測振動数	$f_{o} = f_{s} (\frac{v}{v \mp v_{s}})$
Observed frequency for a moving observer and a stationary source 英語のヒント動く観測者と静止した音源の場合の観測振動数	$f_{o} = f_{s} (\frac{v \pm v_{o}}{v})$
Doppler shift for the observed frequency 英語のヒント観測振動数のドップラーシフト	$f_{o} = f_{s} (\frac{v \pm v_{o}}{v \mp v_{s}})$
Mach number マッハ数	$M = \frac{v_{s}}{v}$
Sine of angle formed by shock wave 英語のヒント衝撃波が作る角度の正弦	$sin θ = \frac{v}{v_{s}} = \frac{1}{M}$

Conceptual Questions概念に関する問題

Exercises 119–121練習問題 119–121

Exercise 119問題 119

What is the difference between a sonic boom and a shock wave?

英語のヒント

ソニックブームと衝撃波の違いは何か。

Exercise 120問題 120

Due to efficiency considerations related to its bow wake, the supersonic transport aircraft must maintain a cruising speed that is a constant ratio to the speed of sound (a constant Mach number). If the aircraft flies from warm air into colder air, should it increase or decrease its speed? Explain your answer.

英語のヒント

超音速輸送機は、船首波に関わる効率上の理由から、音速に対する比率、つまりマッハ数が一定となる巡航速度を保つ必要がある。暖かい空気から冷たい空気へ入るとき、速さを上げるべきか、下げるべきか。説明せよ。

Solution解き方

The speed of sound decreases as the temperature decreases. The Mach number is equal to

M = \frac{v_{s}}{v},

so the plane should slow down.

英語のヒント

温度が下がると音速は下がる。マッハ数は

M = \frac{v_{s}}{v}

なので、飛行機は減速すべきである。

Exercise 121問題 121

When you hear a sonic boom, you often cannot see the plane that made it. Why is that?

英語のヒント

ソニックブームが聞こえても、それを作った飛行機が見えないことが多い。なぜか。

Problems問題

Exercises 122–128練習問題 122–128

Exercise 122問題 122

An airplane is flying at Mach 1.50 at an altitude of 7500.00 meters, where the speed of sound is

v = 343.00 m/s .

How far away from a stationary observer will the plane be when the observer hears the sonic boom?

英語のヒント

音速

v = 343.00 m/s

の高度7500.00 mを、飛行機がマッハ1.50で飛ぶ。静止した観測者にソニックブームが聞こえるとき、飛行機は観測者からどれだけ離れているか。

Exercise 123問題 123

A jet flying at an altitude of 8.50 km has a speed of Mach 2.00, where the speed of sound is

v = 340.00 m/s .

How long after the jet is directly overhead, will a stationary observer hear a sonic boom?

英語のヒント

音速

v = 340.00 m/s

の高度8.50 kmを、ジェット機がマッハ2.00で飛ぶ。真上を通過してからどれだけ後に、静止した観測者にソニックブームが聞こえるか。

Solution解き方

\begin{matrix} θ = 30.02 ° \\ v_{s} = 680.00 m/s \\ tan θ = \frac{y}{v_{s} t}, t = 21.65 s \end{matrix}

Exercise 124問題 124

The shock wave off the front of a fighter jet has an angle of

θ = 70.00 °

. The jet is flying at 1200 km/h. What is the speed of sound?

英語のヒント

戦闘機の前方にできる衝撃波の角度は

θ = 70.00 °

である。戦闘機は1200 km/hで飛ぶ。音速はいくらか。

Exercise 125問題 125

A plane is flying at Mach 1.2, and an observer on the ground hears the sonic boom 15.00 seconds after the plane is directly overhead. What is the altitude of the plane? Assume the speed of sound is

v_{w} = 343.00 m/s .

英語のヒント

飛行機がマッハ1.2で飛ぶ。地上の観測者は、機体が真上を通過した15.00秒後にソニックブームを聞く。飛行機の高度はいくらか。音速は

v_{w} = 343.00 m/s

とする。

Solution解き方

\begin{matrix} sin θ = \frac{1}{M}, θ = 56.47 ° \\ y = 9.31 km \end{matrix}

Exercise 126問題 126

A bullet is fired and moves at a speed of 1342 mph. Assume the speed of sound is

v = 340.00 m/s .

What is the angle of the shock wave produced?

英語のヒント

発射された弾丸が1342 mphで進む。音速

v = 340.00 m/s

のとき、生じる衝撃波の角度はいくらか。

Exercise 127問題 127

A speaker is placed at the opening of a long horizontal tube. The speaker oscillates at a frequency of f, creating a sound wave that moves down the tube. The wave moves through the tube at a speed of

v = 340.00 m/s .

The sound wave is modeled with the wave function

s (x, t) = s_{max} cos (k x - ω t + ϕ)

. At time

t = 0.00 s

, an air molecule at

x = 2.3 m

is at the maximum displacement of 6.34 nm. At the same time, another molecule at

x = 2.7 m

has a displacement of 2.30 nm. What is the wave function of the sound wave, that is, find the wave number, angular frequency, and the initial phase shift?

英語のヒント

長い水平な管の開口部にスピーカーを置く。スピーカーは振動数fで振動し、管を進む音波を作る。波は速さ

v = 340.00 m/s

で管を伝わり、波動関数

s (x, t) = s_{max} cos (k x - ω t + ϕ)

で表される。時刻

t = 0.00 s

には、

x = 2.3 m

の空気分子が最大変位6.34 nmにある。同じ時刻、

x = 2.7 m

の別の分子の変位は2.30 nmである。音波の波動関数を求めよ。つまり、波数、角振動数、初期位相のずれを求めよ。

Solution解き方

\begin{matrix} s_{1} = 6.34 nm \\ s_{2} = 2.30 nm \\ k x_{1} + ϕ = 0 rad \\ k x_{2} + ϕ = 1.20 rad \\ k (x_{2} - x_{1}) = 1.20 rad \\ k = 3.00 m^{−1} \\ ω = 1019.62 s^{−1} \\ s_{1} = s_{max} cos (k x_{1} - ϕ) \\ ϕ = 5.66 rad \\ s (x, t) = 6.30 nm cos (3.00 m^{−1} x - 1019.62 s^{−1} t + 5.66) \end{matrix}

Exercise 128問題 128

An airplane moves at Mach 1.2 and produces a shock wave. (a) What is the speed of the plane in meters per second? (b) What is the angle that the shock wave moves?

英語のヒント

飛行機がマッハ1.2で進み、衝撃波を作る。(a) 速さは毎秒何メートルか。(b) 衝撃波が進む角度はいくらか。