第9章平方根と根号

Approximate Square Roots平方根の近似値を求める

There are mathematical methods to approximate square roots, but nowadays most people use a calculator to find them. Find the

\sqrt{x}

key on your calculator. You will use this key to approximate square roots.

英語のヒント

平方根の近似値を求める数学的方法はあるが、現在では多くの人が電卓を使う。電卓の

\sqrt{x}

キーを見つけよう。このキーを使って平方根の近似値を求める。

When you use your calculator to find the square root of a number that is not a perfect square, the answer that you see is not the exact square root. It is an approximation, accurate to the number of digits shown on your calculator’s display. The symbol for an approximation is

\approx

and it is read ‘approximately.’

英語のヒント

平方数ではない数の平方根を電卓で求めると、表示される答えは正確な平方根ではない。電卓に表示される桁数まで正確な近似値である。近似を表す記号は

\approx

で、「およそ」と読む。

Suppose your calculator has a 10-digit display. You would see that

英語のヒント

電卓が10桁表示だとする。次のように表示される。

\sqrt{5} \approx 2.236067978

If we wanted to round

\sqrt{5}

to two decimal places, we would say

英語のヒント

\sqrt{5}

を小数第2位までに丸めたい場合は、次のように表す。

\sqrt{5} \approx 2.24

How do we know these values are approximations and not the exact values? Look at what happens when we square them:

英語のヒント

これらの値が正確な値ではなく近似値だと、どうして分かるのだろうか。平方するとどうなるかを見よう。

\begin{matrix} {(2.236067978)}^{2} & = & 5.000000002 \\ {(2.24)}^{2} & = & 5.0176 \end{matrix}

Their squares are close to 5, but are not exactly equal to 5.

英語のヒント

これらの平方は5に近いが、5に正確には等しくない。

Using the square root key on a calculator and then rounding to two decimal places, we can find:

英語のヒント

電卓の平方根キーを使い、小数第2位までに丸めると、次を得る。

\begin{matrix} \sqrt{4} & = & 2 \\ \sqrt{5} & \approx & 2.24 \\ \sqrt{6} & \approx & 2.45 \\ \sqrt{7} & \approx & 2.65 \\ \sqrt{8} & \approx & 2.83 \\ \sqrt{9} & = & 3 \end{matrix}

Example 9.5例題 9.5

Round

\sqrt{17}

to two decimal places.

英語のヒント

\sqrt{17}

を小数第2位までに丸めよ。

Solution解答

	$\sqrt{17}$
Use the calculator square root key. 電卓の平方根キーを使う。	4.123105626...
Round to two decimal places. 小数第2位まで四捨五入する。	4.12
	$\sqrt{17} \approx 4.12$

Try It (2)確認問題（2題）

Simplify Variable Expressions with Square Roots平方根を含む文字式を簡単にする

What if we have to find a square root of an expression with a variable? Consider

\sqrt{9 x^{2}}

. Can you think of an expression whose square is

9 x^{2}

英語のヒント

変数を含む式の平方根を求める場合はどうだろうか。

\sqrt{9 x^{2}}

を考える。平方が

9 x^{2}

になる式を思いつくだろうか。

\begin{matrix} {(?)}^{2} & = & 9 x^{2} \\ {(3 x)}^{2} & = & 9 x^{2}, & so \sqrt{9 x^{2}} = 3 x \end{matrix}

\begin{matrix} {(?)}^{2} & = & 9 x^{2} \\ {(3 x)}^{2} & = & 9 x^{2}, & したがって \sqrt{9 x^{2}} = 3 x \end{matrix}

When we use the radical sign to take the square root of a variable expression, we should specify that

x \geq 0

to make sure we get the principal square root.

英語のヒント

変数を含む式の平方根を根号で表すときは、主平方根を確実に得るため、

x \geq 0

と指定すべきである。

However, in this chapter we will assume that each variable in a square-root expression represents a non-negative number and so we will not write

x \geq 0

next to every radical.

英語のヒント

ただし、この章では平方根を含む式の各変数が非負の数を表すと仮定し、根号の式ごとに

x \geq 0

とは書かない。

What about square roots of higher powers of variables? Think about the Power Property of Exponents we used in Chapter 6.

英語のヒント

変数のより高い累乗の平方根はどうだろうか。第6章で用いた累乗の累乗の法則を考えよう。

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

If we square

a^{m}

, the exponent will become

2 m

英語のヒント

a^{m}

を平方すると、指数は

2 m

になる。

{(a^{m})}^{2} = a^{2 m}

How does this help us take square roots? Let’s look at a few:

英語のヒント

これは平方根を求めるのにどう役立つだろうか。いくつか見てみよう。

\begin{matrix} \sqrt{25 u^{8}} = 5 u^{4} & because {(5 u^{4})}^{2} = 25 u^{8} \\ \sqrt{16 r^{20}} = 4 r^{10} & because {(4 r^{10})}^{2} = 16 r^{20} \\ \sqrt{196 q^{36}} = 14 q^{18} & because {(14 q^{18})}^{2} = 196 q^{36} \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt{25 u^{8}} = 5 u^{4} & なぜなら {(5 u^{4})}^{2} = 25 u^{8} \\ \sqrt{16 r^{20}} = 4 r^{10} & なぜなら {(4 r^{10})}^{2} = 16 r^{20} \\ \sqrt{196 q^{36}} = 14 q^{18} & なぜなら {(14 q^{18})}^{2} = 196 q^{36} \end{matrix}

Example 9.6例題 9.6

Simplify: ⓐ

\sqrt{x^{6}}

ⓑ

\sqrt{y^{16}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt{x^{6}}

　ⓑ

\sqrt{y^{16}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt{x^{6}}$
$Since {(x^{3})}^{2} = x^{6} .$ $なぜなら {(x^{3})}^{2} = x^{6}$	$x^{3}$

ⓑ

	$\sqrt{y^{16}}$
$Since {(y^{8})}^{2} = y^{16} .$ $なぜなら {(y^{8})}^{2} = y^{16}$	$y^{8}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.7例題 9.7

Simplify:

\sqrt{16 n^{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{16 n^{2}}

。

Solution解答

	$\sqrt{16 n^{2}}$
$Since {(4 n)}^{2} = 16 n^{2} .$ $なぜなら {(4 n)}^{2} = 16 n^{2}$	$4 n$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.8例題 9.8

Simplify:

− \sqrt{81 c^{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：

− \sqrt{81 c^{2}}

。

Solution解答

	$− \sqrt{81 c^{2}}$
$Since {(9 c)}^{2} = 81 c^{2} .$ $なぜなら {(9 c)}^{2} = 81 c^{2}$	$−9 c$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.9例題 9.9

Simplify:

\sqrt{36 x^{2} y^{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{36 x^{2} y^{2}}

。

Solution解答

	$\sqrt{36 x^{2} y^{2}}$
$Since {(6 x y)}^{2} = 36 x^{2} y^{2} .$ $なぜなら {(6 x y)}^{2} = 36 x^{2} y^{2}$	$6 x y$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.10例題 9.10

Simplify:

\sqrt{64 p^{64}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{64 p^{64}}

。

Solution解答

	$\sqrt{64 p^{64}}$
$Since {(8 p^{32})}^{2} = 64 p^{64} .$ $なぜなら {(8 p^{32})}^{2} = 64 p^{64}$	$8 p^{32}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.11例題 9.11

Simplify:

\sqrt{121 a^{6} b^{8}}

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\sqrt{121 a^{6} b^{8}}

Solution解答

	$\sqrt{121 a^{6} b^{8}}$
$Since {(11 a^{3} b^{4})}^{2} = 121 a^{6} b^{8} .$ $なぜなら {(11 a^{3} b^{4})}^{2} = 121 a^{6} b^{8}$	$11 a^{3} b^{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

Key Concepts重要な概念

Note that the square root of a negative number is not a real number.
英語のヒント
負の数の平方根は実数ではないことに注意する。
Every positive number has two square roots, one positive and one negative. The positive square root of a positive number is the principal square root.
英語のヒント
どの正の数も、正と負の二つの平方根を持つ。正の数の正の平方根を主平方根という。
We can estimate square roots using nearby perfect squares.
英語のヒント
近くの平方数を使って平方根を見積もれる。
We can approximate square roots using a calculator.
英語のヒント
電卓で平方根の近似値を求められる。
When we use the radical sign to take the square root of a variable expression, we should specify that $x \geq 0$ to make sure we get the principal square root.
英語のヒント
変数を含む式の平方根を根号で表すときは、主平方根を確実に得るため、 $x \geq 0$ と指定すべきである。

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 1–20練習問題 1–20

Simplify Expressions with Square Roots

英語のヒント

平方根を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 1問題 1

\sqrt{36}

Solution解き方

Exercise 2問題 2

\sqrt{4}

Exercise 3問題 3

\sqrt{64}

Solution解き方

Exercise 4問題 4

\sqrt{169}

Exercise 5問題 5

\sqrt{9}

Solution解き方

Exercise 6問題 6

\sqrt{16}

Exercise 7問題 7

\sqrt{100}

Solution解き方

Exercise 8問題 8

\sqrt{144}

Exercise 9問題 9

− \sqrt{4}

Solution解き方

−2

Exercise 10問題 10

− \sqrt{100}

Exercise 11問題 11

− \sqrt{1}

Solution解き方

−1

Exercise 12問題 12

− \sqrt{121}

Exercise 13問題 13

\sqrt{−121}

Solution解き方

not a real number

英語のヒント

実数ではない

Exercise 14問題 14

\sqrt{−36}

Exercise 15問題 15

\sqrt{−9}

Solution解き方

not a real number

英語のヒント

実数ではない

Exercise 16問題 16

\sqrt{−49}

Exercise 17問題 17

\sqrt{9 + 16}

Solution解き方

Exercise 18問題 18

\sqrt{25 + 144}

Exercise 19問題 19

\sqrt{9} + \sqrt{16}

Solution解き方

Exercise 20問題 20

\sqrt{25} + \sqrt{144}

Exercises 21–24練習問題 21–24

Estimate Square Roots

英語のヒント

平方根の値を見積もる

In the following exercises, estimate each square root between two consecutive whole numbers.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの平方根が連続するどの2つの非負整数の間にあるかを見積もれ。

Exercise 21問題 21

\sqrt{70}

Solution解き方

8 < \sqrt{70} < 9

Exercise 22問題 22

\sqrt{55}

Exercise 23問題 23

\sqrt{200}

Solution解き方

14 < \sqrt{200} < 15

Exercise 24問題 24

\sqrt{172}

Exercises 25–28練習問題 25–28

Approximate Square Roots

英語のヒント

平方根の近似値を求める

In the following exercises, approximate each square root and round to two decimal places.

英語のヒント

次の練習問題では、それぞれの平方根の近似値を求め、小数第2位まで四捨五入せよ。

Exercise 25問題 25

\sqrt{19}

Solution解き方

4.36

Exercise 26問題 26

\sqrt{21}

Exercise 27問題 27

\sqrt{53}

Solution解き方

7.28

Exercise 28問題 28

\sqrt{47}

Exercises 29–48練習問題 29–48

Simplify Variable Expressions with Square Roots

英語のヒント

平方根を含む文字式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 29問題 29

\sqrt{y^{2}}

Solution解き方

y

Exercise 30問題 30

\sqrt{b^{2}}

Exercise 31問題 31

\sqrt{a^{14}}

Solution解き方

a^{7}

Exercise 32問題 32

\sqrt{w^{24}}

Exercise 33問題 33

\sqrt{49 x^{2}}

Solution解き方

7 x

Exercise 34問題 34

\sqrt{100 y^{2}}

Exercise 35問題 35

\sqrt{121 m^{20}}

Solution解き方

11 m^{10}

Exercise 36問題 36

\sqrt{25 h^{44}}

Exercise 37問題 37

\sqrt{81 x^{36}}

Solution解き方

9 x^{18}

Exercise 38問題 38

\sqrt{144 z^{84}}

Exercise 39問題 39

− \sqrt{81 x^{18}}

Solution解き方

−9 x^{9}

Exercise 40問題 40

− \sqrt{100 m^{32}}

Exercise 41問題 41

− \sqrt{64 a^{2}}

Solution解き方

−8 a

Exercise 42問題 42

− \sqrt{25 x^{2}}

Exercise 43問題 43

\sqrt{144 x^{2} y^{2}}

Solution解き方

12 x y

Exercise 44問題 44

\sqrt{196 a^{2} b^{2}}

Exercise 45問題 45

\sqrt{169 w^{8} y^{10}}

Solution解き方

13 w^{4} y^{5}

Exercise 46問題 46

\sqrt{81 p^{24} q^{6}}

Exercise 47問題 47

\sqrt{9 c^{8} d^{12}}

Solution解き方

3 c^{4} d^{6}

Exercise 48問題 48

\sqrt{36 r^{6} s^{20}}