第9章平方根と根号

9.7 Higher Roots9.7　高次の根

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify expressions with higher roots
英語のヒント
高次の根を含む式を簡単にする
Use the Product Property to simplify expressions with higher roots
英語のヒント
積の性質を使って高次の根を含む式を簡単にする
Use the Quotient Property to simplify expressions with higher roots
英語のヒント
商の性質を使って高次の根を含む式を簡単にする
Add and subtract higher roots
英語のヒント
高次の根を足し引きする

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Simplify Expressions with Higher Roots高次の根を含む式を簡単にする

Up to now, in this chapter we have worked with squares and square roots. We will now extend our work to include higher powers and higher roots.

英語のヒント

この章では、ここまで平方と平方根を扱ってきた。次に、その範囲をより高い累乗と高次の根まで広げる。

Let’s review some vocabulary first.

英語のヒント

まず用語をいくつか復習しよう。

\begin{matrix} We write: & We say: \\ n^{2} & n squared \\ n^{3} & n cubed \\ n^{4} & n to the fourth \\ n^{5} & n to the fifth \end{matrix}

\begin{matrix} 表記： & 読み方： \\ n^{2} & n の平方 \\ n^{3} & n の立方 \\ n^{4} & n の4乗 \\ n^{5} & n の5乗 \end{matrix}

The terms ‘squared’ and ‘cubed’ come from the formulas for area of a square and volume of a cube.

英語のヒント

「平方」と「立方」という用語は、正方形の面積と立方体の体積の公式に由来する。

It will be helpful to have a table of the powers of the integers from

−5 to 5

. See Figure 9.4.

英語のヒント

−5 から 5

の整数の累乗の表があると便利である。図9.4を見よう。

この図は二つの表からなる。最初の表は1、2、3、4、5、x、x²の2乗、3乗、4乗、5乗の結果を示す。2番目の表は−1から−5までの2乗、3乗、4乗、5乗の結果を示す。最初の表は5列9行、2番目は5列7行である。両表の列には「数」「平方」「立方」「4乗」「5乗」、空欄、「数」「平方」「立方」「4乗」「5乗」とある。次の行には両表ともn、n²、n³、n⁴、n⁵、空欄、n、n²、n³、n⁴、n⁵とある。最初の表では1²、1³、1⁴、1⁵がすべて1と示されている。次の行では2²＝4、2³＝8、2⁴＝16、2⁵＝32である。次は3²＝9、3³＝27、3⁴＝81、3⁵＝243である。次は4²＝16、4³＝64、4⁴＝246、4⁵＝1024である。次は5²＝25、5³＝125、5⁴＝625、5⁵＝3125である。次の行にはx²、x³、x⁴、x⁵が並ぶ。次は(x²)²＝x⁴、(x³)²＝x⁵、(x²)⁴＝x⁸、(x²)⁵＝x¹⁰である。2番目の表では(−1)²＝1、(−1)³＝−1、(−1)⁴＝1、(−1)⁵＝−1である。次は(−2)²＝4、(−2)³＝−8、(−2)⁴＝16、(−2)⁵＝−32である。次は(−4)²＝16、(−4)³＝−64、(−4)⁴＝256、(−4)⁵＝−1024である。次は(−5)²＝25、(−5)³＝−125、(−5)⁴＝625、(−5)⁵＝−3125である。 — Figure 9.4図 9.4
First through fifth powers of integers from $−5$ to $5 .$
英語のヒント
$−5$ から $5$ までの整数の1乗から5乗

Notice the signs in Figure 9.4. All powers of positive numbers are positive, of course. But when we have a negative number, the even powers are positive and the odd powers are negative. We’ll copy the row with the powers of

−2

below to help you see this.

英語のヒント

図9.4の符号に注目しよう。正の数の累乗はすべて正である。負の数の場合は、偶数乗が正、奇数乗が負になる。このことが分かるよう、

−2

の累乗の行を下に再掲する。

Earlier in this chapter we defined the square root of a number.

英語のヒント

この章の前半で、数の平方根を定義した。

If n^{2} = m, then n is a square root of m .

条件： n^{2} = m, ならば n は次の数の平方根： m

And we have used the notation

\sqrt{m}

to denote the principal square root. So

\sqrt{m} \geq 0

always.

英語のヒント

主平方根を表すために

\sqrt{m}

という記号を使ってきた。そのため、常に

\sqrt{m} \geq 0

である。

We will now extend the definition to higher roots.

英語のヒント

ここで定義を高次の根へ拡張する。

We do not write the index for a square root. Just like we use the word ‘cubed’ for

b^{3}

, we use the term ‘cube root’ for

\sqrt[3]{a}

英語のヒント

平方根では根の指数を書かない。

b^{3}

に「立方」という語を使うように、

\sqrt[3]{a}

には「立方根」という用語を使う。

We refer to Figure 9.4 to help us find higher roots.

英語のヒント

図9.4を参照して高次の根を求める。

\begin{matrix} 4^{3} & = & 64 & \sqrt[3]{64} & = & 4 \\ 3^{4} & = & 81 & \sqrt[4]{81} & = & 3 \\ {(−2)}^{5} & = & −32 & \sqrt[5]{−32} & = & −2 \end{matrix}

Could we have an even root of a negative number? No. We know that the square root of a negative number is not a real number. The same is true for any even root. Even roots of negative numbers are not real numbers. Odd roots of negative numbers are real numbers.

英語のヒント

負の数の偶数乗根は存在するだろうか。存在しない。負の数の平方根は実数ではないことを知っている。どの偶数乗根でも同じである。負の数の偶数乗根は実数ではない。負の数の奇数乗根は実数である。

Example 9.88例題 9.88

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{8}

ⓑ

\sqrt[4]{81}

ⓒ

\sqrt[5]{32}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{8}

　ⓑ

\sqrt[4]{81}

　ⓒ

\sqrt[5]{32}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{8}$
Since ${(2)}^{3} = 8 .$ ${(2)}^{3} = 8$ なので	$2$

ⓑ

	$\sqrt[4]{81}$
Since ${(3)}^{4} = 81 .$ ${(3)}^{4} = 81$ なので	$3$

ⓒ

	$\sqrt[5]{32}$
Since ${(2)}^{5} = 32 .$ ${(2)}^{5} = 32$ なので	$2$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.89例題 9.89

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{−64}

ⓑ

\sqrt[4]{−16}

ⓒ

\sqrt[5]{−243}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{−64}

　ⓑ

\sqrt[4]{−16}

　ⓒ

\sqrt[5]{−243}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{−64}$
Since ${(−4)}^{3} = −64 .$ ${(−4)}^{3} = −64$ なので	$−4$

ⓑ

	$\sqrt[4]{−16}$
Think, ${(?)}^{4} = −16 .$ No real number raised to the fourth power is negative. ${(?)}^{4} = −16$ を考える。4乗が負となる実数はない。	Not a real number. 実数ではない。

ⓒ

	$\sqrt[5]{−243}$
Since ${(−3)}^{5} = −243 .$ ${(−3)}^{5} = −243$ なので	$−3$

Try It (2)確認問題（2題）

When we worked with square roots that had variables in the radicand, we restricted the variables to non-negative values. Now we will remove this restriction.

英語のヒント

被開平数に変数がある平方根を扱ったときは、変数を非負の値に制限した。ここではその制限を外す。

The odd root of a number can be either positive or negative. We have seen that

\sqrt[3]{−64} = −4

英語のヒント

数の奇数乗根は正にも負にもなり得る。

\sqrt[3]{−64} = −4

はすでに見た。

But the even root of a non-negative number is always non-negative, because we take the principal nth root.

英語のヒント

しかし、非負の数の偶数乗根は、主n乗根を取るので常に非負である。

Suppose we start with

a = −5

英語のヒント

a = −5

から始めるとしよう。

\begin{matrix} {(−5)}^{4} = 625 & \sqrt[4]{625} = 5 \end{matrix}

How can we make sure the fourth root of −5 raised to the fourth power,

{(−5)}^{4}

is 5? We will see in the following property.

英語のヒント

−5を4乗したものの4乗根

{(−5)}^{4}

が5になることを、どう保証すればよいだろうか。次の性質で確認する。

Example 9.90例題 9.90

Simplify: ⓐ

\sqrt{x^{2}}

ⓑ

\sqrt[3]{n^{3}}

ⓒ

\sqrt[4]{p^{4}}

ⓓ

\sqrt[5]{y^{5}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt{x^{2}}

　ⓑ

\sqrt[3]{n^{3}}

　ⓒ

\sqrt[4]{p^{4}}

　ⓓ

\sqrt[5]{y^{5}}

。

Solution解答

We use the absolute value to be sure to get the positive root.

英語のヒント

正の根を確実に得るため、絶対値を使う。

ⓐ

	$\sqrt{x^{2}}$
Since ${(x)}^{2} = x^{2}$ and we want the positive root. ${(x)}^{2} = x^{2}$ であり、正の根が必要だからである。	$\| x \|$

ⓑ

	$\sqrt[3]{n^{3}}$
Since ${(n)}^{3} = n^{3} .$ It is an odd root so there is no need for an absolute value sign. ${(n)}^{3} = n^{3}$ だからである。奇数乗根なので絶対値記号は不要である。	$n$

ⓒ

	$\sqrt[4]{p^{4}}$
Since ${(p)}^{4} = p^{4}$ and we want the positive root. ${(p)}^{4} = p^{4}$ であり、正の根が必要だからである。	$\| p \|$

ⓓ

	$\sqrt[5]{y^{5}}$
Since ${(y)}^{5} = y^{5} .$ It is an odd root so there is no need for an absolute value sign. ${(y)}^{5} = y^{5}$ だからである。奇数乗根なので絶対値記号は不要である。	$y$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.91例題 9.91

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{y^{18}}

ⓑ

\sqrt[4]{z^{8}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{y^{18}}

　ⓑ

\sqrt[4]{z^{8}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{y^{18}}$
Since ${(y^{6})}^{3} = y^{18} .$ ${(y^{6})}^{3} = y^{18}$ なので	$\sqrt[3]{{(y^{6})}^{3}}$
	$y^{6}$

ⓑ

	$\sqrt[4]{z^{8}}$
Since ${(z^{2})}^{4} = z^{8} .$ ${(z^{2})}^{4} = z^{8}$ なので	$\sqrt[4]{{(z^{2})}^{4}}$
Since $z^{2}$ is positive, we do not need an absolute value sign. $z^{2}$ は正なので、絶対値記号は不要である。	$z^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.92例題 9.92

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{64 p^{6}}

ⓑ

\sqrt[4]{16 q^{12}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{64 p^{6}}

　ⓑ

\sqrt[4]{16 q^{12}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{64 p^{6}}$
Rewrite $64 p^{6} as {(4 p^{2})}^{3} .$ 書き直す： $64 p^{6} を次の形に： {(4 p^{2})}^{3}$	$\sqrt[3]{{(4 p^{2})}^{3}}$
Take the cube root. 立方根を取る。	$4 p^{2}$

ⓑ

	$\sqrt[4]{16 q^{12}}$
Rewrite the radicand as a fourth power. 根号内の式を4乗として書き直す。	$\sqrt[4]{{(2 q^{3})}^{4}}$
Take the fourth root. 4乗根を取る。	$2 \| q^{3} \|$

Try It (2)確認問題（2題）

第9章平方根と根号

9.7 Higher Roots9.7 高次の根

Learning Objectives学習目標

Simplify Expressions with Higher Roots高次の根を含む式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

9.7 Higher Roots9.7　高次の根