第9章平方根と根号

9.2 Simplify Square Roots9.2　平方根を簡単にする

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Use the Product Property to simplify square roots
英語のヒント
積の性質を使って平方根を簡単にする
Use the Quotient Property to simplify square roots
英語のヒント
商の性質を使って平方根を簡単にする

Before You Begin (3)準備問題（3題）

In the last section, we estimated the square root of a number between two consecutive whole numbers. We can say that

\sqrt{50}

is between 7 and 8. This is fairly easy to do when the numbers are small enough that we can use Figure 9.2.

英語のヒント

前の節では、数の平方根が連続する二つの整数の間にあることを見積もった。

\sqrt{50}

は7と8の間にあると言える。数が十分に小さく図9.2を使える場合、これはかなり簡単にできる。

But what if we want to estimate

\sqrt{500}

? If we simplify the square root first, we’ll be able to estimate it easily. There are other reasons, too, to simplify square roots as you’ll see later in this chapter.

英語のヒント

では、

\sqrt{500}

を見積もりたい場合はどうだろうか。先に平方根を簡単にすれば、容易に見積もれる。この章の後半で見るように、平方根を簡単にする理由はほかにもある。

A square root is considered simplified if its radicand contains no perfect square factors.

英語のヒント

被開平数が平方数の因子を含まないとき、その平方根は簡単な形であるとみなされる。

\sqrt{31}

is simplified. But

\sqrt{32}

is not simplified, because 16 is a perfect square factor of 32.

英語のヒント

したがって

\sqrt{31}

は簡単な形である。しかし

\sqrt{32}

は、32の因子16が平方数なので簡単な形ではない。

Use the Product Property to Simplify Square Roots積の性質を使って平方根を簡単にする

The properties we will use to simplify expressions with square roots are similar to the properties of exponents. We know that

{(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}

. The corresponding property of square roots says that

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

英語のヒント

平方根を含む式を簡単にするために使う性質は、指数の性質に似ている。

{(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}

はすでに知っている。これに対応する平方根の性質は

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

である。

We use the Product Property of Square Roots to remove all perfect square factors from a radical. We will show how to do this in Example 9.12.

英語のヒント

平方根の積の性質を使い、根号の中から平方数の因子をすべて取り出す。例9.12でその方法を示す。

Example 9.12例題 9.12

How To Use the Product Property to Simplify a Square Root積の性質を使って平方根を簡単にする方法

Simplify:

\sqrt{50}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{50}

。

Solution解答

この図は3列3行である。1行目には「手順1。被開平数の最大の平方数の因子を求める。その因子を用いた積として被開平数を書き直す」とある。次に「25は50の最大の平方数の因子である。50＝25×2。平方数の因子は常に先に書く」とある。その後、√50と√(25×2)が示されている。

2行目には「手順2。積の法則を使い、根号の式を二つの根号の式の積に書き直す」とある。2列目は空欄だが、3列目には√25×√2が示されている。

Try It (2)確認問題（2題）

Notice in the previous example that the simplified form of

\sqrt{50}

5 \sqrt{2}

, which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.

英語のヒント

前の例で、

\sqrt{50}

を簡単にした形が

5 \sqrt{2}

という整数と平方根の積になっていることに注意する。整数は常に平方根の前に書く。

Example 9.13例題 9.13

Simplify:

\sqrt{500}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{500}

。

Solution解答

	$\sqrt{500}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor. 根号の中を、最大の完全平方因子を使った積に書き直す。	$\sqrt{100 \cdot 5}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt{100} \cdot \sqrt{5}$
Simplify. 簡単にする。	$10 \sqrt{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

We could use the simplified form

10 \sqrt{5}

to estimate

\sqrt{500}

. We know 5 is between 2 and 3, and

\sqrt{500}

10 \sqrt{5}

. So

\sqrt{500}

is between 20 and 30.

英語のヒント

簡単にした形

10 \sqrt{5}

を使って

\sqrt{500}

を見積もれる。5は2と3の間にあり、

\sqrt{500}

は

10 \sqrt{5}

である。したがって、

\sqrt{500}

は20と30の間にある。

The next example is much like the previous examples, but with variables.

英語のヒント

次の例は前の例とよく似ているが、変数を含む。

Example 9.14例題 9.14

Simplify:

\sqrt{x^{3}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{x^{3}}

。

Solution解答

	$\sqrt{x^{3}}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor. 根号の中を、最大の完全平方因子を使った積に書き直す。	$\sqrt{x^{2} \cdot x}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{x}$
Simplify. 簡単にする。	$x \sqrt{x}$

Try It (2)確認問題（2題）

We follow the same procedure when there is a coefficient in the radical, too.

英語のヒント

根号の中に係数がある場合も同じ手順に従う。

Example 9.15例題 9.15

Simplify:

\sqrt{25 y^{5} .}

英語のヒント

次の式を簡単にする：

\sqrt{25 y^{5} .}

Solution解答

	$\sqrt{25 y^{5}}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor. 根号の中を、最大の完全平方因子を使った積に書き直す。	$\sqrt{25 y^{4} \cdot y}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt{25 y^{4}} \cdot \sqrt{y}$
Simplify. 簡単にする。	$5 y^{2} \sqrt{y}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example both the constant and the variable have perfect square factors.

英語のヒント

次の例では、定数と変数の両方に完全平方の因子がある。

Example 9.16例題 9.16

Simplify:

\sqrt{72 n^{7}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{72 n^{7}}

。

Solution解答

	$\sqrt{72 n^{7}}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor. 根号の中を、最大の完全平方因子を使った積に書き直す。	$\sqrt{36 n^{6} \cdot 2 n}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt{36 n^{6}} \cdot \sqrt{2 n}$
Simplify. 簡単にする。	$6 n^{3} \sqrt{2 n}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.17例題 9.17

Simplify:

\sqrt{63 u^{3} v^{5}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{63 u^{3} v^{5}}

。

Solution解答

	$\sqrt{63 u^{3} v^{5}}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor. 根号の中を、最大の完全平方因子を使った積に書き直す。	$\sqrt{9 u^{2} v^{4} \cdot 7 u v}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt{9 u^{2} v^{4}} \cdot \sqrt{7 u v}$
Simplify. 簡単にする。	$3 u v^{2} \sqrt{7 u v}$

Try It (2)確認問題（2題）

We have seen how to use the Order of Operations to simplify some expressions with radicals. To simplify

\sqrt{25} + \sqrt{144}

we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.

英語のヒント

計算の順序に従って根号を含む式を簡単にする方法はすでに見た。

\sqrt{25} + \sqrt{144}

を簡単にするには、まず各平方根を個別に簡単にしてから足すと、和の17を得る。

The expression

\sqrt{17} + \sqrt{7}

cannot be simplified—to begin we’d need to simplify each square root, but neither 17 nor 7 contains a perfect square factor.

英語のヒント

式

\sqrt{17} + \sqrt{7}

は簡単にできない。まず各平方根を簡単にする必要があるが、17も7も平方数の因子を含まないからである。

In the next example, we have the sum of an integer and a square root. We simplify the square root but cannot add the resulting expression to the integer.

英語のヒント

次の例は整数と平方根の和である。平方根を簡単にはするが、得られた式を整数と足してまとめることはできない。

Example 9.18例題 9.18

Simplify:

3 + \sqrt{32}

英語のヒント

簡単にせよ：

3 + \sqrt{32}

。

Solution解答

	$3 + \sqrt{32}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor. 根号の中を、最大の完全平方因子を使った積に書き直す。	$3 + \sqrt{16 \cdot 2}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$3 + \sqrt{16} \cdot \sqrt{2}$
Simplify. 簡単にする。	$3 + 4 \sqrt{2}$

The terms are not like and so we cannot add them. Trying to add an integer and a radical is like trying to add an integer and a variable—they are not like terms!

英語のヒント

同類項ではないので、足してまとめられない。整数と根号の式を足そうとするのは、整数と変数を足そうとするようなものだ。同類項ではないのである。

Try It (2)確認問題（2題）

The next example includes a fraction with a radical in the numerator. Remember that in order to simplify a fraction you need a common factor in the numerator and denominator.

英語のヒント

次の例は、分子に根号の式がある分数を含む。分数を簡単にするには分子と分母に共通因子が必要なことを思い出そう。

Example 9.19例題 9.19

Simplify:

\frac{4 - \sqrt{48}}{2}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{4 - \sqrt{48}}{2}

。

Solution解答

	$\frac{4 - \sqrt{48}}{2}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor. 根号の中を、最大の完全平方因子を使った積に書き直す。	$\frac{4 - \sqrt{16 \cdot 3}}{2}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\frac{4 - \sqrt{16} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{4 - 4 \sqrt{3}}{2}$
Factor the common factor from the numerator. 分子から共通因子をくくり出す。	$\frac{4 (1 - \sqrt{3})}{2}$
Remove the common factor, 2, from the numerator and denominator. 分子と分母から共通因子2を取り除く。	$\frac{2 \cdot 2 (1 - \sqrt{3})}{2}$
Simplify. 簡単にする。	$2 (1 - \sqrt{3})$

Try It (2)確認問題（2題）

第9章平方根と根号

9.2 Simplify Square Roots9.2 平方根を簡単にする

Learning Objectives学習目標

Use the Product Property to Simplify Square Roots積の性質を使って平方根を簡単にする

How To Use the Product Property to Simplify a Square Root積の性質を使って平方根を簡単にする方法

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

9.2 Simplify Square Roots9.2　平方根を簡単にする