第9章平方根と根号

9.3 Add and Subtract Square Roots9.3　平方根を足す、引く

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Add and subtract like square roots
英語のヒント
同類の平方根を足し引きする
Add and subtract square roots that need simplification
英語のヒント
簡単にする必要のある平方根を足し引きする

Before You Begin (2)準備問題（2題）

We know that we must follow the order of operations to simplify expressions with square roots. The radical is a grouping symbol, so we work inside the radical first. We simplify

\sqrt{2 + 7}

in this way:

英語のヒント

平方根を含む式を簡単にするには、計算の順序に従う必要がある。根号は式を一まとまりにする記号なので、まず根号の中を計算する。

\sqrt{2 + 7}

は次のように簡単にする。

\begin{matrix} \sqrt{2 + 7} \\ Add inside the radical. & \sqrt{9} \\ Simplify. & 3 \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt{2 + 7} \\ 根号の中で足す。 & \sqrt{9} \\ 簡単にする。 & 3 \end{matrix}

So if we have to add

\sqrt{2} + \sqrt{7}

, we must not combine them into one radical.

英語のヒント

したがって、

\sqrt{2} + \sqrt{7}

を足すときに、一つの根号の中にまとめてはならない。

\sqrt{2} + \sqrt{7} \neq \sqrt{2 + 7}

Trying to add square roots with different radicands is like trying to add unlike terms.

英語のヒント

被開平数の異なる平方根を足そうとするのは、異なる種類の項を足そうとするようなものである。

\begin{matrix} But, just like we can add & x + x, & we can add & \sqrt{3} + \sqrt{3} . \\ x + x = 2 x & \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \end{matrix}

\begin{matrix} しかし、次を足せるのと同じように： & x + x, & 次も足せる： & \sqrt{3} + \sqrt{3} . \\ x + x = 2 x & \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \end{matrix}

Adding square roots with the same radicand is just like adding like terms. We call square roots with the same radicand like square roots to remind us they work the same as like terms.

英語のヒント

被開平数が同じ平方根を足すことは、同類項を足すこととまったく同じである。同類項と同じように扱えることを思い出せるように、被開平数の同じ平方根を同類の平方根と呼ぶ。

We add and subtract like square roots in the same way we add and subtract like terms. We know that

3 x + 8 x

11 x

. Similarly we add

3 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x}

and the result is

11 \sqrt{x} .

英語のヒント

同類の平方根は同類項と同じ方法で足し引きする。

3 x + 8 x

が

11 x

になることは分かっている。同様に

3 \sqrt{x} + 8 \sqrt{x}

を足すと、結果は

11 \sqrt{x}

となる。

Add and Subtract Like Square Roots同類の平方根を足し引きする

Think about adding like terms with variables as you do the next few examples. When you have like radicands, you just add or subtract the coefficients. When the radicands are not like, you cannot combine the terms.

英語のヒント

次のいくつかの例では、変数を含む同類項の足し算を思い浮かべよう。被開平数が同じなら、係数を足し引きするだけでよい。被開平数が異なれば、項をまとめることはできない。

Example 9.29例題 9.29

Simplify:

2 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2}

英語のヒント

簡単にせよ：

2 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2}

。

Solution解答

	$2 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2}$
Since the radicals are like, we subtract the coefficients. 根号の式が同類なので、係数を引く。	$−5 \sqrt{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.30例題 9.30

Simplify:

3 \sqrt{y} + 4 \sqrt{y}

英語のヒント

簡単にせよ：

3 \sqrt{y} + 4 \sqrt{y}

。

Solution解答

	$3 \sqrt{y} + 4 \sqrt{y}$
Since the radicals are like, we add the coefficients. 根号の式が同類なので、係数を足す。	$7 \sqrt{y}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.31例題 9.31

Simplify:

4 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y}

英語のヒント

簡単にせよ：

4 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y}

。

Solution解答

	$4 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y}$
Since the radicals are not like, we cannot subtract them. We leave the expression as is. 根号の式が同類でないので、引いてまとめられない。式をそのままにする。	$4 \sqrt{x} - 2 \sqrt{y}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.32例題 9.32

Simplify:

5 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13}

英語のヒント

簡単にせよ：

5 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13}

。

Solution解答

	$5 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + 2 \sqrt{13}$
Since the radicals are like, we add the coefficients. 根号の式が同類なので、係数を足す。	$11 \sqrt{13}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.33例題 9.33

Simplify:

2 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3}

英語のヒント

簡単にせよ：

2 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3}

。

Solution解答

	$2 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3}$
Since the first two radicals are like, we subtract their coefficients. 最初の二つの根号の式が同類なので、それらの係数を引く。	$- 4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.34例題 9.34

Simplify:

2 \sqrt{5 n} - 6 \sqrt{5 n} + 4 \sqrt{5 n}

英語のヒント

簡単にせよ：

2 \sqrt{5 n} - 6 \sqrt{5 n} + 4 \sqrt{5 n}

。

Solution解答

	$2 \sqrt{5 n} - 6 \sqrt{5 n} + 4 \sqrt{5 n}$
Since the radicals are like, we combine them. 根号の式が同類なので、まとめる。	$0 \sqrt{5 n}$
Simplify. 簡単にする。	0

Try It (2)確認問題（2題）

When radicals contain more than one variable, as long as all the variables and their exponents are identical, the radicals are like.

英語のヒント

根号の式に複数の変数が含まれていても、すべての変数とその指数が一致していれば同類である。

Example 9.35例題 9.35

Simplify:

\sqrt{3 x y} + 5 \sqrt{3 x y} - 4 \sqrt{3 x y}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{3 x y} + 5 \sqrt{3 x y} - 4 \sqrt{3 x y}

。

Solution解答

	$\sqrt{3 x y} + 5 \sqrt{3 x y} - 4 \sqrt{3 x y}$
Since the radicals are like, we combine them. 根号の式が同類なので、まとめる。	$2 \sqrt{3 x y}$

Try It (2)確認問題（2題）

Add and Subtract Square Roots that Need Simplification簡単にする必要のある平方根を足し引きする

Remember that we always simplify square roots by removing the largest perfect-square factor. Sometimes when we have to add or subtract square roots that do not appear to have like radicals, we find like radicals after simplifying the square roots.

英語のヒント

平方根は常に、最大の平方数の因子を取り出して簡単にすることを思い出そう。同類の根号の式に見えない平方根を足し引きする場合でも、簡単にすると同類になることがある。

Example 9.36例題 9.36

Simplify:

\sqrt{20} + 3 \sqrt{5}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{20} + 3 \sqrt{5}

。

Solution解答

	$\sqrt{20} + 3 \sqrt{5}$
Simplify the radicals, when possible. 可能なら根号の式を簡単にする。	$\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}$
	$2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}$
Combine the like radicals. 同類の根号の項をまとめる。	$5 \sqrt{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.37例題 9.37

Simplify:

\sqrt{48} - \sqrt{75}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{48} - \sqrt{75}

。

Solution解答

	$\sqrt{48} - \sqrt{75}$
Simplify the radicals. 根号を含む式を簡単にする。	$\sqrt{16} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{25} \cdot \sqrt{3}$
	$4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}$
Combine the like radicals. 同類の根号の項をまとめる。	$− \sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Just like we use the Associative Property of Multiplication to simplify

5 (3 x)

and get

15 x

, we can simplify

5 (3 \sqrt{x})

and get

15 \sqrt{x}

. We will use the Associative Property to do this in the next example.

英語のヒント

乗法の結合法則を使って

5 (3 x)

を簡単にし、

15 x

を得るのと同じように、

5 (3 \sqrt{x})

を簡単にして

15 \sqrt{x}

を得られる。次の例で結合法則を使ってこれを行う。

Example 9.38例題 9.38

Simplify:

5 \sqrt{18} - 2 \sqrt{8}

英語のヒント

簡単にせよ：

5 \sqrt{18} - 2 \sqrt{8}

。

Solution解答

	$5 \sqrt{18} - 2 \sqrt{8}$
Simplify the radicals. 根号を含む式を簡単にする。	$5 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$
	$5 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}$
	$15 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$
Combine the like radicals. 同類の根号の項をまとめる。	$11 \sqrt{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.39例題 9.39

Simplify:

\frac{3}{4} \sqrt{192} - \frac{5}{6} \sqrt{108}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{3}{4} \sqrt{192} - \frac{5}{6} \sqrt{108}

。

Solution解答

	$\frac{3}{4} \sqrt{192} - \frac{5}{6} \sqrt{108}$
Simplify the radicals. 根号を含む式を簡単にする。	$\frac{3}{4} \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} - \frac{5}{6} \sqrt{36} \cdot \sqrt{3}$
	$\frac{3}{4} \cdot 8 \cdot \sqrt{3} - \frac{5}{6} \cdot 6 \cdot \sqrt{3}$
	$6 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}$
Combine the like radicals. 同類の根号の項をまとめる。	$\sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.40例題 9.40

Simplify:

\frac{2}{3} \sqrt{48} - \frac{3}{4} \sqrt{12}

英語のヒント

簡単にせよ：

\frac{2}{3} \sqrt{48} - \frac{3}{4} \sqrt{12}

。

Solution解答

	$\frac{2}{3} \sqrt{48} - \frac{3}{4} \sqrt{12}$
Simplify the radicals. 根号を含む式を簡単にする。	$\frac{2}{3} \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} - \frac{3}{4} \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$
	$\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{3} - \frac{3}{4} \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$
	$\frac{8}{3} \sqrt{3} - \frac{3}{2} \sqrt{3}$
Find a common denominator to subtract the coefficients of the like radicals. 同類の根号の式の係数を引くために、共通分母を求める。	$\frac{16}{6} \sqrt{3} - \frac{9}{6} \sqrt{3}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{7}{6} \sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, we will remove constant and variable factors from the square roots.

英語のヒント

次の例では、平方根から定数と変数の因子を取り出す。

Example 9.41例題 9.41

Simplify:

\sqrt{18 n^{5}} - \sqrt{32 n^{5}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{18 n^{5}} - \sqrt{32 n^{5}}

。

Solution解答

	$\sqrt{18 n^{5}} - \sqrt{32 n^{5}}$
Simplify the radicals. 根号を含む式を簡単にする。	$\sqrt{9 n^{4}} \cdot \sqrt{2 n} - \sqrt{16 n^{4}} \cdot \sqrt{2 n}$
	$3 n^{2} \sqrt{2 n} - 4 n^{2} \sqrt{2 n}$
Combine the like radicals. 同類の根号の項をまとめる。	$− n^{2} \sqrt{2 n}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.42例題 9.42

Simplify:

9 \sqrt{50 m^{2}} - 6 \sqrt{48 m^{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：

9 \sqrt{50 m^{2}} - 6 \sqrt{48 m^{2}}

。

Solution解答

	$9 \sqrt{50 m^{2}} - 6 \sqrt{48 m^{2}}$
Simplify the radicals. 根号を含む式を簡単にする。	$9 \sqrt{25 m^{2}} \cdot \sqrt{2} - 6 \sqrt{16 m^{2}} \cdot \sqrt{3}$
	$9 \cdot 5 m \cdot \sqrt{2} - 6 \cdot 4 m \cdot \sqrt{3}$
	$45 m \sqrt{2} - 24 m \sqrt{3}$
The radicals are not like and so cannot be combined. 根号の式は同類でないので、まとめられない。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.43例題 9.43

Simplify:

2 \sqrt{8 x^{2}} - 5 x \sqrt{32} + 5 \sqrt{18 x^{2}}

英語のヒント

簡単にせよ：

2 \sqrt{8 x^{2}} - 5 x \sqrt{32} + 5 \sqrt{18 x^{2}}

。

Solution解答

	$2 \sqrt{8 x^{2}} - 5 x \sqrt{32} + 5 \sqrt{18 x^{2}}$
Simplify the radicals. 根号を含む式を簡単にする。	$2 \sqrt{4 x^{2}} \cdot \sqrt{2} - 5 x \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 x^{2}} \cdot \sqrt{2}$
	$2 \cdot 2 x \cdot \sqrt{2} - 5 x \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + 5 \cdot 3 x \cdot \sqrt{2}$
	$4 x \sqrt{2} - 20 x \sqrt{2} + 15 x \sqrt{2}$
Combine the like radicals. 同類の根号の項をまとめる。	$− x \sqrt{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

第9章平方根と根号

9.3 Add and Subtract Square Roots9.3 平方根を足す、引く

Learning Objectives学習目標

Add and Subtract Like Square Roots同類の平方根を足し引きする

Solution解答

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Add and Subtract Square Roots that Need Simplification簡単にする必要のある平方根を足し引きする

Solution解答

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9.3 Add and Subtract Square Roots9.3　平方根を足す、引く