第9章平方根と根号

Key Concepts重要な概念

Summary of Exponent Properties
英語のヒント
指数に関する性質のまとめ
If $a, b$ are real numbers and $m, n$ are rational numbers, then
英語のヒント
$a, b$ が実数、 $m, n$ が有理数なら、次が成り立つ。
- Product Property $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
  英語のヒント
  積の性質 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
- Power Property ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
  英語のヒント
  累乗の累乗の法則 ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$
- Product to a Power ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$
  英語のヒント
  積の累乗 ${(a b)}^{m} = a^{m} b^{m}$
- Quotient Property:
  英語のヒント
  商の性質：
  
  $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0, m > n$
  
  $\frac{a^{m}}{a^{n}} = \frac{1}{a^{n - m}}, a \neq 0, n > m$
- Zero Exponent Definition $a^{0} = 1$ , $a \neq 0$
  英語のヒント
  指数0の定義 $a^{0} = 1$ 、 $a \neq 0$
- Quotient to a Power Property ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$
  英語のヒント
  商の累乗の法則 ${(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0$

Section Exercises節の練習問題

Practice Makes Perfect練習問題

Exercises 524–527練習問題 524–527

Simplify Expressions with $a^{\frac{1}{n}}$

英語のヒント

a^{\frac{1}{n}}

を含む式を簡単にする

In the following exercises, write as a radical expression.

英語のヒント

次の各問で、根号を使った式で書け。

Exercise 524問題 524

ⓐ

x^{\frac{1}{2}}

ⓑ

y^{\frac{1}{3}}

ⓒ

z^{\frac{1}{4}}

Exercise 525問題 525

ⓐ

r^{\frac{1}{2}}

ⓑ

s^{\frac{1}{3}}

ⓒ

t^{\frac{1}{4}}

Solution解き方

ⓐ

\sqrt{r}

ⓑ

\sqrt[3]{s}

ⓒ

\sqrt[4]{t}

Exercise 526問題 526

ⓐ

u^{\frac{1}{5}}

ⓑ

v^{\frac{1}{9}}

ⓒ

w^{\frac{1}{20}}

Exercise 527問題 527

ⓐ

g^{\frac{1}{7}}

ⓑ

h^{\frac{1}{5}}

ⓒ

j^{\frac{1}{25}}

Solution解き方

ⓐ

\sqrt[7]{g}

ⓑ

\sqrt[5]{h}

ⓒ

\sqrt[25]{j}

Exercises 528–535練習問題 528–535

In the following exercises, write with a rational exponent.

英語のヒント

以下の問題では、有理数の指数を使って表せ。

Exercise 528問題 528

ⓐ

- \sqrt[7]{x}

ⓑ

\sqrt[9]{y}

ⓒ

\sqrt[5]{f}

Exercise 529問題 529

ⓐ

\sqrt[8]{r}

ⓑ

ⓒ

\sqrt[4]{t}

Solution解き方

ⓐ

r^{\frac{1}{8}}

ⓑ

s^{\frac{1}{10}}

ⓒ

t^{\frac{1}{4}}

Exercise 530問題 530

ⓐ

\sqrt[3]{a}

ⓑ

ⓒ

\sqrt{c}

Exercise 531問題 531

ⓐ

\sqrt[5]{u}

ⓑ

\sqrt{v}

ⓒ

Solution解き方

ⓐ

u^{\frac{1}{5}}

ⓑ

v^{\frac{1}{2}}

ⓒ

w^{\frac{1}{16}}

Exercise 532問題 532

ⓐ

\sqrt[3]{7 c}

ⓑ

\sqrt[7]{12 d}

ⓒ

3 \sqrt[4]{5 f}

Exercise 533問題 533

ⓐ

\sqrt[4]{5 x}

ⓑ

\sqrt[8]{9 y}

ⓒ

7 \sqrt[5]{3 z}

Solution解き方

ⓐ

{(5 x)}^{\frac{1}{4}}

ⓑ

{(9 y)}^{\frac{1}{8}}

ⓒ

7 {(3 z)}^{\frac{1}{5}}

Exercise 534問題 534

ⓐ

\sqrt{21 p}

ⓑ

\sqrt[4]{8 q}

ⓒ

4 \sqrt[6]{36 r}

Exercise 535問題 535

ⓐ

\sqrt[3]{25 a}

ⓑ

\sqrt{3 b}

ⓒ

Solution解き方

ⓐ

{(25 a)}^{\frac{1}{3}}

ⓑ

{(3 b)}^{\frac{1}{2}}

ⓒ

{(40 c)}^{\frac{1}{10}}

Exercises 536–549練習問題 536–549

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 536問題 536

ⓐ

81^{\frac{1}{2}}

ⓑ

125^{\frac{1}{3}}

ⓒ

64^{\frac{1}{2}}

Exercise 537問題 537

ⓐ

625^{\frac{1}{4}}

ⓑ

243^{\frac{1}{5}}

ⓒ

32^{\frac{1}{5}}

Solution解き方

ⓐ 5 ⓑ 3 ⓒ 2

Exercise 538問題 538

ⓐ

16^{\frac{1}{4}}

ⓑ

16^{\frac{1}{2}}

ⓒ

3125^{\frac{1}{5}}

Exercise 539問題 539

ⓐ

216^{\frac{1}{3}}

ⓑ

32^{\frac{1}{5}}

ⓒ

81^{\frac{1}{4}}

Solution解き方

ⓐ 6 ⓑ 2 ⓒ 3

Exercise 540問題 540

ⓐ

{(−216)}^{\frac{1}{3}}

ⓑ

− 216^{\frac{1}{3}}

ⓒ

{(216)}^{- \frac{1}{3}}

Exercise 541問題 541

ⓐ

{(−243)}^{\frac{1}{5}}

ⓑ

− 243^{\frac{1}{5}}

ⓒ

{(243)}^{- \frac{1}{5}}

Solution解き方

ⓐ

−3

ⓑ

−3

ⓒ

\frac{1}{3}

Exercise 542問題 542

ⓐ

{(−1)}^{\frac{1}{3}}

ⓑ

{−1}^{\frac{1}{3}}

ⓒ

{(1)}^{- \frac{1}{3}}

Exercise 543問題 543

ⓐ

{(−1000)}^{\frac{1}{3}}

ⓑ

− 1000^{\frac{1}{3}}

ⓒ

{(1000)}^{- \frac{1}{3}}

Solution解き方

ⓐ

−10

ⓑ

−10

ⓒ

\frac{1}{10}

Exercise 544問題 544

ⓐ

{(−81)}^{\frac{1}{4}}

ⓑ

− 81^{\frac{1}{4}}

ⓒ

{(81)}^{- \frac{1}{4}}

Exercise 545問題 545

ⓐ

{(−49)}^{\frac{1}{2}}

ⓑ

− 49^{\frac{1}{2}}

ⓒ

{(49)}^{- \frac{1}{2}}

Solution解き方

ⓐ not a real number ⓑ

−7

ⓒ

\frac{1}{7}

英語のヒント

ⓐ 実数ではない ⓑ

−7

ⓒ

\frac{1}{7}

Exercise 546問題 546

ⓐ

{(−36)}^{\frac{1}{2}}

ⓑ

- 36^{\frac{1}{2}}

ⓒ

{(36)}^{- \frac{1}{2}}

Exercise 547問題 547

ⓐ

{(−1)}^{\frac{1}{4}}

ⓑ

{(1)}^{- \frac{1}{4}}

ⓒ

− 1^{\frac{1}{4}}

Solution解き方

ⓐ not a real number ⓑ

1

ⓒ

−1

英語のヒント

ⓐ 実数ではない ⓑ

1

ⓒ

−1

Exercise 548問題 548

ⓐ

{(−100)}^{\frac{1}{2}}

ⓑ

− 100^{\frac{1}{2}}

ⓒ

{(100)}^{- \frac{1}{2}}

Exercise 549問題 549

ⓐ

{(−32)}^{\frac{1}{5}}

ⓑ

{(243)}^{- \frac{1}{5}}

ⓒ

− 125^{\frac{1}{3}}

Solution解き方

ⓐ

−2

ⓑ

\frac{1}{3}

ⓒ

−5

Exercises 550–553練習問題 550–553

Simplify Expressions with $a^{\frac{m}{n}}$

英語のヒント

a^{\frac{m}{n}}

を含む式を簡単にする

In the following exercises, write with a rational exponent.

英語のヒント

以下の問題では、有理数の指数を使って表せ。

Exercise 550問題 550

ⓐ

\sqrt{m^{5}}

ⓑ

\sqrt[3]{n^{2}}

ⓒ

\sqrt[4]{p^{3}}

Exercise 551問題 551

ⓐ

\sqrt[4]{r^{7}}

ⓑ

\sqrt[5]{s^{3}}

ⓒ

\sqrt[3]{t^{7}}

Solution解き方

ⓐ

r^{\frac{7}{4}}

ⓑ

s^{\frac{3}{5}}

ⓒ

t^{\frac{7}{3}}

Exercise 552問題 552

ⓐ

\sqrt[5]{u^{2}}

ⓑ

\sqrt[5]{v^{8}}

ⓒ

\sqrt[9]{w^{4}}

Exercise 553問題 553

ⓐ

\sqrt[3]{a}

ⓑ

\sqrt{b^{5}}

ⓒ

\sqrt[3]{c^{5}}

Solution解き方

ⓐ

a^{\frac{1}{3}}

ⓑ

b^{\frac{5}{2}}

ⓒ

c^{\frac{5}{3}}

Exercises 554–565練習問題 554–565

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 554問題 554

ⓐ

16^{\frac{3}{2}}

ⓑ

8^{\frac{2}{3}}

ⓒ

{10,000}^{\frac{3}{4}}

Exercise 555問題 555

ⓐ

1000^{\frac{2}{3}}

ⓑ

25^{\frac{3}{2}}

ⓒ

32^{\frac{3}{5}}

Solution解き方

ⓐ 100 ⓑ 125 ⓒ 8

Exercise 556問題 556

ⓐ

27^{\frac{5}{3}}

ⓑ

16^{\frac{5}{4}}

ⓒ

32^{\frac{2}{5}}

Exercise 557問題 557

ⓐ

16^{\frac{3}{2}}

ⓑ

125^{\frac{5}{3}}

ⓒ

64^{\frac{4}{3}}

Solution解き方

ⓐ 64 ⓑ 3125 ⓒ 256

Exercise 558問題 558

ⓐ

32^{\frac{2}{5}}

ⓑ

27^{- \frac{2}{3}}

ⓒ

25^{- \frac{3}{2}}

Exercise 559問題 559

ⓐ

64^{\frac{5}{2}}

ⓑ

81^{- \frac{3}{2}}

ⓒ

27^{- \frac{4}{3}}

Solution解き方

ⓐ 32,768 ⓑ

\frac{1}{729}

ⓒ

\frac{1}{81}

Exercise 560問題 560

ⓐ

25^{\frac{3}{2}}

ⓑ

9^{- \frac{3}{2}}

ⓒ

{(−64)}^{\frac{2}{3}}

Exercise 561問題 561

ⓐ

100^{\frac{3}{2}}

ⓑ

49^{- \frac{5}{2}}

ⓒ

{(−100)}^{\frac{3}{2}}

Solution解き方

ⓐ 1000 ⓑ

\frac{1}{16,807}

英語のヒント

ⓐ 1000 ⓑ

\frac{1}{16,807}

Exercise 562問題 562

ⓐ

− 9^{\frac{3}{2}}

ⓑ

− 9^{- \frac{3}{2}}

ⓒ

{(−9)}^{\frac{3}{2}}

Exercise 563問題 563

ⓐ

− 64^{\frac{3}{2}}

ⓑ

− 64^{- \frac{3}{2}}

ⓒ

{(−64)}^{\frac{3}{2}}

Solution解き方

ⓐ

−512

ⓑ

- \frac{1}{512}

英語のヒント

ⓐ

−512

ⓑ

- \frac{1}{512}

Exercise 564問題 564

ⓐ

− 100^{\frac{3}{2}}

ⓑ

− 100^{- \frac{3}{2}}

ⓒ

{(−100)}^{\frac{3}{2}}

Exercise 565問題 565

ⓐ

− 49^{\frac{3}{2}}

ⓑ

− 49^{- \frac{3}{2}}

ⓒ

{(−49)}^{\frac{3}{2}}

Solution解き方

ⓐ

−343

ⓑ

- \frac{1}{343}

英語のヒント

ⓐ

−343

ⓑ

- \frac{1}{343}

Exercises 566–599練習問題 566–599

Use the Laws of Exponents to Simplify Expressions with Rational Exponents

英語のヒント

指数法則を使って有理数の指数を含む式を簡単にする

In the following exercises, simplify.

英語のヒント

次の練習問題では、式を簡単にする。

Exercise 566問題 566

ⓐ

4^{\frac{5}{8}} \cdot 4^{\frac{11}{8}}

ⓑ

m^{\frac{7}{12}} \cdot m^{\frac{17}{12}}

ⓒ

p^{\frac{3}{7}} \cdot p^{\frac{18}{7}}

Exercise 567問題 567

ⓐ

6^{\frac{5}{2}} \cdot 6^{\frac{1}{2}}

ⓑ

n^{\frac{2}{10}} \cdot n^{\frac{8}{10}}

ⓒ

q^{\frac{2}{5}} \cdot q^{\frac{13}{5}}

Solution解き方

ⓐ 216 ⓑ

n

ⓒ

q^{3}

Exercise 568問題 568

ⓐ

5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{7}{2}}

ⓑ

c^{\frac{3}{4}} \cdot c^{\frac{9}{4}}

ⓒ

d^{\frac{3}{5}} \cdot d^{\frac{2}{5}}

Exercise 569問題 569

ⓐ

10^{\frac{1}{3}} \cdot 10^{\frac{5}{3}}

ⓑ

x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{7}{6}}

ⓒ

y^{\frac{11}{8}} \cdot y^{\frac{21}{8}}

Solution解き方

ⓐ 100 ⓑ

x^{2}

ⓒ

y^{4}

Exercise 570問題 570

ⓐ

{(m^{6})}^{\frac{5}{2}}

ⓑ

{(n^{9})}^{\frac{4}{3}}

ⓒ

{(p^{12})}^{\frac{3}{4}}

Exercise 571問題 571

ⓐ

{(a^{12})}^{\frac{1}{6}}

ⓑ

{(b^{15})}^{\frac{3}{5}}

ⓒ

{(c^{11})}^{\frac{1}{11}}

Solution解き方

ⓐ

a^{2}

ⓑ

b^{9}

ⓒ

c

Exercise 572問題 572

ⓐ

{(x^{12})}^{\frac{2}{3}}

ⓑ

{(y^{20})}^{\frac{2}{5}}

ⓒ

{(z^{16})}^{\frac{1}{16}}

Exercise 573問題 573

ⓐ

{(h^{6})}^{\frac{4}{3}}

ⓑ

{(k^{12})}^{\frac{3}{4}}

ⓒ

{(j^{10})}^{\frac{7}{5}}

Solution解き方

ⓐ

h^{8}

ⓑ

k^{9}

ⓒ

j^{14}

Exercise 574問題 574

ⓐ

\frac{x^{\frac{7}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}

ⓑ

\frac{y^{\frac{5}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}}

ⓒ

\frac{r^{\frac{4}{5}}}{r^{\frac{9}{5}}}

Exercise 575問題 575

ⓐ

\frac{s^{\frac{11}{5}}}{s^{\frac{6}{5}}}

ⓑ

\frac{z^{\frac{7}{3}}}{z^{\frac{1}{3}}}

ⓒ

\frac{w^{\frac{2}{7}}}{w^{\frac{9}{7}}}

Solution解き方

ⓐ

s

ⓑ

z^{2}

ⓒ

\frac{1}{w}

Exercise 576問題 576

ⓐ

\frac{t^{\frac{12}{5}}}{t^{\frac{7}{5}}}

ⓑ

\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}

ⓒ

\frac{m^{\frac{13}{8}}}{m^{\frac{5}{8}}}

Exercise 577問題 577

ⓐ

\frac{u^{\frac{13}{9}}}{u^{\frac{4}{9}}}

ⓑ

\frac{r^{\frac{15}{7}}}{r^{\frac{8}{7}}}

ⓒ

\frac{n^{\frac{3}{5}}}{n^{\frac{8}{5}}}

Solution解き方

ⓐ

u

ⓑ

r

ⓒ

\frac{1}{n}

Exercise 578問題 578

ⓐ

{(9 p^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}

ⓑ

{(27 q^{\frac{3}{2}})}^{\frac{4}{3}}

Exercise 579問題 579

ⓐ

{(81 r^{\frac{4}{5}})}^{\frac{1}{4}}

ⓑ

{(64 s^{\frac{3}{7}})}^{\frac{1}{6}}

Solution解き方

ⓐ

3 r^{\frac{1}{5}}

ⓑ

2 s^{\frac{1}{14}}

Exercise 580問題 580

ⓐ

{(16 u^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{4}}

ⓑ

{(100 v^{\frac{2}{5}})}^{\frac{3}{2}}

Exercise 581問題 581

ⓐ

{(27 m^{\frac{3}{4}})}^{\frac{2}{3}}

ⓑ

{(625 n^{\frac{8}{3}})}^{\frac{3}{4}}

Solution解き方

ⓐ

9 m^{\frac{1}{2}}

ⓑ

125 n^{2}

Exercise 582問題 582

ⓐ

{(x^{8} y^{10})}^{\frac{1}{2}}

ⓑ

{(a^{9} b^{12})}^{\frac{1}{3}}

Exercise 583問題 583

ⓐ

{(r^{8} s^{4})}^{\frac{1}{4}}

ⓑ

{(u^{15} v^{20})}^{\frac{1}{5}}

Solution解き方

ⓐ

r^{2} s

ⓑ

u^{3} v^{4}

Exercise 584問題 584

ⓐ

{(a^{6} b^{16})}^{\frac{1}{2}}

ⓑ

{(j^{9} k^{6})}^{\frac{2}{3}}

Exercise 585問題 585

ⓐ

{(r^{16} s^{10})}^{\frac{1}{2}}

ⓑ

{(u^{10} v^{5})}^{\frac{4}{5}}

Solution解き方

ⓐ

r^{8} s^{5}

ⓑ

u^{8} v^{4}

Exercise 586問題 586

ⓐ

\frac{r^{\frac{5}{2}} \cdot r^{- \frac{1}{2}}}{r^{- \frac{3}{2}}}

ⓑ

\frac{s^{\frac{1}{5}} \cdot s}{s^{- \frac{9}{5}}}

Exercise 587問題 587

ⓐ

\frac{a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{- \frac{1}{4}}}{a^{- \frac{10}{4}}}

ⓑ

\frac{b^{\frac{2}{3}} \cdot b}{b^{- \frac{7}{3}}}

Solution解き方

ⓐ

a^{3}

ⓑ

b^{4}

Exercise 588問題 588

ⓐ

\frac{c^{\frac{5}{3}} \cdot c^{- \frac{1}{3}}}{c^{- \frac{2}{3}}}

ⓑ

\frac{d^{\frac{3}{5}} \cdot d}{d^{- \frac{2}{5}}}

Exercise 589問題 589

ⓐ

\frac{m^{\frac{7}{4}} \cdot m^{- \frac{5}{4}}}{m^{- \frac{2}{4}}}

ⓑ

\frac{n^{\frac{3}{7}} \cdot n}{n^{- \frac{4}{7}}}

Solution解き方

ⓐ

m

ⓑ

n^{2}

Exercise 590問題 590

4^{\frac{5}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{2}}

Exercise 591問題 591

n^{\frac{2}{6}} \cdot n^{\frac{4}{6}}

Solution解き方

n

Exercise 592問題 592

{(a^{24})}^{\frac{1}{6}}

Exercise 593問題 593

{(b^{10})}^{\frac{3}{5}}

Solution解き方

b^{6}

Exercise 594問題 594

\frac{w^{\frac{2}{5}}}{w^{\frac{7}{5}}}

Exercise 595問題 595

\frac{z^{\frac{2}{3}}}{z^{\frac{8}{3}}}

Solution解き方

\frac{1}{z^{2}}

Exercise 596問題 596

{(27 r^{\frac{3}{5}})}^{\frac{1}{3}}

Exercise 597問題 597

{(64 s^{\frac{3}{5}})}^{\frac{1}{6}}

Solution解き方

2 s^{\frac{1}{10}}

Exercise 598問題 598

{(r^{9} s^{12})}^{\frac{1}{3}}

Exercise 599問題 599

{(u^{12} v^{18})}^{\frac{1}{6}}

Solution解き方

u^{2} v^{3}