第9章平方根と根号

9.8 Rational Exponents9.8　有理数の指数

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Simplify expressions with $a^{\frac{1}{n}}$
英語のヒント
$a^{\frac{1}{n}}$ を含む式を簡単にする
Simplify expressions with $a^{\frac{m}{n}}$
英語のヒント
$a^{\frac{m}{n}}$ を含む式を簡単にする
Use the Laws of Exponents to simply expressions with rational exponents
英語のヒント
指数法則を使って有理数の指数を含む式を簡単にする

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Simplify Expressions with $a^{\frac{1}{n}}$ $a^{\frac{1}{n}}$ を含む式を簡単にする

Rational exponents are another way of writing expressions with radicals. When we use rational exponents, we can apply the properties of exponents to simplify expressions.

英語のヒント

有理数の指数は、根号を含む式の別の書き方である。有理数の指数を使えば、指数の性質を適用して式を簡単にできる。

The Power Property for Exponents says that

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

when m and n are whole numbers. Let’s assume we are now not limited to whole numbers.

英語のヒント

累乗の累乗の法則によれば、mとnが非負の整数のとき

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

が成り立つ。ここで、非負の整数に限らないと仮定しよう。

Suppose we want to find a number p such that

{(8^{p})}^{3} = 8

. We will use the Power Property of Exponents to find the value of p.

英語のヒント

{(8^{p})}^{3} = 8

を満たす数pを求めたいとする。累乗の累乗の法則を使ってpの値を求める。

	$\begin{matrix} {(8^{p})}^{3} & = & 8 \end{matrix}$
Multiply the exponents on the left. 左辺の指数を掛ける。	$\begin{matrix} 8^{3 p} & = & 8 \end{matrix}$
Write the exponent 1 on the right. 右辺に指数1を書く。	$\begin{matrix} 8^{3 p} & = & 8^{1} \end{matrix}$
The exponents must be equal. 指数は等しくなければならない。	$\begin{matrix} 3 p & = & 1 \end{matrix}$
Solve for $p .$ $p$ について解く。	$\begin{matrix} p & = & \frac{1}{3} \end{matrix}$
	$\begin{matrix} So {(8^{\frac{1}{3}})}^{3} & = & 8 . \end{matrix}$ $\begin{matrix} したがって {(8^{\frac{1}{3}})}^{3} & = & 8 . \end{matrix}$
But we know also ${(\sqrt[3]{8})}^{3} = 8$ . Then it must be that $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$ . しかし、 ${(\sqrt[3]{8})}^{3} = 8$ も分かっている。したがって、 $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$ でなければならない。

But we know also

{(\sqrt[3]{8})}^{3} = 8

. Then it must be that

8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}

英語のヒント

しかし、

{(\sqrt[3]{8})}^{3} = 8

も分かっている。したがって、

8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}

でなければならない。

This same logic can be used for any positive integer exponent n to show that

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

英語のヒント

同じ論理を任意の正の整数の指数nに用い、

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

を示せる。

There will be times when working with expressions will be easier if you use rational exponents and times when it will be easier if you use radicals. In the first few examples, you’ll practice converting expressions between these two notations.

英語のヒント

式を扱うとき、有理数の指数を使うほうが簡単な場合も、根号を使うほうが簡単な場合もある。最初のいくつかの例では、これら二つの表記の間で式を書き換える練習をする。

Example 9.103例題 9.103

Write as a radical expression: ⓐ

x^{\frac{1}{2}}

ⓑ

y^{\frac{1}{3}}

ⓒ

z^{\frac{1}{4}}

英語のヒント

根号を使った式で書け：ⓐ

x^{\frac{1}{2}}

ⓑ

y^{\frac{1}{3}}

ⓒ

z^{\frac{1}{4}}

。

Solution解答

We want to write each expression in the form

\sqrt[n]{a}

英語のヒント

各式を

\sqrt[n]{a}

の形で書く。

ⓐ

	$x^{\frac{1}{2}}$
The denominator of the exponent is 2, so the index of the radical is 2. We do not show the index when it is 2. 指数の分母が2なので、根の指数は2である。根の指数が2のときは記載しない。	$\sqrt{x}$

ⓑ

	$y^{\frac{1}{3}}$
The denominator of the exponent is 3, so the index is 3. 指数の分母が3なので、根の指数は3である。	$\sqrt[3]{y}$

ⓒ

	$z^{\frac{1}{4}}$
The denominator of the exponent is 4, so the index is 4. 指数の分母が4なので、根の指数は4である。	$\sqrt[4]{z}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.104例題 9.104

Write with a rational exponent: ⓐ

\sqrt{x}

ⓑ

\sqrt[3]{y}

ⓒ

\sqrt[4]{z}

英語のヒント

有理数の指数を使って表せ：ⓐ

\sqrt{x}

　ⓑ

\sqrt[3]{y}

　ⓒ

\sqrt[4]{z}

。

Solution解答

We want to write each radical in the form

a^{\frac{1}{n}}

英語のヒント

各根号の式を

a^{\frac{1}{n}}

の形で書く。

ⓐ

	$\sqrt{x}$
No index is shown, so it is 2. The denominator of the exponent will be 2. 根の指数が示されていないので2である。指数の分母は2となる。	$x^{\frac{1}{2}}$

ⓑ

	$\sqrt[3]{y}$
The index is 3, so the denominator of the exponent is 3. 根の指数が3なので、指数の分母は3である。	$y^{\frac{1}{3}}$

ⓒ

	$\sqrt[4]{z}$
The index is 4, so the denominator of the exponent is 4. 根の指数が4なので、指数の分母は4である。	$z^{\frac{1}{4}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.105例題 9.105

Write with a rational exponent: ⓐ

\sqrt{5 y}

ⓑ

\sqrt[3]{4 x}

ⓒ

3 \sqrt[4]{5 z}

英語のヒント

有理数の指数を使って表せ：ⓐ

\sqrt{5 y}

　ⓑ

\sqrt[3]{4 x}

　ⓒ

3 \sqrt[4]{5 z}

。

Solution解答

We want to write each radical in the form

a^{\frac{1}{n}}

英語のヒント

各根号の式を

a^{\frac{1}{n}}

の形で書く。

ⓐ

	$\sqrt{5 y}$
No index is shown, so it is 2. The denominator of the exponent will be 2. 根の指数が示されていないので2である。指数の分母は2となる。	${(5 y)}^{\frac{1}{2}}$

ⓑ

	$\sqrt[3]{4 x}$
The index is 3, so the denominator of the exponent is 3. 根の指数が3なので、指数の分母は3である。	${(4 x)}^{\frac{1}{3}}$

ⓒ

	$3 \sqrt[4]{5 z}$
The index is 4, so the denominator of the exponent is 4. 根の指数が4なので、指数の分母は4である。	$3 {(5 z)}^{\frac{1}{4}}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the next example, you may find it easier to simplify the expressions if you rewrite them as radicals first.

英語のヒント

次の例では、まず根号の式に書き直すと簡単にしやすいかもしれない。

Example 9.106例題 9.106

Simplify: ⓐ

25^{\frac{1}{2}}

ⓑ

64^{\frac{1}{3}}

ⓒ

256^{\frac{1}{4}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

25^{\frac{1}{2}}

　ⓑ

64^{\frac{1}{3}}

　ⓒ

256^{\frac{1}{4}}

。

Solution解答

ⓐ

	$25^{\frac{1}{2}}$
Rewrite as a square root. 平方根として書き直す。	$\sqrt{25}$
Simplify. 簡単にする。	$5$

ⓑ

	$64^{\frac{1}{3}}$
Rewrite as a cube root. 立方根として書き直す。	$\sqrt[3]{64}$
Recognize 64 is a perfect cube. 64が完全立方であることに着目する。	$\sqrt[3]{4^{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$4$

ⓒ

	$256^{\frac{1}{4}}$
Rewrite as a fourth root. 4乗根として書き直す。	$\sqrt[4]{256}$
Recognize 256 is a perfect fourth power. 256が完全4乗であることに着目する。	$\sqrt[4]{4^{4}}$
Simplify. 簡単にする。	$4$

Try It (2)確認問題（2題）

Be careful of the placement of the negative signs in the next example. We will need to use the property

a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}

in one case.

英語のヒント

次の例では負号の位置に注意する。一つの場合では、性質

a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}

を使う必要がある。

Example 9.107例題 9.107

Simplify: ⓐ

{(−64)}^{\frac{1}{3}}

ⓑ

− 64^{\frac{1}{3}}

ⓒ

{(64)}^{- \frac{1}{3}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(−64)}^{\frac{1}{3}}

　ⓑ

− 64^{\frac{1}{3}}

　ⓒ

{(64)}^{- \frac{1}{3}}

。

Solution解答

ⓐ

	${(−64)}^{\frac{1}{3}}$
Rewrite as a cube root. 立方根として書き直す。	$\sqrt[3]{−64}$
Rewrite $−64$ as a perfect cube. $−64$ を完全立方として書き直す。	$\sqrt[3]{{(−4)}^{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$−4$

ⓑ

	$− 64^{\frac{1}{3}}$
The exponent applies only to the 64. 指数は64だけにかかる。	$− (64^{\frac{1}{3}})$
Rewrite as a cube root. 立方根として書き直す。	$− \sqrt[3]{64}$
Rewrite 64 as $4^{3} .$ 64を $4^{3}$ と書き直す。	$− \sqrt[3]{4^{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$−4$

ⓒ

	${(64)}^{- \frac{1}{3}}$
Rewrite as a fraction with a positive exponent, using the property, $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 性質 $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使い、正の指数を持つ分数に書き直す。	$\frac{1}{\sqrt[3]{64}}$
Write as a cube root. 立方根として書く。
Rewrite 64 as $4^{3} .$ 64を $4^{3}$ と書き直す。	$\frac{1}{\sqrt[3]{4^{3}}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.108例題 9.108

Simplify: ⓐ

{(−16)}^{\frac{1}{4}}

ⓑ

− 16^{\frac{1}{4}}

ⓒ

{(16)}^{- \frac{1}{4}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(−16)}^{\frac{1}{4}}

　ⓑ

− 16^{\frac{1}{4}}

　ⓒ

{(16)}^{- \frac{1}{4}}

。

Solution解答

ⓐ

	${(−16)}^{\frac{1}{4}}$
Rewrite as a fourth root. 4乗根として書き直す。	$\sqrt[4]{−16}$
There is no real number whose fourth power is $−16 .$ 4乗が $−16$ となる実数はない。

ⓑ

	$− 16^{\frac{1}{4}}$
The exponent only applies to the 16. Rewrite as a fourth root. 指数は16だけにかかる。4乗根として書き直す。	$− \sqrt[4]{16}$
Rewrite $16$ as $2^{4} .$ $16$ を $2^{4}$ と書き直す。	$− \sqrt[4]{2^{4}}$
Simplify. 簡単にする。	$−2$

ⓒ

	${(16)}^{- \frac{1}{4}}$
Rewrite using the property $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}} .$ 性質 $a^{− n} = \frac{1}{a^{n}}$ を使って書き直す。	$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{4}}}$
Rewrite as a fourth root. 4乗根として書き直す。	$\frac{1}{\sqrt[4]{16}}$
Rewrite $16$ as $2^{4} .$ $16$ を $2^{4}$ と書き直す。	$\frac{1}{\sqrt[4]{2^{4}}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{1}{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

第9章平方根と根号

9.8 Rational Exponents9.8 有理数の指数

Learning Objectives学習目標

Simplify Expressions with a1na1nを含む式を簡単にする

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

Solution解答

9.8 Rational Exponents9.8　有理数の指数

Simplify Expressions with $a^{\frac{1}{n}}$ $a^{\frac{1}{n}}$ を含む式を簡単にする