第9章平方根と根号

Use the Quotient Property to Simplify Square Roots商の性質を使って平方根を簡単にする

Whenever you have to simplify a square root, the first step you should take is to determine whether the radicand is a perfect square. A perfect square fraction is a fraction in which both the numerator and the denominator are perfect squares.

英語のヒント

平方根を簡単にするときは、まず被開平数が完全平方かどうかを調べる。完全平方の分数とは、分子と分母がともに平方数である分数のことである。

Example 9.20例題 9.20

Simplify:

\sqrt{\frac{9}{64}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{9}{64}}

。

Solution解答

\begin{matrix} \sqrt{\frac{9}{64}} \\ Since {(\frac{3}{8})}^{2} = \frac{9}{64} & \frac{3}{8} \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt{\frac{9}{64}} \\ なぜなら {(\frac{3}{8})}^{2} = \frac{9}{64} & \frac{3}{8} \end{matrix}

Try It (2)確認問題（2題）

If the numerator and denominator have any common factors, remove them. You may find a perfect square fraction!

英語のヒント

分子と分母に共通因子があれば取り除く。完全平方の分数になるかもしれない。

Example 9.21例題 9.21

Simplify:

\sqrt{\frac{45}{80}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{45}{80}}

。

Solution解答

	$\sqrt{\frac{45}{80}}$
Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator. まず根号の中を簡単にする。分子と分母の共通因子が分かるように書き直す。	$\sqrt{\frac{5 \cdot 9}{5 \cdot 16}}$
Simplify the fraction by removing common factors. 共通の因数を取り除いて分数を約分する。	$\sqrt{\frac{9}{16}}$
$Simplify. {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$ $簡単にする。 {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$	$\frac{3}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

In the last example, our first step was to simplify the fraction under the radical by removing common factors. In the next example we will use the Quotient Property to simplify under the radical. We divide the like bases by subtracting their exponents,

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0

英語のヒント

前の例では、最初に共通因子を取り除き、根号内の分数を簡単にした。次の例では商の性質を使って根号の中を簡単にする。同じ底の累乗は指数を引いて割り算を行う。

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0

Example 9.22例題 9.22

Simplify:

\sqrt{\frac{m^{6}}{m^{4}}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{m^{6}}{m^{4}}}

。

Solution解答

	$\sqrt{\frac{m^{6}}{m^{4}}}$
Simplify the fraction inside the radical first. まず根号内の分数を簡単にする。
Divide the like bases by subtracting the exponents. 指数を引いて、同じ底の累乗を割る。	$\sqrt{m^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$m$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.23例題 9.23

Simplify:

\sqrt{\frac{48 p^{7}}{3 p^{3}}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{48 p^{7}}{3 p^{3}}}

。

Solution解答

	$\sqrt{\frac{48 p^{7}}{3 p^{3}}}$
Simplify the fraction inside the radical first. まず根号内の分数を簡単にする。	$\sqrt{16 p^{4}}$
Simplify. 簡単にする。	$4 p^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Remember the Quotient to a Power Property? It said we could raise a fraction to a power by raising the numerator and denominator to the power separately.

英語のヒント

商の累乗の法則を覚えているだろうか。分数を累乗するには、分子と分母を別々に累乗すればよいというものだった。

{(\frac{a}{b})}^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}, b \neq 0

We can use a similar property to simplify a square root of a fraction. After removing all common factors from the numerator and denominator, if the fraction is not a perfect square we simplify the numerator and denominator separately.

英語のヒント

同様の性質を使い、分数の平方根を簡単にできる。分子と分母から共通因子をすべて取り除いても分数が完全平方でなければ、分子と分母を別々に簡単にする。

Example 9.24例題 9.24

Simplify:

\sqrt{\frac{21}{64}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{21}{64}}

。

Solution解答

	$\sqrt{\frac{21}{64}}$
We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property. 根号内の分数は簡単にできない。商の性質を使って書き直す。	$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}$
Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified. 64の平方根を簡単にする。分子は簡単にできない。	$\frac{\sqrt{21}}{8}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.25例題 9.25

How to Use the Quotient Property to Simplify a Square Root商の性質を使って平方根を簡単にする方法

Simplify:

\sqrt{\frac{27 m^{3}}{196}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{27 m^{3}}{196}}

。

Solution解答

この表は3列3行である。1行目には「手順1。可能なら被開平数の分数を簡単にする」とある。次に27m³/196は簡単にできないことが示され、その後に√(27m³/196)がある。

2行目には「手順2。商の性質を使い、根号の式を二つの根号の式の商に書き直す」とある。続いて「√(27m³/196)を√(27m³)と√196の商に書き直す」とあり、√(27m³)/√196が示されている。

3行目には「手順3。分子と分母の根号の式を簡単にする」とある。次に「9m²と196は完全平方である」とあり、[√(9m²)×√(3m)]/√196、その後に3m√(3m)/14が示されている。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.26例題 9.26

Simplify:

\sqrt{\frac{45 x^{5}}{y^{4}}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{45 x^{5}}{y^{4}}}

。

Solution解答

	$\sqrt{\frac{45 x^{5}}{y^{4}}}$
We cannot simplify the fraction in the radicand. Rewrite using the Quotient Property. 被開平数の分数は簡単にできない。商の性質を使って書き直す。	$\frac{\sqrt{45 x^{5}}}{\sqrt{y^{4}}}$
Simplify the radicals in the numerator and the denominator. 分子と分母の根号を含む式を簡単にする。	$\frac{\sqrt{9 x^{4}} \cdot \sqrt{5 x}}{y^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3 x^{2} \sqrt{5 x}}{y^{2}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Be sure to simplify the fraction in the radicand first, if possible.

英語のヒント

可能なら、必ず先に被開平数の分数を簡単にする。

Example 9.27例題 9.27

Simplify:

\sqrt{\frac{81 d^{9}}{25 d^{4}}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{81 d^{9}}{25 d^{4}}}

。

Solution解答

	$\sqrt{\frac{81 d^{9}}{25 d^{4}}}$
Simplify the fraction in the radicand. 被開平数の分数を簡単にする。	$\sqrt{\frac{81 d^{5}}{25}}$
Rewrite using the Quotient Property. 商の性質を使って書き直す。	$\frac{\sqrt{81 d^{5}}}{\sqrt{25}}$
Simplify the radicals in the numerator and the denominator. 分子と分母の根号を含む式を簡単にする。	$\frac{\sqrt{81 d^{4}} \cdot \sqrt{d}}{5}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{9 d^{2} \sqrt{d}}{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.28例題 9.28

Simplify:

\sqrt{\frac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}

英語のヒント

簡単にせよ：

\sqrt{\frac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}

。

Solution解答

	$\sqrt{\frac{18 p^{5} q^{7}}{32 p q^{2}}}$
Simplify the fraction in the radicand, if possible. 可能なら被開平数の分数を簡単にする。	$\sqrt{\frac{9 p^{4} q^{5}}{16}}$
Rewrite using the Quotient Property. 商の性質を使って書き直す。	$\frac{\sqrt{9 p^{4} q^{5}}}{\sqrt{16}}$
Simplify the radicals in the numerator and the denominator. 分子と分母の根号を含む式を簡単にする。	$\frac{\sqrt{9 p^{4} q^{4}} \cdot \sqrt{q}}{4}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{3 p^{2} q^{2} \sqrt{q}}{4}$

Try It (2)確認問題（2題）

Key Concepts重要な概念

Simplified Square Root $\sqrt{a}$ is considered simplified if $a$ has no perfect-square factors.
英語のヒント
簡単な形の平方根 $a$ に平方数の因子がなければ、 $\sqrt{a}$ は簡単な形であるとみなされる。
Product Property of Square Roots If a, b are non-negative real numbers, then
英語のヒント
平方根の積の性質 a、bが非負の実数なら、次が成り立つ。

$\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$
Simplify a Square Root Using the Product Property To simplify a square root using the Product Property:
英語のヒント
積の性質を使って平方根を簡単にする積の性質で平方根を簡単にするには、次の手順に従う。
1. Find the largest perfect square factor of the radicand. Rewrite the radicand as a product using the perfect square factor.
  英語のヒント
  被開平数の最大の平方数の因子を求める。その因子を用いた積として被開平数を書き直す。
2. Use the product rule to rewrite the radical as the product of two radicals.
  英語のヒント
  積の法則を使い、根号の式を二つの根号の式の積に書き直す。
3. Simplify the square root of the perfect square.
  英語のヒント
  平方数の平方根を簡単にする。
Quotient Property of Square Roots If a, b are non-negative real numbers and $b \neq 0$ , then
英語のヒント
平方根の商の性質 a、bが非負の実数で $b \neq 0$ なら、次が成り立つ。

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Simplify a Square Root Using the Quotient Property To simplify a square root using the Quotient Property:
英語のヒント
商の性質を使って平方根を簡単にする商の性質で平方根を簡単にするには、次の手順に従う。
1. Simplify the fraction in the radicand, if possible.
  英語のヒント
  可能なら被開平数の分数を簡単にする。
2. Use the Quotient Rule to rewrite the radical as the quotient of two radicals.
  英語のヒント
  商の法則を使い、根号の式を二つの根号の式の商に書き直す。
3. Simplify the radicals in the numerator and the denominator.
  英語のヒント
  分子と分母の根号を含む式を簡単にする。