第9章平方根と根号

9.4 Multiply Square Roots9.4　平方根の掛け算

Learning Objectives学習目標

By the end of this section, you will be able to:

英語のヒント

この節を終えると、次のことができるようになる。

Multiply square roots
英語のヒント
平方根を掛ける
Use polynomial multiplication to multiply square roots
英語のヒント
多項式の掛け算を使って平方根を掛ける

Before You Begin (3)準備問題（3題）

Multiply Square Roots平方根の掛け算

We have used the Product Property of Square Roots to simplify square roots by removing the perfect square factors. The Product Property of Square Roots says

英語のヒント

これまで平方根の積の性質を使い、平方数の因子を取り出して平方根を簡単にしてきた。平方根の積の性質は次のとおりである。

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

We can use the Product Property of Square Roots ‘in reverse’ to multiply square roots.

英語のヒント

平方根の積の性質を「逆向き」に使うと、平方根を掛けられる。

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}

Remember, we assume all variables are greater than or equal to zero.

英語のヒント

すべての変数が0以上であると仮定していることを思い出そう。

We will rewrite the Product Property of Square Roots so we see both ways together.

英語のヒント

両方向を一緒に見られるよう、平方根の積の性質を書き直す。

So we can multiply

\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}

in this way:

英語のヒント

したがって、

\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}

は次のように掛けられる。

\begin{matrix} \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \\ \sqrt{3 \cdot 5} \\ \sqrt{15} \end{matrix}

Sometimes the product gives us a perfect square:

英語のヒント

積が完全平方になる場合もある。

\begin{matrix} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} \\ \sqrt{2 \cdot 8} \\ \sqrt{16} \\ 4 \end{matrix}

Even when the product is not a perfect square, we must look for perfect-square factors and simplify the radical whenever possible.

英語のヒント

積が完全平方でない場合も、完全平方の因子を探し、可能な限り根号の式を簡単にしなければならない。

Multiplying radicals with coefficients is much like multiplying variables with coefficients. To multiply

4 x \cdot 3 y

we multiply the coefficients together and then the variables. The result is

12 x y

. Keep this in mind as you do these examples.

英語のヒント

係数を持つ根号の式の掛け算は、係数を持つ変数の掛け算とよく似ている。

4 x \cdot 3 y

では、係数どうしを掛けてから変数どうしを掛ける。結果は

12 x y

である。これらの例に取り組む際は、このことを覚えておこう。

Example 9.44例題 9.44

Simplify: ⓐ

\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}

ⓑ

(4 \sqrt{3}) (2 \sqrt{12})

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}

　ⓑ

(4 \sqrt{3}) (2 \sqrt{12})

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}$
Multiply using the Product Property. 積の性質を使って掛け算する。	$\sqrt{12}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$
Simplify. 簡単にする。	$2 \sqrt{3}$

ⓑ

	$(4 \sqrt{3}) (2 \sqrt{12})$
Multiply using the Product Property. 積の性質を使って掛け算する。	$8 \sqrt{36}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$8 \cdot 6$
Simplify. 簡単にする。	$48$

Notice that in (b) we multiplied the coefficients and multiplied the radicals. Also, we did not simplify

\sqrt{12}

. We waited to get the product and then simplified.

英語のヒント

(b)では、係数どうしを掛け、根号の式どうしを掛けたことに注意する。また、

\sqrt{12}

を先には簡単にせず、積を求めてから簡単にした。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.45例題 9.45

Simplify:

(6 \sqrt{2}) (3 \sqrt{10})

英語のヒント

簡単にせよ：

(6 \sqrt{2}) (3 \sqrt{10})

。

Solution解答

	$(6 \sqrt{2}) (3 \sqrt{10})$
Multiply using the Product Property. 積の性質を使って掛け算する。	$18 \sqrt{20}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$18 \sqrt{4} \cdot \sqrt{5}$
Simplify. 簡単にする。	$18 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$
	$36 \sqrt{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

When we have to multiply square roots, we first find the product and then remove any perfect square factors.

英語のヒント

平方根を掛けるときは、まず積を求め、その後で完全平方の因子を取り出す。

Example 9.46例題 9.46

Simplify: ⓐ

(\sqrt{8 x^{3}}) (\sqrt{3 x})

ⓑ

(\sqrt{20 y^{2}}) (\sqrt{5 y^{3}})

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

(\sqrt{8 x^{3}}) (\sqrt{3 x})

　ⓑ

(\sqrt{20 y^{2}}) (\sqrt{5 y^{3}})

。

Solution解答

ⓐ

	$(\sqrt{8 x^{3}}) (\sqrt{3 x})$
Multiply using the Product Property. 積の性質を使って掛け算する。	$\sqrt{24 x^{4}}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$\sqrt{4 x^{4}} \cdot \sqrt{6}$
Simplify. 簡単にする。	$2 x^{2} \sqrt{6}$

ⓑ

	$(\sqrt{20 y^{2}}) (\sqrt{5 y^{3}})$
Multiply using the Product Property. 積の性質を使って掛け算する。	$\sqrt{100 y^{5}}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$10 y^{2} \sqrt{y}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.47例題 9.47

Simplify:

(10 \sqrt{6 p^{3}}) (3 \sqrt{18 p})

英語のヒント

簡単にせよ：

(10 \sqrt{6 p^{3}}) (3 \sqrt{18 p})

。

Solution解答

	$(10 \sqrt{6 p^{3}}) (3 \sqrt{18 p})$
Multiply. 掛ける。	$30 \sqrt{108 p^{4}}$
Simplify the radical. 根号を含む式を簡単にする。	$30 \sqrt{36 p^{4}} \cdot \sqrt{3}$
	$30 \cdot 6 p^{2} \cdot \sqrt{3}$
	$180 p^{2} \sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.48例題 9.48

Simplify: ⓐ

{(\sqrt{2})}^{2}

ⓑ

{(− \sqrt{11})}^{2}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(\sqrt{2})}^{2}

　ⓑ

{(− \sqrt{11})}^{2}

。

Solution解答

ⓐ

	${(\sqrt{2})}^{2}$
Rewrite as a product. 積として書き直す。	$(\sqrt{2}) (\sqrt{2})$
Multiply. 掛ける。	$\sqrt{4}$
Simplify. 簡単にする。	$2$

ⓑ

	${(− \sqrt{11})}^{2}$
Rewrite as a product. 積として書き直す。	$(− \sqrt{11}) (− \sqrt{11})$
Multiply. 掛ける。	$\sqrt{121}$
Simplify. 簡単にする。	$11$

Try It (2)確認問題（2題）

The results of the previous example lead us to this property.

英語のヒント

前の例の結果から、次の性質が導かれる。

By realizing that squaring and taking a square root are ‘opposite’ operations, we can simplify

{(\sqrt{2})}^{2}

and get 2 right away. When we multiply the two like square roots in part (a) of the next example, it is the same as squaring.

英語のヒント

平方することと平方根を取ることが「逆」の操作だと分かれば、

{(\sqrt{2})}^{2}

を簡単にしてすぐに2を得られる。次の例の(a)で同類の二つの平方根を掛けることは、平方することと同じである。

Example 9.49例題 9.49

Simplify: ⓐ

(2 \sqrt{3}) (8 \sqrt{3})

ⓑ

{(3 \sqrt{6})}^{2}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

(2 \sqrt{3}) (8 \sqrt{3})

　ⓑ

{(3 \sqrt{6})}^{2}

。

Solution解答

ⓐ

	$(2 \sqrt{3}) (8 \sqrt{3})$
Multiply. Remember, ${(\sqrt{3})}^{2} = 3 .$ 掛ける。 ${(\sqrt{3})}^{2} = 3$ であることを思い出そう。	$16 \cdot 3$
Simplify. 簡単にする。	$48$

ⓑ

	${(3 \sqrt{6})}^{2}$
Multiply. 掛ける。	$9 \cdot 6$
Simplify. 簡単にする。	$54$

Try It (2)確認問題（2題）

Use Polynomial Multiplication to Multiply Square Roots多項式の掛け算を使って平方根を掛ける

In the next few examples, we will use the Distributive Property to multiply expressions with square roots.

英語のヒント

次のいくつかの例では、分配法則を使って平方根を含む式を掛ける。

We will first distribute and then simplify the square roots when possible.

英語のヒント

まず分配し、その後で可能な平方根を簡単にする。

Example 9.50例題 9.50

Simplify: ⓐ

3 (5 - \sqrt{2})

ⓑ

\sqrt{2} (4 - \sqrt{10})

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

3 (5 - \sqrt{2})

　ⓑ

\sqrt{2} (4 - \sqrt{10})

。

Solution解答

ⓐ

	$3 (5 - \sqrt{2})$
Distribute. 分配法則を使う。	$15 - 3 \sqrt{2}$

ⓑ

	$\sqrt{2} (4 - \sqrt{10})$
Distribute. 分配法則を使う。	$4 \sqrt{2} - \sqrt{20}$
	$4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.51例題 9.51

Simplify: ⓐ

\sqrt{5} (7 + 2 \sqrt{5})

ⓑ

\sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{18})

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt{5} (7 + 2 \sqrt{5})

　ⓑ

\sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{18})

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt{5} (7 + 2 \sqrt{5})$
Multiply. 掛ける。	$7 \sqrt{5} + 2 \cdot 5$
Simplify. 簡単にする。	$7 \sqrt{5} + 10$
	$10 + 7 \sqrt{5}$

ⓑ

	$\sqrt{6} (\sqrt{2} + \sqrt{18})$
Multiply. 掛ける。	$\sqrt{12} + \sqrt{108}$
Simplify. 簡単にする。	$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{36} \cdot \sqrt{3}$
	$2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$
Combine like radicals. 同類の根号の式をまとめる。	$8 \sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

When we worked with polynomials, we multiplied binomials by binomials. Remember, this gave us four products before we combined any like terms. To be sure to get all four products, we organized our work—usually by the FOIL method.

英語のヒント

多項式を扱ったとき、二項式どうしを掛けた。同類項をまとめる前に、四つの積が得られたことを思い出そう。四つの積を確実に得るため、通常はFOIL法で計算を整理した。

Example 9.52例題 9.52

Simplify:

(2 + \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})

英語のヒント

簡単にせよ：

(2 + \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})

。

Solution解答

	$(2 + \sqrt{3}) (4 - \sqrt{3})$
Multiply. 掛ける。	$8 - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 3$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$5 + 2 \sqrt{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.53例題 9.53

Simplify:

(3 - 2 \sqrt{7}) (4 - 2 \sqrt{7})

英語のヒント

簡単にせよ：

(3 - 2 \sqrt{7}) (4 - 2 \sqrt{7})

。

Solution解答

	$(3 - 2 \sqrt{7}) (4 - 2 \sqrt{7})$
Multiply. 掛ける。	$12 - 6 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} + 4 \cdot 7$
Simplify. 簡単にする。	$12 - 6 \sqrt{7} - 8 \sqrt{7} + 28$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$40 - 14 \sqrt{7}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.54例題 9.54

Simplify:

(3 \sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 4 \sqrt{5})

英語のヒント

簡単にせよ：

(3 \sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 4 \sqrt{5})

。

Solution解答

	$(3 \sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 4 \sqrt{5})$
Multiply. 掛ける。	$3 \cdot 2 + 12 \sqrt{10} - \sqrt{10} - 4 \cdot 5$
Simplify. 簡単にする。	$6 + 12 \sqrt{10} - \sqrt{10} - 20$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$−14 + 11 \sqrt{10}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.55例題 9.55

Simplify:

(4 - 2 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})

英語のヒント

簡単にせよ：

(4 - 2 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})

。

Solution解答

	$(4 - 2 \sqrt{x}) (1 + 3 \sqrt{x})$
Multiply. 掛ける。	$4 + 12 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - 6 x$
Combine like terms. 同類項をまとめる。	$4 + 10 \sqrt{x} - 6 x$

Try It (2)確認問題（2題）

Note that some special products made our work easier when we multiplied binomials earlier. This is true when we multiply square roots, too. The special product formulas we used are shown below.

英語のヒント

以前、二項式を掛ける際に、特別な積の公式を使うと計算が楽になった。平方根を掛ける場合も同じである。そのとき使った積の公式を以下に示す。

We will use the special product formulas in the next few examples. We will start with the Binomial Squares formula.

英語のヒント

次のいくつかの例では、特別な積の公式を使う。まず二項式の平方の公式から始める。

Example 9.56例題 9.56

Simplify: ⓐ

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

ⓑ

{(4 - 2 \sqrt{5})}^{2}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

{(2 + \sqrt{3})}^{2}

　ⓑ

{(4 - 2 \sqrt{5})}^{2}

。

Solution解答

Be sure to include the

2 a b

term when squaring a binomial.

英語のヒント

二項式を平方するときは、必ず

2 a b

の項を含める。

ⓐ

Multiply using the binomial square pattern.
二項式の平方の公式を使って掛け算する。

Simplify.
簡単にする。

Combine like terms.
同類項をまとめる。
ⓑ

Multiply using the binomial square pattern.
二項式の平方の公式を使って掛け算する。

Simplify.
簡単にする。

Combine like terms.
同類項をまとめる。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.57例題 9.57

Simplify:

{(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}

英語のヒント

簡単にせよ：

{(1 + 3 \sqrt{x})}^{2}

。

Solution解答


Multiply using the binomial square pattern. 二項式の平方の公式を使って掛け算する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

In the next two examples, we will find the product of conjugates.

英語のヒント

次の二つの例では、共役な式の積を求める。

Example 9.58例題 9.58

Simplify:

(4 - \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})

英語のヒント

簡単にせよ：

(4 - \sqrt{2}) (4 + \sqrt{2})

。

Solution解答


Multiply using the binomial square pattern. 二項式の平方の公式を使って掛け算する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.59例題 9.59

Simplify:

(5 - 2 \sqrt{3}) (5 + 2 \sqrt{3})

英語のヒント

簡単にせよ：

(5 - 2 \sqrt{3}) (5 + 2 \sqrt{3})

。

Solution解答


Multiply using the binomial square pattern. 二項式の平方の公式を使って掛け算する。
Simplify. 簡単にする。

Try It (2)確認問題（2題）

Additional Resources追加教材

第9章平方根と根号

9.4 Multiply Square Roots9.4 平方根の掛け算

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Multiply Square Roots平方根の掛け算

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Use Polynomial Multiplication to Multiply Square Roots多項式の掛け算を使って平方根を掛ける

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