第9章平方根と根号

Use the Product Property to Simplify Expressions with Higher Roots積の性質を使って高次の根を含む式を簡単にする

We will simplify expressions with higher roots in much the same way as we simplified expressions with square roots. An nth root is considered simplified if it has no factors of

m^{n}

英語のヒント

高次の根を含む式も、平方根を含む式とほぼ同じ方法で簡単にする。n乗根は、

m^{n}

の因子がなければ簡単な形とみなされる。

We will generalize the Product Property of Square Roots to include any integer root

n \geq 2

英語のヒント

平方根の積の性質を、任意の整数

n \geq 2

の乗根へ一般化する。

Example 9.93例題 9.93

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{x^{4}}

ⓑ

\sqrt[4]{x^{7}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{x^{4}}

　ⓑ

\sqrt[4]{x^{7}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{x^{4}}$
Rewrite the radicand as a product using the largest perfect cube factor. 最大の完全立方の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[3]{x^{3} \cdot x}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[3]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}$
Simplify. 簡単にする。	$x \sqrt[3]{x}$

ⓑ

	$\sqrt[4]{x^{7}}$
Rewrite the radicand as a product using the greatest perfect fourth power factor. 最大の完全4乗の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[4]{x^{4} \cdot x^{3}}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[4]{x^{4}} \cdot \sqrt[4]{x^{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$\| x \| \sqrt[4]{x^{3}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.94例題 9.94

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{16}

ⓑ

\sqrt[4]{243}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{16}

　ⓑ

\sqrt[4]{243}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{16}$
	$\sqrt[3]{2^{4}}$
Rewrite the radicand as a product using the greatest perfect cube factor. 最大の完全立方の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[3]{2^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}$
Simplify. 簡単にする。	$2 \sqrt[3]{2}$

ⓑ

	$\sqrt[4]{243}$
	$\sqrt[4]{3^{5}}$
Rewrite the radicand as a product using the greatest perfect fourth power factor. 最大の完全4乗の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[4]{3^{4} \cdot 3}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[4]{3^{4}} \cdot \sqrt[4]{3}$
Simplify. 簡単にする。	$3 \sqrt[4]{3}$

Try It (2)確認問題（2題）

Don’t forget to use the absolute value signs when taking an even root of an expression with a variable in the radical.

英語のヒント

根号内に変数を含む式の偶数乗根を取るときは、絶対値記号を使うことを忘れない。

Example 9.95例題 9.95

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{24 x^{7}}

ⓑ

\sqrt[4]{80 y^{14}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{24 x^{7}}

　ⓑ

\sqrt[4]{80 y^{14}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{24 x^{7}}$
Rewrite the radicand as a product using perfect cube factors. 完全立方の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[3]{2^{3} x^{6} \cdot 3 x}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[3]{2^{3} x^{6}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$
Rewrite the first radicand as ${(2 x^{2})}^{3} .$ 最初の根号内の式を ${(2 x^{2})}^{3}$ と書き直す。	$\sqrt[3]{{(2 x^{2})}^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 x}$
Simplify. 簡単にする。	$2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}$

ⓑ

	$\sqrt[4]{80 y^{14}}$
Rewrite the radicand as a product using perfect fourth power factors. 完全4乗の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[4]{2^{4} y^{12} \cdot 5 y^{2}}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[4]{2^{4} y^{12}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$
Rewrite the first radicand as ${(2 y^{3})}^{4} .$ 最初の根号内の式を ${(2 y^{3})}^{4}$ と書き直す。	$\sqrt[4]{{(2 y^{3})}^{4}} \cdot \sqrt[4]{5 y^{2}}$
Simplify. 簡単にする。	$2 \| y^{3} \| \sqrt[4]{5 y^{2}}$

Try It (2)確認問題（2題）

Example 9.96例題 9.96

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{−27}

ⓑ

\sqrt[4]{−16}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{−27}

　ⓑ

\sqrt[4]{−16}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{−27}$
Rewrite the radicand as a product using perfect cube factors. 完全立方の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[3]{{(−3)}^{3}}$
Take the cube root. 立方根を取る。	$−3$

ⓑ

	$\sqrt[4]{−16}$
There is no real number $n$ where $n^{4} = −16 .$ $n^{4} = −16$ を満たす実数 $n$ はない。	Not a real number. 実数ではない。

Try It (2)確認問題（2題）

Use the Quotient Property to Simplify Expressions with Higher Roots商の性質を使って高次の根を含む式を簡単にする

We can simplify higher roots with quotients in the same way we simplified square roots. First we simplify any fractions inside the radical.

英語のヒント

商を含む高次の根も、平方根と同じ方法で簡単にできる。まず根号内の分数を簡単にする。

Example 9.97例題 9.97

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{\frac{a^{8}}{a^{5}}}

ⓑ

\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^{2}}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{\frac{a^{8}}{a^{5}}}

　ⓑ

\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^{2}}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{\frac{a^{8}}{a^{5}}}$
Simplify the fraction under the radical first. まず根号内の分数を簡単にする。	$\sqrt[3]{a^{3}}$
Simplify. 簡単にする。	$a$

ⓑ

	$\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^{2}}}$
Simplify the fraction under the radical first. まず根号内の分数を簡単にする。	$\sqrt[4]{a^{8}}$
Rewrite the radicand using perfect fourth power factors. 完全4乗の因子を使って根号内の式を書き直す。	$\sqrt[4]{{(a^{2})}^{4}}$
Simplify. 簡単にする。	$a^{2}$

Try It (2)確認問題（2題）

Previously, we used the Quotient Property ‘in reverse’ to simplify square roots. Now we will generalize the formula to include higher roots.

英語のヒント

以前、商の性質を「逆向き」に使って平方根を簡単にした。ここで、その公式を高次の根にも一般化する。

Example 9.98例題 9.98

Simplify: ⓐ

\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}

ⓑ

\frac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}

　ⓑ

\frac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}$
Neither radicand is a perfect cube, so use the Quotient Property to write as one radical. どちらの根号内の式も完全立方ではないので、商の性質を使い、一つの根号の式として書く。	$\sqrt[3]{\frac{−108}{2}}$
Simplify the fraction under the radical. 根号内の分数を簡単にする。	$\sqrt[3]{−54}$
Rewrite the radicand as a product using perfect cube factors. 完全立方の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[3]{{(−3)}^{3} \cdot 2}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[3]{{(−3)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{2}$
Simplify. 簡単にする。	$−3 \sqrt[3]{2}$

ⓑ

	$\frac{\sqrt[4]{96 x^{7}}}{\sqrt[4]{3 x^{2}}}$
Neither radicand is a perfect fourth power, so use the Quotient Property to write as one radical. どちらの根号内の式も完全4乗ではないので、商の性質を使い、一つの根号の式として書く。	$\sqrt[4]{\frac{96 x^{7}}{3 x^{2}}}$
Simplify the fraction under the radical. 根号内の分数を簡単にする。	$\sqrt[4]{32 x^{5}}$
Rewrite the radicand as a product using perfect fourth power factors. 完全4乗の因子を使った積として、根号内の式を書き直す。	$\sqrt[4]{2^{4} x^{4} \cdot 2 x}$
Rewrite the radical as the product of two radicals. 根号を含む式を、2つの根号の積に書き直す。	$\sqrt[4]{{(2 x)}^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 x}$
Simplify. 簡単にする。	$2 \| x \| \sqrt[4]{2 x}$

Try It (2)確認問題（2題）

If the fraction inside the radical cannot be simplified, we use the first form of the Quotient Property to rewrite the expression as the quotient of two radicals.

英語のヒント

根号内の分数を簡単にできない場合は、商の性質の最初の形を使い、二つの根号の式の商に書き直す。

Example 9.99例題 9.99

Simplify: ⓐ

\sqrt[3]{\frac{24 x^{7}}{y^{3}}}

ⓑ

\sqrt[4]{\frac{48 x^{10}}{y^{8}}}

英語のヒント

簡単にせよ：ⓐ

\sqrt[3]{\frac{24 x^{7}}{y^{3}}}

　ⓑ

\sqrt[4]{\frac{48 x^{10}}{y^{8}}}

。

Solution解答

ⓐ

	$\sqrt[3]{\frac{24 x^{7}}{y^{3}}}$
The fraction in the radicand cannot be simplified. Use the Quotient Property to write as two radicals. 根号内の分数は簡単にできない。商の性質を使い、二つの根号の式として書く。	$\frac{\sqrt[3]{24 x^{7}}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$
Rewrite each radicand as a product using perfect cube factors. 各根号内の式を、完全立方の因子を使った積として書き直す。	$\frac{\sqrt[3]{8 x^{6} \cdot 3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$
Rewrite the numerator as the product of two radicals. 分子を二つの根号の式の積に書き直す。	$\frac{\sqrt[3]{{(2 x^{2})}^{3}} \sqrt[3]{3 x}}{\sqrt[3]{y^{3}}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{2 x^{2} \sqrt[3]{3 x}}{y}$

ⓑ

	$\sqrt[4]{\frac{48 x^{10}}{y^{8}}}$
The fraction in the radicand cannot be simplified. Use the Quotient Property to write as two radicals. 根号内の分数は簡単にできない。商の性質を使い、二つの根号の式として書く。	$\frac{\sqrt[4]{48 x^{10}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$
Rewrite each radicand as a product using perfect fourth power factors. 各根号内の式を、完全4乗の因子を使った積として書き直す。	$\frac{\sqrt[4]{16 x^{8} \cdot 3 x^{2}}}{\sqrt[4]{y^{8}}}$
Rewrite the numerator as the product of two radicals. 分子を二つの根号の式の積に書き直す。	$\frac{\sqrt[4]{{(2 x^{2})}^{4}} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{\sqrt[4]{{(y^{2})}^{4}}}$
Simplify. 簡単にする。	$\frac{2 x^{2} \sqrt[4]{3 x^{2}}}{y^{2}}$

Try It (2)確認問題（2題）